在(x2,…,x)邻域上解出 x2=f2(x…,xn)…,x,=∫1(x+1…,xn) 代入x1=(x2,…,xn)中,令 x1=f(x1…,x)=H(f(x1…,xn)…,f(x1…,xn),x1,…,x), 得隐函数定理 例:设F(l1v,x,y),G(uvx,y)是点P=(unV0,x0,y0)邻域上C的函数,满足 F(lb,V0,x0,y)=0,G(ub,v0,x0,y0)=0 且cCEQ)(P)≠0.设=0x,y),y=x,y)是由F(u2x,xy)=0G(m,x,y)=0在 d(u, v) P邻域上确定的隐函数.求l2,ly,Vx," 解:将u(x,y)v(x,y)代入F和G,得恒等式 F(u(x, y),v(,y)x,y=0 G(u(x,y),v(x,y),x,y)=0 对其微分,得 (F。n2+Fv,+Fk+(。n+F,+F=0 1G,+G,,+G,+(nn,+G,”,+G,妙= 但x和y是独立变量,因此必须 Fn·l12+Fx+F2=0 Fly,+F",+F,=0 Gnu2+G,,+G2=0, G.·ul+G.·v,+G.=0. 解这两个线性方程组得 FF F FF F 例:设L是由F(x,y,z)=0和G(x,y,2)=0确定的曲线,设P∈L,F(x,yz), G(xy:)在P邻域上是C的函数且mk(a5Q()=2.证明L在邻域上是 a(x,y,二) 光滑曲线,并求L在P的切线9 在( , , ) 0 0 2 r x L x 邻域上解出 ( , , ), , ( , , ) 2 2 r 1 n r r r 1 n x f x L x L x f x L x = + = + . 代入 ( , , ) 1 2 n x = h x L x 中, 令 ( ) r n r n r r n r n x f (x , , x ) h f (x , , x ), , f (x , , x ), x , , x 1 = 1 +1 L = 2 +1 L L +1 L +1 L , 得隐函数定理. 例: 设F(u, v, x, y), G(u, v, x, y) 是点 ( , , , ) 0 0 0 0 0 P = u v x y 邻域上 1 C 的函数, 满足 F(u0 , v0 , x0 , y0 ) = 0, G(u0 ,v0 , x0 , y0 ) = 0 且 ( ) 0 ( , ) ( , ) 0 ¹ ¶ ¶ P u v F G . 设u = u(x, y) , v = v( x, y) 是由 F(u, v, x, y) = 0, G(u,v, x, y) = 0 在 P0 邻域上确定的隐函数. 求 x y x y u ,u , v ,v . 解: 将u(x, y), v(x, y) 代入 F 和G , 得恒等式 ( ( , ), ( , ), , ) 0. ( ( , ), ( , ), , ) 0 º º G u x y v x y x y F u x y v x y x y 对其微分, 得 ( ) ( ) ( ) ( ) î í ì × + × + + × + × + = × + × + + × + × + = 0. 0 G u G v G dx G u G v G dy F u F v F dx F u F v F dy u x v x x u y v y y u x v x x u y v y y 但 x 和 y 是独立变量, 因此必须 î í ì × + × + = × + × + = î í ì × + × + = × + × + = 0. 0 0, 0 u y v y y u y v y y u x v x x u x v x x G u G v G F u F v F G u G v G F u F v F 解这两个线性方程组得 , . 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - y y u v u v y y x x u v u v x x G F G G F F v u G F G G F F v u 例: 设 L 是由 F( x, y,z) = 0 和 G( x, y,z) = 0 确定的曲线 . 设 P0 Î L , F( x, y,z) , G( x, y,z) 在 P0 邻域上是 1 C 的函数, 且 ( ) 2 ( , , ) ( , ) rank 0 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ P x y z F G . 证明 L 在 P0 邻域上是 光滑曲线, 并求L 在 P0 的切线