第五节对坐标的曲面积分 教学目的:理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质 教学重点:对坐标曲面积分的计算 教学难点:对坐标曲面积分的计算 教学内容 、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.有向曲面 侧:设曲面z=z(x,y),若取法向量朝上(n与z轴正向的夹角为锐角),则曲面取 定上侧,否则为下侧:对曲面x=x(y,z),若n的方向与x正向夹角为锐角,取定 曲面的前侧,否则为后侧,对曲面y=y(x,2),n的方向与y正向夹角为锐角取定 曲面为右侧,否则为左侧:若曲面为闭曲面,则取法向量的指向朝外,则此时取定 曲面的外侧,否则为内侧,取定了法向量即选定了曲面的侧,这种曲面称为有向曲 2.投影 设∑是有向曲面,在∑上取一小块曲面△S,把ΔS投影到x°y面上,得一投影域 △a(表示区域,又表示面积),假定Δ上任一点的法向量与z轴夹角的余弦 △ Ox cos y<0 同号,则规定投影△Sn为 Csy=0实质将投影面积附以一定的 符号,同理可以定义ΔS在y°z面,z0x面上的投影△Sx,△S 3.流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩的流体(设密度为1)的速度场为 ν(xy,z)=P(x,y,z)+g(x,y,2)+R(x,y,2),∑为其 中一片有向曲面,P,g,R在∑上连续,求单位时间内流向 ∑指定侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量ν,又设n 为该平面的单位法向量,则在单位时间内流过这闭区域的流 体组成一底面积为A,斜高为的斜柱体,斜柱体体积为 AMlcos 8=A vn(n, v)=8< 2时,此即为通过区域A流向n所指一侧的流 量当(n,y)=日=3 2时,流量为0,当 (万=8>z 通过闭区域A流向n所指一侧的流量均称为A2时,流量为负任称为流体 解:但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面,且流速ν也不是常向量,故采用元素 法把∑分成n小块△S,设∑光滑,且P,Q,R连续,当△S很小时,流过△S2的体积 近似值为以△S为底,以男,与)为斜高的柱体,任(与2,男,41)∈△8,2为 (5,m,9)处的单位法向量n;={53,7,5},故流量:v(,2,与)nAS,第五节 对坐标的曲面积分 教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质 教学重点：对坐标曲面积分的计算 教学难点：对坐标曲面积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1．有向曲面 侧：设曲面 ，若取法向量朝上（ 与 轴正向的夹角为锐角），则曲面取 定上侧，否则为下侧；对曲面 ，若 的方向与 正向夹角为锐角，取定 曲面的前侧，否则为后侧，对曲面 ， 的方向与 正向夹角为锐角取定 曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定 曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲 面 2．投影 设 是有向曲面，在 上取一小块曲面 ，把 投影到 面上，得一投影域 （表示区域，又表示面积），假定 上任一点的法向量与 轴夹角 的余弦 同号，则规定投影 为 实质将投影面积附以一定的 符号，同理可以定义 在 面， 面上的投影 ， 3．流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为1）的速度场为 = + + ， 为 其 中一片有向曲面， 在 上连续，求单位时间内流向 指定侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量 ，又设 为该平面的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流 体组成一底面积为 ，斜高为 的斜柱体，斜柱体体积为 时，此即为通过区域 流向 所指一侧的流 量.当 时，流量为0，当 时，流量为负任称为流体 通过闭区域 流向 所指一侧的流量均称为 . 解：但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速 也不是常向量，故采用元素 法.把 分成 小块 ，设 光滑，且 连续，当 很小时，流过 的体积 近似值为以 为底，以 为斜高的柱体，任 ， 为 处的单位法向量 ，故流量