变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解

0I:10.13374/j.1ssn1001-053x.1998.02.045 第20卷第2期 北京科技大学学报 VoL.20 No.2 1998年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.1998 变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解 崔健双高俊山 北京科技大学管理学院，北京100083 精要讨论1种对无约束目标函数采用变量矩阵算法求解最优值的方法变量矩阵算法的特点是 利用矩阵送代计算，收敛速度快，过程较稳定，对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合，可以选代出符 合要求的参数值.作为较典型的应用实例，设计1种幅度均衡器.通过迭代搜素找出满足衰耗误 差的元件值，说明曲线拟合达到了预期的效果. 关键词变量矩阵算法；选代；曲线最佳拟合 分类号0241.5 变量矩阵算法是最优化算法中1个重要的分支，其关键是如何修改迭代矩阵，调整搜索 方向，逐步接近并最终捕获到极值点.在对目标函数()进行无约束最优化计算时，须处理下 式： minF(X) (1) 3x,x)∈E(n维欧氏空间) 使该矩阵达到最快收敛结果的算法是具有二级收敛特性的牛顿数值迭代法.当F()较复 杂时，计算F)的二阶HASSIAN导数矩阵F()的过程相当繁琐，有时它是一奇异矩阵，不 存在逆阵，使迭代归于失败.为了克服牛顿迭代算法的缺陷，有必要考虑1种既能够避免计 算下()又能够得到与F()结果近似的简便方法.这就是本文所要讨论的内容. 1变量矩阵算法的推演过程 对于式()所提出的问题，若采用数值迭代方法获得极值，基本步骤应该是给定某初始值 X,和初始搜索方向P,开始搜索下一个比较接近极值点X·的点X,然后方向修正为P,开始 搜索下一个更接近X”的点X·,直到满足收敛条件为止.在牛顿数值迭代算法中，取方向为 P=-F(X)8 (2) 其中，F(X)是点X处的二阶HASSIAN导数矩阵，g是点X处的一阶导数（梯度）向量. 很显然，现在需要考虑的是构造一个与F”(X)具有相同阶数的正定对称矩阵HH计算 起来要比F(X)简单得多，并且能够逐渐逼近F(X),即 lim(H)=F"(X') (3) +0 设取初始选代点为X。,选代矩阵H。=1是单位正定对称矩阵，取初始搜索方向P。一H8, 沿P。搜索得到点X,计算后得到g·然后构造H,希望H正定对称且更加接近极值点X处 的HASSIAN矩阵.考虑二次目标函数的情形，对于非二次函数可以利用在点X处展开成二 1997-03-25收稿 崔健双男，36岁，讲师

