这里的v就是v0,a=-g:当他达到最高点 4一个正在沿直线行驶的汽船,关 时,v=0,所以上升到最高点的时间为 闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反 t1=vo/g=2.49s) 向、大小与船速平方成正比例的加速度,即 再根据匀变速直线运动的速度和位移dvdr=-k2,k为常数. 的关系式 (1)试证在关闭发动机后,船在t时 可得上升的最大高度为 刻的速度大小为-=-+kt; h=102/2g=3094(m). 他从最高点开始再做自由落体运动,下 (2)试证在时间t内,船行驶的距离 落的高度为 为x=ln(vokt+1) h2=h+h=100.94(m) 根据自由落体运动公式s=g/2,得下落的 证明!(1)分离变量得=-d 时间为 2h2 积分 因此他飞越的时间为 11 12=698(s) 可得 他飞越的水平速度为 cos0=60.05(m:s) 所以矿坑的宽度为 (2)公式可化为v volt (2)根据自由落体速度公式可得他落由于v=d/d,所以 地的竖直速度大小为 dt +Vokt k(1+vok) 落地速度为 )2=92.08(ms) 与水平方向的夹角为 积分「dx= d(l+volt) o=arctan(vvx)=49.30%, +v4) 方向斜向下 方法二:一步法.取向上的方向为正 因此x=ln(vnkt+1).证毕 他在竖直方向的位移为y=101-g/2,移项 [讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v), 得时间的一元二次方程 根据牛顿第二定律得∫=ma 由于a=d2x/ ogt -vo sin At+y=0 而 dx/d 解得 所以 dudt I=(vo sina y sin20-2gv)g 分离变量得方程 这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直 d 方向的速度大小,由于时间应该取正值,所 以公式取正根,计算时间为 解方程即可求解 t=6.98(s) 在本题中,k已经包括了质点的质量.如 由此可以求解其他问题 果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成 正比,则 22 这里的 v0 就是 vy0，a = -g；当他达到最高点 时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为 t1 = vy0/g = 2.49(s)． 再根据匀变速直线运动的速度和位移 的关系式 vt 2 - v0 2 = 2as， 可得上升的最大高度为 h1 = vy0 2 /2g = 30.94(m)． 他从最高点开始再做自由落体运动，下 落的高度为 h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式 s = gt2 /2，得下落的 时间为 2 2 2h t g = = 4.49(s)． 因此他飞越的时间为 t = t1 + t2 = 6.98(s)． 他飞越的水平速度为 vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1 )， 所以矿坑的宽度为 x = vx0t = 419.19(m)． （2）根据自由落体速度公式可得他落 地的竖直速度大小为 vy = gt = 69.8(m·s-1 )， 落地速度为 v = (vx 2 + vy 2 ) 1/2 = 92.08(m·s-1 )， 与水平方向的夹角为 φ = arctan(vy/vx) = 49.30º， 方向斜向下． 方法二：一步法．取向上的方向为正， 他在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2 /2，移项 得时间的一元二次方程 2 0 1 sin 0 2 gt v t y − + =  ， 解得 0 2 2 0 t v v gy g =  − ( sin sin 2 )   ． 这里 y = -70m，根号项就是他落地时在竖直 方向的速度大小，由于时间应该取正值，所 以公式取正根，计算时间为 t = 6.98(s)． 由此可以求解其他问题． 1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关 闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反 向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt = -kv2，k 为常数． （1）试证在关闭发动机后，船在 t 时 刻的速度大小为 0 1 1 kt v v = + ； （2）试证在时间 t 内，船行驶的距离 为 0 1 x v kt ln( 1) k = + ． [证明]（1）分离变量得 2 d d v k t v = − ， 积分 0 2 0 d d v t v v k t v = −   ， 可得 0 1 1 kt v v = + ． （2）公式可化为 0 0 1 v v v kt = + ， 由于 v = dx/dt，所以 0 0 0 0 1 d d d(1 ) 1 (1 ) v x t v kt v kt k v kt = = + + + 积分 0 0 0 0 1 d d(1 ) (1 ) x t x v kt k v kt = + +   ． 因此 0 1 x v kt ln( 1) k = + ． 证毕． [讨论]当力是速度的函数时，即 f = f(v)， 根据牛顿第二定律得 f = ma． 由于 a = d2 x/dt 2， 而 dx/dt = v， 所以 a = dv/dt， 分离变量得方程 d d ( ) m v t f v = ， 解方程即可求解． 在本题中，k 已经包括了质点的质量．如 果阻力与速度反向、大小与船速的 n 次方成 正比，则