第20第2期 北京科技大学学报 VoL.20 No.2 1998年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.1998 变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解 崔健双高俊山 北京科技大学管理学院，北京100083 精要讨论1种对无约束目标函数采用变量矩阵算法求解最优值的方法变量矩阵算法的特点是 利用矩阵送代计算，收敛速度快，过程较稳定，对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合，可以选代出符 合要求的参数值.作为较典型的应用实例，设计1种幅度均衡器.通过迭代搜素找出满足衰耗误 差的元件值，说明曲线拟合达到了预期的效果. 关键词变量矩阵算法；选代；曲线最佳拟合 分类号0241.5 变量矩阵算法是最优化算法中1个重要的分支，其关键是如何修改迭代矩阵，调整搜索 方向，逐步接近并最终捕获到极值点.在对目标函数F()进行无约束最优化计算时须处理下 式： minF(X) (1) 3,x)∈E(n维歌氏空间) 使该矩阵达到最快收敛结果的算法是具有二级收敛特性的牛顿数值迭代法.当F()较复 杂时，计算F)的二阶HASSIAN导数矩阵F()的过程相当繁琐，有时它是一奇异矩阵，不 存在逆阵，使迭代归于失败.为了克服牛顿迭代算法的缺陷，有必要考虑1种既能够避免计 算F()又能够得到与F()结果近似的简便方法.这就是本文所要讨论的内容. 1变量矩阵算法的推演过程 对于式()所提出的问题，若采用数值迭代方法获得极值，基本步骤应该是给定某初始值 X,和初始搜索方向P,开始搜索下一个比较接近极值点X·的点X,然后方向修正为P,开始 搜素下一个更接近X的点X·,直到满足收敛条件为止.在牛顿数值迭代算法中，取方向为 P=-F(X)8 (2) 其中，F(X)是点X处的二阶HASSIAN导数矩阵，g是点X处的一阶导数（梯度）向量. 很显然，现在需要考虑的是构造一个与F”(X)具有相同阶数的正定对称矩阵HH计算 起来要比F(X)简单得多，并且能够逐渐逼近F(X),即 lim(H)=F"(X') (3) K- 设取初始选代点为X,选代矩阵H,=I是单位正定对称矩阵取初始搜素方向P。=一H8, 沿P。搜索得到点X,计算后得到g·然后构造H,希望H正定对称且更加接近极值点X处 的HASSIAN矩阵.考虑二次目标函数的情形，对于非二次函数可以利用在点X处展开成二 1997-03-25收稿 崔健双男，36岁，讲师第 侧胜 年 第 期 月 北 京 科 技 大 学 学 报 面 珑 反 · 变量矩阵算法及一类 曲线最佳拟合 问题的解 崔健双 高俊山 北京科技大学管理学 院 ， 北京 摘典 讨论 种对无约束 目标函数采用变 矩阵算法求解最优值的方法 变 矩 阵算法 的特点是 利用矩阵迭代计算 ，收敌速度快 ，过程较稳定 对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合 ，可 以迭代出符 合要求的参数值 作为较典型的应用实例 ，设计 种幅度均衡器 通过迭代搜索找出满足衰耗误 差 的元件值 ，说明曲线拟合达到了预期的效果 关位词 变 矩阵算法 迭代 曲线最佳拟合 分类号 反 】 变 矩 阵算法是 最优化算法 中 个重要 的分支 ，其关键是 如何 修改迭 代矩 阵 ，调 整搜索 方 向 ，逐步接近并最终捕获到极值点 在对 目标函数 刀进行无 约束最优化计算 时 ，须处理 下 式 而 矛’为 双石 ， 今一 劝 〔 维欧氏空 间 使该矩 阵达到最快收敛结果 的算法是具有二级 收敛特性 的牛顿数值迭代法 当 刀 较复 杂时 ，计算 凡刀 的二 阶 气 导数矩 阵 尸 为 的过程相 当繁琐 ，有 时它是 一奇异 矩 阵 ， 不 存在 逆 阵 ，使迭代归于失败 为 了克服 牛顿迭代算法 的缺 陷 ， 有必要 考虑 种 既 能够 避 免计 算 尸 为又能够得到与 尸 幻结果近似的简便方法 这就是本文所要讨论的 内容 变 矩阵算法的推演过程 对于 式 所提 出的 问题 ，若采用数值迭代方法获得极值 ，基 本步骤应该是 给定某 初始值 和 初始搜索方 向 ， 开始搜索下一个 比较接近极值点 ’ 的点 戈 ， 然后 方 向修正 为 汽 ， 开始 搜索下 一个更接近 ’ 的点 戈… ， 直到满足 收敛条件为止 在 牛顿数值迭代算法 中 ，取方 向为 一 尸 叼 其中 ， 尸 习是 点 户的二 阶 认 导数矩 阵 ， 是 点 沙的一 阶导数 梯度 向量 很显然 ，现在需要 考虑 的是构造一个与 尸 具有相 同阶数 的正定 对称矩 阵 从 从 计算 起来要 比 尸 习 简单得多 ，并且 能够逐渐 逼近 尸 ’ ， 即 妙 从 一 尸 ‘ 设取初始迭代点为 ， 迭代矩 阵 代 是单位正 定 对称 矩 阵 取 初 始 搜索方 向几一 沿 几搜索得到点 戈 ， 计算后得到 ， 然后构造 城 ， 希望 城 正定 对称且更加接近极值点 彻 。 ， 尸 处 的 气 矩 阵 考虑二次 目标函数的情形 ， 对于 非二 次函数可 以利用在点 戈处展 开成二 一 收稿 崔健双 男 ， 岁 ， 讲师