第 侧胜 年 第 期 月 北 京 科 技 大 学 学 报 面 珑 反 · 变量矩阵算法及一类 曲线最佳拟合 问题的解 崔健双 高俊山 北京科技大学管理学 院 ， 北京 摘典 讨论 种对无约束 目标函数采用变 矩阵算法求解最优值的方法 变 矩 阵算法 的特点是 利用矩阵迭代计算 ，收敌速度快 ，过程较稳定 对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合 ，可 以迭代出符 合要求的参数值 作为较典型的应用实例 ，设计 种幅度均衡器 通过迭代搜索找出满足衰耗误 差 的元件值 ，说明曲线拟合达到了预期的效果 关位词 变 矩阵算法 迭代 曲线最佳拟合 分类号 反 】 变 矩 阵算法是 最优化算法 中 个重要 的分支 ，其关键是 如何 修改迭 代矩 阵 ，调 整搜索 方 向 ，逐步接近并最终捕获到极值点 在对 目标函数 刀进行无 约束最优化计算 时 ，须处理 下 式 而 矛’为 双石 ， 今一 劝 〔 维欧氏空 间 使该矩 阵达到最快收敛结果 的算法是具有二级 收敛特性 的牛顿数值迭代法 当 刀 较复 杂时 ，计算 凡刀 的二 阶 气 导数矩 阵 尸 为 的过程相 当繁琐 ，有 时它是 一奇异 矩 阵 ， 不 存在 逆 阵 ，使迭代归于失败 为 了克服 牛顿迭代算法 的缺 陷 ， 有必要 考虑 种 既 能够 避 免计 算 尸 为又能够得到与 尸 幻结果近似的简便方法 这就是本文所要讨论的 内容 变 矩阵算法的推演过程 对于 式 所提 出的 问题 ，若采用数值迭代方法获得极值 ，基 本步骤应该是 给定某 初始值 和 初始搜索方 向 ， 开始搜索下一个 比较接近极值点 ’ 的点 戈 ， 然后 方 向修正 为 汽 ， 开始 搜索下 一个更接近 ’ 的点 戈… ， 直到满足 收敛条件为止 在 牛顿数值迭代算法 中 ，取方 向为 一 尸 叼 其中 ， 尸 习是 点 户的二 阶 认 导数矩 阵 ， 是 点 沙的一 阶导数 梯度 向量 很显然 ，现在需要 考虑 的是构造一个与 尸 具有相 同阶数 的正定 对称矩 阵 从 从 计算 起来要 比 尸 习 简单得多 ，并且 能够逐渐 逼近 尸 ’ ， 即 妙 从 一 尸 ‘ 设取初始迭代点为 ， 迭代矩 阵 代 是单位正 定 对称 矩 阵 取 初 始 搜索方 向几一 沿 几搜索得到点 戈 ， 计算后得到 ， 然后构造 城 ， 希望 城 正定 对称且更加接近极值点 彻 。 ， 尸 处 的 气 矩 阵 考虑二次 目标函数的情形 ， 对于 非二 次函数可 以利用在点 戈处展 开成二 一 收稿 崔健双 男 ， 岁 ， 讲师 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．02．045

第20第2期 北京科技大学学报 VoL.20 No.2 1998年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.1998 变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解 崔健双高俊山 北京科技大学管理学院，北京100083 精要讨论1种对无约束目标函数采用变量矩阵算法求解最优值的方法变量矩阵算法的特点是 利用矩阵送代计算，收敛速度快，过程较稳定，对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合，可以选代出符 合要求的参数值.作为较典型的应用实例，设计1种幅度均衡器.通过迭代搜素找出满足衰耗误 差的元件值，说明曲线拟合达到了预期的效果. 关键词变量矩阵算法；选代；曲线最佳拟合 分类号0241.5 变量矩阵算法是最优化算法中1个重要的分支，其关键是如何修改迭代矩阵，调整搜索 方向，逐步接近并最终捕获到极值点.在对目标函数F()进行无约束最优化计算时须处理下 式： minF(X) (1) 3,x)∈E(n维歌氏空间) 使该矩阵达到最快收敛结果的算法是具有二级收敛特性的牛顿数值迭代法.当F()较复 杂时，计算F)的二阶HASSIAN导数矩阵F()的过程相当繁琐，有时它是一奇异矩阵，不 存在逆阵，使迭代归于失败.为了克服牛顿迭代算法的缺陷，有必要考虑1种既能够避免计 算F()又能够得到与F()结果近似的简便方法.这就是本文所要讨论的内容. 1变量矩阵算法的推演过程 对于式()所提出的问题，若采用数值迭代方法获得极值，基本步骤应该是给定某初始值 X,和初始搜索方向P,开始搜索下一个比较接近极值点X·的点X,然后方向修正为P,开始 搜素下一个更接近X的点X·,直到满足收敛条件为止.在牛顿数值迭代算法中，取方向为 P=-F(X)8 (2) 其中，F(X)是点X处的二阶HASSIAN导数矩阵，g是点X处的一阶导数（梯度）向量. 很显然，现在需要考虑的是构造一个与F”(X)具有相同阶数的正定对称矩阵HH计算 起来要比F(X)简单得多，并且能够逐渐逼近F(X),即 lim(H)=F"(X') (3) K- 设取初始选代点为X,选代矩阵H,=I是单位正定对称矩阵取初始搜素方向P。=一H8, 沿P。搜索得到点X,计算后得到g·然后构造H,希望H正定对称且更加接近极值点X处 的HASSIAN矩阵.考虑二次目标函数的情形，对于非二次函数可以利用在点X处展开成二 1997-03-25收稿 崔健双男，36岁，讲师

