10 第六章参数估计 称1-a为置信系数(Confidence coefficient),而称[但，可为0的置信水平为1-a的置信区 (Confidence Interval) 区间估计就是在给定的置信水平之下，去寻找有优良精度的区间。 一般，我们首先寻求参数的一个估计（多数是基于其充分统计量构造的），然后基 于此估计量构造参数0的置信区间，介绍如下： 1.枢轴变量法设待估参数为g(), 1.找一个与待估参数g()有关的统计量T,一般是其一个良好的点估计（多数是基于 充分统计量构造或者是通过MLE构造： 2.设法找出T与g()的某一函数S(T,g(0)的分布，其分布F要与参数0无关(S即为枢 轴变量： 3.对任何常数a<b,不等式a≤S(T,g(0)≤b要能表示成等价的形式A≤g()≤ B,其中A,B只与T,a,b有关而与参数无关： 4.取分布F的上a/2分位数wa/2和上(1-a/2)分位数w1-a/2,有F(wa/2)-F(w1-a/2)= 1-a.因此 P(w1-a2≤S(T,g(0)≤wa/2)=1-a 由3我们就可以得到所求的置信区间， 例6.8.设X1,·,Xn为从正态总体N(4,σ2)中抽取得样本，求参数，o的1-a置信区 间。 解：由于4，σ2的估计元，S2而且满足注2到 T =vn(X-)/S~tn-1 T2=(n-1)S2/a2~X品-1 所以T1,T2就是我们所要寻求的枢轴变量，从而易的参数4，σ的1-α置信区间分别为 云swea-式+an-刊胸 02 (n-1)S2(m-1)S2 注4 Xa/2(n-1)'X7-a/2n-1)】 注习参见定理？ 住到由于t分布对称，因此不难证明此区间就是最短的区间。 注4由于X分布不对称，因此此区间只是习惯的一个取法。另外，当μ已知时，需要修改样本方差S2为 s2=1∑(x-2 n i=1 此时，nS2/a2~X2。10 18Ÿ ÎÍO °1 − αèò&XÍ(Confidence coefficient)ß °[θ, ¯θ]èθò&Y²è1 − αò&´ m(Confidence Interval)" ´mO“¥3â½ò&Y²ÉeßœÈk`˚°›´m" òÑ߷ǃkœ¶ÎÍθòáO(ıÍ¥ƒuŸø©⁄O˛E)ß,￾ƒ udO˛EÎÍθò&´mß0Xe: 1. Õ¶C˛{ ñÎÍèg(θ)ß 1. ÈòáÜñÎÍg(θ)k'⁄O˛TßòÑ¥Ÿòá˚–:O(ıÍ¥ƒu ø©⁄O˛E½ˆ¥œLMLEE)¶ 2. {È—TÜg(θ),òºÍS(T, g(θ))©ŸßŸ©ŸFáÜÎÍθÃ'(S=èÕ ¶C˛); 3. È?¤~Ía < bßÿ™a ≤ S(T, g(θ)) ≤ báUL´§d/™A ≤ g(θ) ≤ Bߟ•A, BêÜT, a, bk' ÜÎÍÃ'¶ 4. ©ŸF˛α/2©†Íωα/2⁄˛(1−α/2)©†Íω1−α/2ßkF(ωα/2 )−F(ω1−α/2 ) = 1 − α. œd P(ω1−α/2 ≤ S(T, g(θ)) ≤ ωα/2 ) = 1 − α d3·Ç“屧¶ò&´m. ~6.8. X1, · · · , XnèloNN(µ, σ2 )•ƒ߶Î͵, σ21 − αò&´ m" )µduµ, σ2OX, S ¯ 2 Ö˜v[52] T1 = √ n(X¯ − µ)/S ∼ tn−1 T2 = (n − 1)S 2 /σ2 ∼ χ 2 n−1 §±T1, T2“¥·Ç§áœ¶Õ¶C˛ßl ¥Î͵, σ21 − αò&´m©Oè µ :  X¯ − 1 √ n Stα/2 (n − 1), X¯ + 1 √ n Stα/2 (n − 1) [53] , σ 2 : " (n − 1)S 2 χ 2 α/2 (n − 1), (n − 1)S 2 χ 2 1−α/2 (n − 1)# [54] . [52]Îѽn?? [53]dut©ŸÈ°ßœdÿJy²d´m“¥Å·´m" [54]duχ 2©ŸÿÈ°ßœdd´mê¥S.òá{", ßµÆûßIá?UêS 2è S 2 = 1 n Xn i=1 (Xi − µ) 2 dûßnS2 /σ2 ∼ χ 2 n