6.2区间估计 9 为无偏估计的效率。一般有e(0)≤1。当e(0)=1时，称g为有效估计。 若©为g()的一个相合渐近正态估计，有渐近方差c2(0),则称 ae(0)= [g(0)]2 a2(0) I(0) 为（在处）的渐近效率。极大似然估计的渐近效率为1，而矩估计除了几个常见的例子 外，渐近效率一般都远抵于1。通常人们所说的矩估计不如似然估计，大抵上就是指这 个。 例6.7.设X1,·,Xn为从总体N(0,1)里抽取的简单样本，则X为0的MVUE。 解：因为 1(0)=E[Ologfo(X1)2=1 00 所以由C-R不等式知0的任一无偏估计的方差都不小于1/n,而Var()=1/m,因 此文为0的一个MVUE。口 还有其他一些求MVUE的方法，详细地可以参考陈希孺的《数理统计教程》。 6.2 区间估计 6.2.1置信区间 区间估计是用一个区间去估计未知的参数。其好处是把可能的误差用明显的形式 表达出来。不难看出，这里要满足两个条件： ·估计的可靠性，即0要以很大的概率落在区间但，可里，i.e., Pa(g≤0≤0=1-a ·估计的精度要尽可能高，即要求区间但，可要尽可能的短。 但这两个要求是相互矛盾的，因此区间估计的原则是在已有的样本资源限制下， 找出更好的估计方法以尽量提高可靠性和精度。Neyman提出了广泛接受的准则：先 保证可靠性，在此前提下尽可能提高精度。为此，引入如下定义： 定义6.2.5.设总体分布F(x,0)含有一个或多个未知的参数0,0∈日，对给定的 值a,(0<a<a),若由样本X1,·,Xn确定的两个统计量0=(X1,·,Xn)和0= (X1,·,Xn),满足 P(0≤0≤可=陆1-a 10∈Θ 有时候，不能证明对一切0等式成立，但知道不会小于1-a.此时1-a称为置信水平(Confidence level)。这两个术语并不严格区分.6.2 ´mO 9 èÆOgˆ«"òÑkegˆ(θ) ≤ 1"egˆ(θ) = 1ûß°gˆèkO" egˆèg(θ)òáÉ‹ÏCOßkÏCêσ 2 (θ)ßK° aegˆ(θ) = [g 0 (θ)]2 I(θ) . σ 2 (θ) ègˆ(3θ?)ÏC«"4åq,OÏC«è1ß ›Oÿ Aá~Ñ~f ßÏC«òÑ—-u1"œ~<ǧ`›OÿXq,Oßå-˛“¥ç˘ á" ~6.7. X1, · · · , XnèloNN(θ, 1)pƒ{¸ßKX¯èθMVUE" ): œè I(θ) = E[ ∂logfθ(X1) ∂θ ] 2 = 1 §±dC-Rÿ™θ?òÆOê—ÿu1/nß V ar(X¯) = 1/nßœ dX¯èθòáMVUE" ÑkŸ¶ò ¶MVUEê{ßç[/å±ÎùFW5Ín⁄Oß6" 6.2 ´mO 6.2.1 ò&´m ´mO¥^òá´mOôÎÍ"Ÿ–?¥råUÿ^²w/™ Là—5"ÿJw—ߢpá˜v¸á^áµ • OåÇ5ß=θá±ÈåV«·3´m[θ, ¯θ]pßi.e.ß Pθ(θ ≤ θ ≤ ¯θ) = 1 − α • O°›á¶åUpß=ᶴm[θ, ¯θ]á¶åU·" ˘¸áᶥÉpgÒßœd´mOK¥3Æk] Åõeß È—ç–Oê{±¶˛JpåÇ5⁄°›"Neyman J— 2ç…OKµk yåÇ5ß3dcJe¶åUJp°›"èdß⁄\Xe½¬: ½¬ 6.2.5. oN©ŸF(x, θ)¹kòá½ıáôÎÍθßθ ∈ ΘßÈâ½ äα,(0 < α < a)ßedX1, · · · , Xn(½¸á⁄O˛¯θ = ¯θ(X1, · · · , Xn) ⁄θ = θ(X1, · · · , Xn)ߘv Pθ(θ ≤ θ ≤ ¯θ) = [51]1 − α ∀ θ ∈ Θ [51]kûˇßÿUy²ÈòÉ虧·ßÿ¨u1 − α. dû1 − α°èò&Y²(Confidence level)"˘¸á‚äøÿÓÇ´©"