第 侧胜 年 第 期 月 北 京 科 技 大 学 学 报 面 珑 反 · 变量矩阵算法及一类 曲线最佳拟合 问题的解 崔健双 高俊山 北京科技大学管理学 院 ， 北京 摘典 讨论 种对无约束 目标函数采用变 矩阵算法求解最优值的方法 变 矩 阵算法 的特点是 利用矩阵迭代计算 ，收敌速度快 ，过程较稳定 对于一类可通近模拟曲线的最佳拟合 ，可 以迭代出符 合要求的参数值 作为较典型的应用实例 ，设计 种幅度均衡器 通过迭代搜索找出满足衰耗误 差 的元件值 ，说明曲线拟合达到了预期的效果 关位词 变 矩阵算法 迭代 曲线最佳拟合 分类号 反 】 变 矩 阵算法是 最优化算法 中 个重要 的分支 ，其关键是 如何 修改迭 代矩 阵 ，调 整搜索 方 向 ，逐步接近并最终捕获到极值点 在对 目标函数 刀进行无 约束最优化计算 时 ，须处理 下 式 而 矛’为 双石 ， 今一 劝 〔 维欧氏空 间 使该矩 阵达到最快收敛结果 的算法是具有二级 收敛特性 的牛顿数值迭代法 当 刀 较复 杂时 ，计算 凡刀 的二 阶 气 导数矩 阵 尸 为 的过程相 当繁琐 ，有 时它是 一奇异 矩 阵 ， 不 存在 逆 阵 ，使迭代归于失败 为 了克服 牛顿迭代算法 的缺 陷 ， 有必要 考虑 种 既 能够 避 免计 算 尸 为又能够得到与 尸 幻结果近似的简便方法 这就是本文所要讨论的 内容 变 矩阵算法的推演过程 对于 式 所提 出的 问题 ，若采用数值迭代方法获得极值 ，基 本步骤应该是 给定某 初始值 和 初始搜索方 向 ， 开始搜索下一个 比较接近极值点 ’ 的点 戈 ， 然后 方 向修正 为 汽 ， 开始 搜索下 一个更接近 ’ 的点 戈… ， 直到满足 收敛条件为止 在 牛顿数值迭代算法 中 ，取方 向为 一 尸 叼 其中 ， 尸 习是 点 户的二 阶 认 导数矩 阵 ， 是 点 沙的一 阶导数 梯度 向量 很显然 ，现在需要 考虑 的是构造一个与 尸 具有相 同阶数 的正定 对称矩 阵 从 从 计算 起来要 比 尸 习 简单得多 ，并且 能够逐渐 逼近 尸 ’ ， 即 妙 从 一 尸 ‘ 设取初始迭代点为 ， 迭代矩 阵 代 是单位正 定 对称 矩 阵 取 初 始 搜索方 向几一 沿 几搜索得到点 戈 ， 计算后得到 ， 然后构造 城 ， 希望 城 正定 对称且更加接近极值点 彻 。 ， 尸 处 的 气 矩 阵 考虑二次 目标函数的情形 ， 对于 非二 次函数可 以利用在点 戈处展 开成二 一 收稿 崔健双 男 ， 岁 ， 讲师

Vol.20 No.2 崔健双等：变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解 ·199· 开始 给定初值，N,E 令1，HI T8<E Y=X P=-Hogk 停止 H1=H+△H P-Hw1gx minF(X+λPW X=X+iP =k+1 Xo= 图1变量矩阵算法流程图 行校正.图2示出了其常用结构.其中Z2和乙，相对于R互为倒量，通常只须计算出乙，的 元件值，乙，可通过倒量关系获得.桥T型均衡器的均衡原理是：其幅频特性曲线b,与所要均 衡系统的幅频特性曲线b,具有相反的特性，使得合成后的曲线b,呈水平幅度，满足无畸变传 输的条件（见图3) 设计技术要求如下：(1)工作频率12~300kH:(2)负载电阻R=1502:(3)最小衰耗bc0.1 N(4)各点误差<0.01Np(⑤)电路结构采用不平衡式；(6)线路各取样点衰耗频率数值见表1. 根据技术要求条件，拟采用四元件电路结构.图2中乙，二端网络可以设计如图4所示. 业 图2桥T型均衡器常用结构 图3幅频曲线均衡原理

