第六章参数估计 即 arW0)≥gor/a8cGo4r 00 此即为Cramer-Rao不等式。 特别， ●当g(0)=时， Vam0x≥/aG-0r 00 ·当样本为简单样本时，X,,X。心(，则f,0)=店红小容易得到 0o6op=nE0wP 于是 Var((x))[g(0)2/nI(0) 其中I(0)=EloX]2 在以上的推导中，需要满足很多条件，总计如下： 定理6.1.1.设X1,…,Xn为简单样本，总体有概率函数f(x),参数0∈日=(a,b)(a,b可 为无穷).g(0)为（α，b)上的可微函数。设存在函数G(t,),使得 1.EG2(X1,0)<∞，H0∈日： 2.对任意0∈日，存在ee>0,使得当b-0<e0时，有 alog@1≤Gt,0) ∂b 则当(X)为g()的一个无偏估计时，有 Var((x))=[g(0)2/nI(0) 利用C-R不等式求MVUE的方法：首先由直观或者其他途径找一个可能是最好的无 偏估计，然后计算其方差，看是否达到了C-R不等式的下界，若达到了，就是MVUE。 同时，还要仔细验证不等式推导中的所有条件都要满足。 4.估计的效率 若g为g(0)的一个无偏估计，其方差为Var(g),则称 (0-012 /Var(g) nI(0)8 18Ÿ ÎÍO = V ar(ˆg(X)) ≥ [g 0 (θ)]2 . E[ ∂logf(X, θ) ∂θ ] 2 d=èCramer − Raoÿ™" AOß •g(θ) = θûß V ar(ˆg(X)) ≥ 1 . E[ ∂logf(X, θ) ∂θ ] 2 •è{¸ûßX1, · · · , Xn ∼ fθ(x)ßKf(x, θ) = Qn i=1 fθ(xi)ßN¥ E[ ∂logf(X, θ) ∂θ ] 2 = nE[ ∂logfθ(X1) ∂θ ] 2 u¥ V ar(ˆg(X)) ≥ [g 0 (θ)]2 . nI(θ) Ÿ•I(θ) = E[ ∂logfθ(X1) ∂θ ] 2 . 3±˛Ì•ßIá˜vÈı^áßoOXeµ ½n 6.1.1. X1, · · · , Xnè{¸ßoNkV«ºÍfθ(x)ßÎÍθ ∈ Θ = (a, b)(a, bå èð). g(θ)è(a, b)˛åáºÍ"3ºÍG(t, θ)߶ 1. EG2 (X1, θ) < ∞, ∀ θ ∈ Θ; 2. È?øθ ∈ Θß3θ > 0߶|ψ − θ| < θûßk | ∂logfψ(t) ∂ψ | ≤ G(t, θ) Kgˆ(X)èg(θ)òáÆOûßk V ar(ˆg(X)) ≥ [g 0 (θ)]2 . nI(θ) |^C-Rÿ™¶MVUEê{: ƒkdÜ*½ˆŸ¶ÂªÈòáåU¥Å–à †Oß,￾OéŸêßw¥ƒà C-Rÿ™e.ßeà ß“¥MVUE" ”ûßÑác[yÿ™Ì•§k^á—á˜v" 4. O« egˆèg(θ)òáÆOߟêèV ar(ˆg)ßK° egˆ(θ) = [g 0 (θ)]2 nI(θ) . V ar(ˆg)