第七章定积分 概念 例子:1.曲边梯形的面积 2.非匀速直线运动 性质1、2 性质3对ab]的一个分法T,增加某些新分点构成a,b]的一个新分法T,有 s(T)≤s(T),S(T')≤S(T 证明:[x-1,x]只增加一个新分点x,区间分成[x-1,x[x,x],[x-,x上的最小值记 为m,【x,x]上的最小值记为m,则m≥m,m≥m,从而 m1(x1-x1)≤m(x2-x-1)+m1(x1-x) 此即S(T)≤s(T) 性质4任意分法T,T’,有 s()≤S(T),s(T)≤S(T 证明:T,T’合成T”,由性质3,可得 s(7)≤s(T")≤S(T")≤S(T) s(T)≤s(T")≤S(T")≤S(D 性质5:l0=sup{s(7)}≤nf{S(m)}= 、可积准则 从性质5,可以直观地看出,当sup{s(T)}=nf{S(m)}时,函数可积。因为 s()≤∑f(5)Ax,≤S(m 定理1(可积准则)f(x)在a,b]上可积当且仅当lmn[S(m)-s(T)]=0 (T)0 证明:必要性第七章 定积分 一、概念 例子：1. 曲边梯形的面积 2. 非匀速直线运动 性质 1、2 性质 3 对[a, b]的一个分法 T，增加某些新分点构成[a, b]的一个新分法 T’，有 s(T)  s(T ), S(T)  S(T) 证明： [ , ] i 1 i x x − 只增加一个新分点 x  ，区间分成 [ , ],[ , ] 1 i x x x x i   − ， [ , ] 1 x x i  − 上的最小值记 为 mi ， [ , ] i x  x 上的最小值记为  mi ，则 mi mi mi  mi    , ，从而 ( ) ( ) ( ) 1 1 m x x m x x m x x i i i i i i i −    − +  − −  − 此即 s(T)  s(T ) 性质 4 任意分法 T,T  ，有 s(T)  S(T ), s(T)  S(T) 证明： T,T  合成 T  ，由性质 3，可得 ( ) ( ) S(T ) S(T) ( ) ( ) S(T ) S(T )             s T s T s T s T 性质 5： 0 0 I sup{s(T)} inf {S(T)} I T T =  = 二、 可积准则 从性质 5，可以直观地看出，当 sup{s(T)} inf {S(T)} T T = 时，函数可积。因为     n s(T) f ( i ) xi S(T) 定理 1（可积准则）f(x)在[a, b]上可积当且仅当 lim [ ( ) ( )] 0 ( ) 0 − = → S T s T l T 证明：必要性