忡〕 崔健双等 变量矩 阵算法及 一类 曲线最佳拟合问题 的解 给定初值 ，汉。 月导 丛 乙 月尸 一 琢公 而 。 月戈 人均 人 圈 变 矩阵算法流程图 行校正 图 示 出了其常用结构 其中 和 不 ，相 对于 嵘互 为倒量 ， 通 常只须计算 出 不 ， 的 元件值 ，几 可通 过倒量 关系获得 桥 型均 衡器 的均衡 原理是 其幅频特性 曲线 与所要 均 衡系统的幅频特性 曲线 具有相反 的特性 ， 使得合成后 的 曲线 呈水平 幅度 ，满足 无 畸变传 输的条件 见 图 设计技术要求如下 工作频率 一 蛋 负载 电阻 凡一 众 最小衰耗 弋 各点误差 从 电路结构采用不 平衡式 线路 各取样 点衰耗频率数值见表 根 据技术要求条件 ，拟采 用 四 元件 电路 结构 图 中 二 端 网络 可 以设计如 图 所示 ” 凡 凡 ’ 「 二 几 内 图 桥 型均衡器常用结构 “ … 少方 皿 七 图 幅频 曲线均衡原理

·200· 北京科技大学学报 1998年第2期 表1线路各点豪耗领率表 f/kHz 1220 50 80 100150 200220250280 300 b/N。1.41591.39131.22731.02570.89800.62840.41580.33830.21770.07280.0174 电路中元件是按归一化频率=100kHz归一化后的值.利用该网络0Q,段的幅频特性（参见 图5)来逼近设计曲线.电路传输衰减为 b,=(1/2)ln1+Zl=ln[,+,(1+r)门](，+)， w-2所 nn ru n。 n(@mg） 图4乙，二端网络元件归一化图 围5图4结构电路的幅频特性 其中，乙是归一化二端网络乙的阻抗，由r,并联x构成 令x=r,=a,为=-B,xP12,则 b,(1/2)n2'3+x-2'xxx2+(22xx-1)(1+x)]L2x+x-2x52+ (22xx-1)]} (1) 取目标函数 minF(X)=min(66) (12) 式中，2是按表1中给定的各频率点处归一化频率值；b。是表1中各频率点处的标准工作衰 域值；N是取样频率点数（此处为11） 把(11)代人式(12)，对于变量，x,计算出F(为的一阶偏导数式F(x,F(3),F(, F(化)将它们编人变量矩阵算法的计算机程序中，输人原始数据，设定初值为X。= (5,5,5,5)T,精度ε=1×10-.经过=149次迭代得到 minF(X')=2.26X10-1°，X-(3.18,1.23,0.0915,0.37). 即x1="11=3.18;x2=a11=1.23x=月1，=0.0915x,=B2=0.37,得到元件值为R=4702, C=970pF,C,=3940pF,L,=290μH 3结论 变量矩阵算法拥有一系列分支，它适合于对无约束非线性目标函数的最优化搜索，在计算 机上采用各种常用语言如BASIC,FORTRAN,或C编程均可实现.该算法不要求精确的一 维搜索步长，实现起来简单实用.每当搜索效果减低以后，算法中的变量矩阵可以人为置成单 位正定对称矩阵，重新开始下一轮搜索，但此时已经更加接近极值点.由于搜索是在全数据域 进行的，当初值严重偏离实际极值点时，有可能发散.因此给定的变元初值很重要.同时程序

