(2) (arctan x)= 1+x 积分 arctan x)o1+t r=∑r=>1x,xer山 当x=土1时,∑((出)为收敛的交错级数。 g(x)=xarctanx=x " 问题7任何函数都能展开为傅里叶级数吗?函数f(x)=2x,x∈[O,1)能展开为傅里 叶级数吗? 答:根据收敛定理,如果f(x)是周期函数且满足收敛条件,当然可以展开为(-∞∞)上 的傅里叶级数:如果f(x)不是周期函数,只要在[-1,小上满足收敛条件,也可以通过周期 延拓展开,从而得到[-上傅里叶级数:如果f(x)在[Q小满足收敛条件,则可以通过奇 (偶)延拓展开,从而得到[0小上的正弦级数、余弦级数。例如∫(x)=e2,f(x)=2x等 都不能展开为(-∞,∞)上傅里叶级数,但它们可以展开为[-1,小上傅里叶级数。 函数∫(x)=2x,x∈[-1]可以展开为傅里叶级数,这是因为可以将这个函数进行周期 延拓,使延拓后的函数F(x)成为周期函数: F(x)=2(x-2k)x∈[2k-1,2k+1]k=0±1±2 然后将F(x)展开为傅里叶级数,注意在x∈[-1]上,f(x)=F(x),因此F(x)的傅里叶 级数在[-]上就是f(x)的傅里叶级数。另外,这两个函数也可以展开成[上的正弦级 数、余弦级数。（2） ( ) 2 2 0 1 arctan ( 1) 1 n n n x x x  =  = = − +  ， x −( 1,1) 积分 2 2 0 0 0 1 arctan ( 1) 1 x x n n n x dt t dt t  = = = − +    ( ) 2 1 0 1 2 1 n n n x n  + = − = +  ， x − 1,1 当 x =1 时， ( ) 0 ( 1) 1 2 1 n n n  = −  +  为收敛的交错级数。  1 2 1 2 0 1 ( 1) ( 1) ( ) arctan 2 1 2 1 n n n n n n g x x x x x x n n   − + = = − − = = = + −   ， x − 1,1 问题 7 任何函数都能展开为傅里叶级数吗？函数 f x x x ( ) 2 , 0,1 =  ) 能展开为傅里 叶级数吗？ 答：根据收敛定理，如果 f x( ) 是周期函数且满足收敛条件，当然可以展开为 (− , ) 上 的傅里叶级数；如果 f x( ) 不是周期函数，只要在 −l l,  上满足收敛条件，也可以通过周期 延拓展开，从而得到 −l l,  上傅里叶级数；如果 f x( ) 在 0,l 满足收敛条件，则可以通过奇 （偶）延拓展开，从而得到 0,l 上的正弦级数、余弦级数。例如 ( ) x f x e = ， f x x ( ) 2 = 等 都不能展开为 (− , ) 上傅里叶级数，但它们可以展开为 −l l,  上傅里叶级数。 函数 f x x x ( ) 2 , 1,1 =  −  可以展开为傅里叶级数，这是因为可以将这个函数进行周期 延拓，使延拓后的函数 F x( ) 成为周期函数： F x x k x k k k ( ) 2( 2 ), 2 1,2 1 , 0, 1, 2, = −  − + =     然后将 F x( ) 展开为傅里叶级数，注意在 x − 1,1 上， f x F x ( ) ( ) = ，因此 F x( ) 的傅里叶 级数在 −1,1 上就是 f x( ) 的傅里叶级数。另外，这两个函数也可以展开成 0,1 上的正弦级 数、余弦级数