湖南大学物理与微电子科学学院：《大学物理教材习题解答》第1-3章习题解.doc_大学文库

1 大学物理习题解答湖南大学物理与微电子科学学院第一章质点运动学 P23． 1．1 一质点沿直线运动，运动方程为 x(t) = 6t 2 - 2t 3．试求：（1）第 2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s 内的路程；（3）1s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平均加速度． [解答]（1）质点在第 1s 末的位移大小为 x(1) = 6×1 2 - 2×1 3 = 4(m)．在第 2s 末的位移大小为 x(2) = 6×2 2 - 2×2 3 = 8(m)．在第 2s 内的位移大小为 Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，经过的时间为 Δt = 1s，所以平均速度大小为 v =Δx/Δt = 4(m·s-1 )．（2）质点的瞬时速度大小为 v(t) = dx/dt = 12t - 6t 2，因此 v(1) = 12×1 - 6×1 2 = 6(m·s-1 )， v(2) = 12×2 - 6×2 2 = 0，质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小，即 Δs = Δx = 4m．（3）质点的瞬时加速度大小为 a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此 1s 末的瞬时加速度为 a(1) = 12 - 12×1 = 0，第 2s 内的平均加速度为 a = [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2 )． [注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是 1 秒． 1．2 一质点作匀加速直线运动，在 t = 10s 内走过路程 s = 30m，而其速度增为 n = 5 倍．试证加速度为 2 2( 1) ( 1) n s a n t − = + ．并由上述数据求出量值． [证明]依题意得 vt = nvo，根据速度公式 vt = vo + at，得 a = (n – 1)vo/t， (1) 根据速度与位移的关系式 vt 2 = vo 2 + 2as，得 a = (n 2 – 1)vo 2 /2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得 2 2( 1) ( 1) n s a n t − = + ．计算得加速度为 2 2(5 1)30 (5 1)10 a − = + = 0.4(m·s-2 )． 1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成 22.5°的夹角的初速度 65m·s-1 从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低 70m，忽略空气阻力，且取 g = 10m·s-2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用 θ 表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为 vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1 )．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式 vt - v0 = at， 70m 22.5º 图 1.3

2 这里的 v0 就是 vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为 t1 = vy0/g = 2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式 vt 2 - v0 2 = 2as，可得上升的最大高度为 h1 = vy0 2 /2g = 30.94(m)．他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为 h2 = h1 + h = 100.94(m)．根据自由落体运动公式 s = gt2 /2，得下落的时间为 2 2 2h t g = = 4.49(s)．因此他飞越的时间为 t = t1 + t2 = 6.98(s)．他飞越的水平速度为 vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1 )，所以矿坑的宽度为 x = vx0t = 419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为 vy = gt = 69.8(m·s-1 )，落地速度为 v = (vx 2 + vy 2 ) 1/2 = 92.08(m·s-1 )，与水平方向的夹角为 φ = arctan(vy/vx) = 49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2 /2，移项得时间的一元二次方程 2 0 1 sin 0 2 gt v t y − + =  ，解得 0 2 2 0 t v v gy g =  − ( sin sin 2 )   ．这里 y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为 t = 6.98(s)．由此可以求解其他问题． 1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt = -kv2，k 为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在 t 时刻的速度大小为 0 1 1 kt v v = + ；（2）试证在时间 t 内，船行驶的距离为 0 1 x v kt ln( 1) k = + ． [证明]（1）分离变量得 2 d d v k t v = − ，积分 0 2 0 d d v t v v k t v = −   ，可得 0 1 1 kt v v = + ．（2）公式可化为 0 0 1 v v v kt = + ，由于 v = dx/dt，所以 0 0 0 0 1 d d d(1 ) 1 (1 ) v x t v kt v kt k v kt = = + + + 积分 0 0 0 0 1 d d(1 ) (1 ) x t x v kt k v kt = + +   ．因此 0 1 x v kt ln( 1) k = + ．证毕． [讨论]当力是速度的函数时，即 f = f(v)，根据牛顿第二定律得 f = ma．由于 a = d2 x/dt 2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程 d d ( ) m v t f v = ，解方程即可求解．在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的 n 次方成正比，则

3 dv/dt = -kvn．（1）如果 n = 1，则得 d d v k t v = − ，积分得 lnv = -kt + C．当 t = 0 时，v = v0，所以 C = lnv0，因此 lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e -kt．而 dv = v0e -ktdt，积分得 0 e ` v kt x C k − = + − ．当 t = 0 时，x = 0，所以 C` = v0/k，因此 0 (1-e ) v kt x k − = ．（2）如果 n≠1，则得 d d n v k t v = − ，积分得 1 1 n v kt C n − = − + − ．当 t = 0 时，v = v0，所以 1 0 1 n v C n − = − ，因此 1 1 0 1 1 ( 1) n n n kt v v − − = + − ．如果 n = 2，就是本题的结果．如果 n≠2，可得 1 ( 2)/( 1) 0 2 0 {[1 ( 1) ] 1} ( 2) n n n n n v kt x n v k − − − − + − − = − ，读者不妨自证． 1．5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： θ = 2 + 4t 3．求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ 为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为 ω = dθ/dt = 12t 2 = 48(rad·s-1 )，法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2 )；角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2 )，切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2 )．（2）总加速度为 a = (at 2 + an 2 ) 1/2，当 at = a/2 时，有 4at 2 = at 2 + an 2，即 3 n t a a = ．由此得 2 r r   = 3 ，即 2 2 (12 ) 24 3 t t = ，解得 3 t = 3 / 6．所以 3  = + = + 2 4 2(1 3 / 3) t =3.154(rad)．（3）当 at = an 时，可得 rβ = rω2，即 24t = (12t 2 ) 2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)． 1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为 30°而斜向下，此后飞机的加速度为 a = 20 3 m·s-2，方向与水平前进方向夹角为 30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？ [解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v0x = v0cosθ， v0y = v0sinθ．加速度的大小为 ax = acosα， y x O α v0 θ a ax ay v0x v0y