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 裹 线路各点衰耗绷率衰 刃 刀白 电路 中元件是按 归一化频 率介 卜位 归一化后 的值 利 用该 网络 一风段 的 幅频特性 参见 图 来 逼 近设计 曲线 电路传精衰减为 ，， 一 代 ， 对 ， ’ 弓 对 ， ， ， 门 口 口， 月 ‘ 二 夕 ， 二 一 一一 门 圈 ，二端网络元件归一化圈 圈 圈 结构电路的幅频特性 其中 ， ， 是 归一化二端 网络 的阻抗 ， 由 ，并联 构成 · 令 ， ， 毛一 ，， 毛 一 口 ，， 戈一 民 ， 则 ， 。 ，对毛 一 。 ，凡毛劝 ， ，毛戈 一 ， ’ 。 毛 毛 凡 一 。 ，毛毛戈 ， 。 ，毛戈 一 ， 取 目标 函数 而 刀 一 而 爵瓦 一 勾 ， 式 中 ， 。 ‘是 按 表 中给定的各频率点处 归一化频率值 。 是 表 中各频 率 点处的标 准工作衰 减值 是 取样频率点数 此处为 把 代人 式 ， 对于 变量 ，与‘ 戈 ， 计算 出 刀 的一 阶偏 导数式 厂 ， 厂 毛 ， 厂 毛， 厂 将 它 们 编 人 变 量 矩 阵算 法 的 计算 机 程 序 中 ， 输 人 原 始 数 据 ， 设 定 初 值 为 ， ， ， ， 精度 。 一 ’ 经过 卜 次迭代得到 ’ 汤 一 ‘。 ， ’ ， ， ， 即 ，， 凡 刀 · 凡 刀 ， 得 到 元件 值 为 。 ， ， ， “ 结论 变量矩 阵算法 拥有 一 系列分支 ，它适合于 对无约束非线性 目标 函数 的最优化搜索 ，在计算 机上 采 用 各种 常 用语 言 如 ， ， 或 编程 均 可 实现 该算法 不 要 求精确 的一 维搜索步 长 ，实现起 来简单实用 每 当搜索效果 减低 以后 ，算法 中的变量矩 阵可 以人 为置成单 位正 定 对称矩 阵 ，重新 开始下 一 轮搜索 ，但此 时 已 经更加接 近极值点 由于搜索是 在全数据域 进行 的 ， 当初 值严重 偏离实 际极 值 点 时 ，有 可 能发散 因此 给定 的变元初值很 重要 同时程序

Vol.20 No.2 崔健双等：变量矩阵算法及一类曲线最佳拟合问题的解 ·201· 中可以作一些必要的防范判断.对均衡器的设计实质上是两条曲线的最佳拟合问题，利用变 量矩阵算法，比原来由人手工试凑计算方法设计出来的结果，无论从精度上还是从效率上都有 大大的提高 对于类似曲线拟合，误差最小化问题，只要能利用数学式表达出函数曲线，变量矩阵算法 不失为一种较理想的解决方法 Variable Metrix Method and Its Application on the Curvilinear Optimal Imitation Problem Cui Jianshuang Gao Junshan Management School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Some advanced researches on nonlinear unconstrained optimization problems with variable matrix method (VMM)have been discussed.VMM shows performing satisfac- torily in convergence rate,precisions,computation time and steadiness.As an application example,the element values of a telecommunication line equalizer are searched out by this method. KEY WORDS variable matrix method,reiterate,curvilinear optimal imitation

吻 崔健双等 变量矩 阵算法及一类 曲线最佳拟合 问题 的解 · · 中可 以作一 些 必要 的 防范判 断 对均 衡器 的设计实质上 是 两条 曲线 的最 佳拟 合 问题 ，利用变 量 矩 阵算法 ， 比原来 由人手工试凑计算方法 设计 出来 的结果 ，无论从精度上还是 从效率上 都有 大大 的提高 对于类似 曲线拟合 ，误差 最小化 问题 ，只 要 能利 用 数学式 表 达 出 函数 曲线 ， 变量矩 阵算法 不 失 为一种较理想 的解 决方法 而 ， ， ， 为 ， 毗 川 而 伴 飞 ， ， ， 们。 画 眼 勿 山 ， 忱 ， 而