6.1点估计 抽取的一个简单样本X1,·,X10的观察值为(0,3,1,1,0,2,0,0,3,0)， (1)求0的矩估计量0M和极大似然估计量0L,并求出估计值。 (2)上述估计量是否为无偏的？若不是，请作修正 (3)比较修正后的两个估计量，指出那个更有效. 解：略 6.1.4最小方差无偏估计(MVUE)* 由有效性的定义，我们自然会问在一起可能的无偏估计里，能否找到具有最小方 差的无偏估计量？如果存在这样的估计量，我们称其为最小方差无偏估计量，即 定义6.1.4.设g(X1,·,Xn)为待估参数函数g(0)的一个无偏估计量，若对g(0)的任一 无偏估计量f(X1,·,Xn),都有 Var(g(X1,·,Xn)≤Var(f(X1,·,Xn)0∈Θ 则称g为g()的最小方差无偏估计(MVUE)。 这里我们介绍一种求MVUE的方法： Cramer-Rao不等式法 设样本有概率函数f(c,0),为确定计，设f(x,)为pdf(离散的情况类似)。参数9为 一维的，在0=(a,b)(a,b可为无穷)上取值，g(0)为待估函数。设(X)为g(0)的一个无 偏估计量，则有（假定以下推导所需的条件都满足） Eg(X)= g(x)f(x,0)da=g(0)V0∈Θ 两边求导数，得到 ())d=d0) 80 注意到∫f(x,0)d=1,对0求导得到 af(,0)dr=0 00 所以有 ∫5a-o12r%女=o 「5-govc在0 1 ∂fz,0]dr=g（0 由Cauchy-Schwarz不等式得到 ars∫sa-∫l2s]'1,0a 1 =Var(g(X).(.) 006.1 :O 7 ƒòá{¸X1, · · · , X10* äè(0, 3, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 3, 0)ß (1) ¶θ›O˛ˆθM⁄4åq,O˛ˆθLßø¶—Oä" (2) ˛„O˛¥ƒèƺeÿ¥ßûä?. (3) '?￾¸áO˛ßç—@áçk. )µ—. 6.1.4 ÅêÆO(MVUE)∗ dk5½¬ß·Çg,¨Ø3òÂåUÆOpßUƒÈ‰kÅê ÆO˛ºXJ3˘O˛ß·Ç°ŸèÅêÆO˛ß= ½¬ 6.1.4. gˆ(X1, · · · , Xn)èñÎͺÍg(θ)òáÆO˛ßeÈg(θ)?ò ÆO˛ ˆf(X1, · · · , Xn), —k V ar(ˆg(X1, · · · , Xn)) ≤ V ar( ˆf(X1, · · · , Xn)) ∀ θ ∈ Θ K°gˆèg(θ)ÅêÆO(MVUE)" ˘p·Ç0ò´¶MVUEê{: Cramer-Raoÿ™{ kV«ºÍf(x, θ)ßè(½Oßf(x, θ)èpdf(l—ú¹aq)"ÎÍθè òëß3Θ = (a, b)(a, båèð)˛äßg(θ)èñºÍ"gˆ(X)èg(θ)òáà †O˛ßKk(b½±ȩI^á—˜v) Egˆ(X) = ˆ gˆ(x)f(x, θ)dx = g(θ) ∀ θ ∈ Θ ¸>¶Íß ˆ gˆ(x) ∂f(x, θ) ∂θ dx = g 0 (θ) 5ø ´ f(x, θ)dx = 1ßÈθ¶ ˆ ∂f(x, θ) ∂θ dx = 0 §±k ˆ [ˆg(x) − g(θ)]∂f(x, θ) ∂θ dx = g 0 (θ) ⇐⇒ ˆ [ˆg(x) − g(θ)]p f(x, θ) h 1 p f(x, θ) ∂f(x, θ) ∂θ i dx = g 0 (θ) dCauchy-Schwarzÿ™ [g 0 (θ)]2 ≤ ˆ [ˆg(x) − g(θ)]2 f(x, θ)dx · ˆ h 1 f(x, θ) ∂f(x, θ) ∂θ i2 f(x, θ)dx = V ar(ˆg(X)) · E[ ∂logf(X, θ) ∂θ ] 2