asina 机的天花板上松落,天花板与升降机的底面运动方程为相距2.74m.计算 (1)螺帽从天花板落到底面所需的时 x=vorl+=, 间 (2)螺帽相对于升降机外固定柱子的 vo lt-a 下降距离即x=0cos6·t+ a cos a.t2, [解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为 y=- , sine1+ a sina·t2 h1=v2+an2; 令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为螺帽做竖直上抛运动,位移为 =0(舍去):t=2sin 10√3(s h2=V21-=gt a sina 将t代入x的方程求得x=9000m 由题意得h=h1-h,所以注意选择不同的坐标系,例如x方向沿着a的方向或者沿着1的方向,也能求出 h=-(a+g)t 相同的结果解得时间为 1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘, √2h(a+g)=0705 可以绕一水平轴自由转算得h=-0.716m,即螺帽相对于升降机外动.一根轻绳绕在盘子固定柱子的下降距离为0716m 的边缘,其自由端拴一注意]以升降机为参考系,钉子下落时物体A.在重力作用下, 相对加速度为a+g,而初速度为零,可列物体A从静止开始匀加方程速地下降,在△t=20s h=(a+g)2, 内下降的距离h 由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降 0.4m.求物体开始下降距离后3末,圆盘边缘上任图1.7 点的切向加速度与法 9有一架飞机从A处向东飞到B处, 向加速度然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地「解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于面的速度为,AB之间的距离为l,飞机相物体A下落加速度对于空气的速率ν保持不变由于h1 2a△r,所以 (1)如果=0(空气静止),试证来 an=2h△2=0.2(m-s2) 回飞行的时间为物体下降3s末的速度为 (2)如果气流的速度向东,证明来回 v=at=06(ms1), 这也是边缘的线速度,因此法向加速度为飞行的总时间为=1p2 (3)如果气流的速度向北,证明来回 an=÷=0.36(ms2) R 飞行的总时间为2 1.8一升降机以加速度1.22ms2上升, [证明](1)飞机飞行来回的速率为v, 当上升速度为244ms1时,有一螺帽自升降路程为2l,所以飞行时间为t=2l/v

4 ay = asinα．运动方程为 2 0 1 2 x x x v t a t = + ， 2 0 1 2 y y y v t a t = − + ．即 2 0 1 cos cos 2 x v t a t =  +    ， 2 0 1 sin sin 2 y v t a t = −  +    ．令 y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为 t = 0（舍去）； 0 2 sin 10 3 sin v t a   = = (s)．将 t 代入 x 的方程求得 x = 9000m． [注意]选择不同的坐标系，例如 x 方向沿着 a 的方向或者沿着 v0 的方向，也能求出相同的结果． 1．7 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A．在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速地下降，在 Δt = 2.0s 内下降的距离 h = 0.4m．求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度． [解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下落加速度．由于 1 2 2 t h a t =  ，所以 at = 2h/Δt 2 = 0.2(m·s-2 )．物体下降 3s 末的速度为 v = att = 0.6(m·s-1 )，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为 2 n v a R = = 0.36(m·s-2 )． 1．8 一升降机以加速度 1.22m·s-2 上升，当上升速度为 2.44m·s-1 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离． [解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为 2 1 0 1 2 h v t at = + ；螺帽做竖直上抛运动，位移为 2 2 0 1 2 h v t gt = − ．由题意得 h = h1 - h2，所以 1 2 ( ) 2 h a g t = + ，解得时间为 t h a g = + 2 /( ) = 0.705(s)．算得 h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 0.716m． [注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列方程 h = (a + g)t 2 /2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离． 1．9 有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处．已知气流相对于地面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相对于空气的速率 v 保持不变．（1）如果 u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为 0 2l t v = ；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为 0 1 2 2 1 / t t u v = − ；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为 0 2 2 2 1 / t t u v = − ． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为 v，路程为 2l，所以飞行时间为 t0 = 2l/v． R A 图 1.7

5 （2）飞机向东飞行顺风的速率为 v + u，向西飞行逆风的速率为 v - u，所以飞行时间为 1 2 2 l l vl 2 t v u v u v u =+= + − − 0 2 2 2 2 2 / 1 / 1 / l v t u v u v = = − − ．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为 2 2 V v u = − ，所以飞行时间为 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 / l l l v t V v u u v = = = − − 0 2 2 1 / t u v = − ．证毕． 1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为 θ，偏向于汽车前进方向，速度为 v2．今在车后放一长方形物体，问车速 v1 为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？ [解答]雨对地的速度 2 v 等于雨对车的速度 3 v 加车对地的速度 1 v ，由此可作矢量三角形．根据题意得 tanα = l/h．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得 v1 = v2sinθ + v3sinα，其中 v3 = v⊥/cosα，而 v⊥ = v2cosθ，因此 v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，即 1 2 (sin cos ) l v v h = +   ．证毕．方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得 1 2 sin( ) sin(90 ) v v    = +  − ，所以 1 2 sin( ) cos v v    + = 2 sin cos cos sin cos v      + = 2 = + v (sin cos tan )    ，即 1 2 (sin cos ) l v v h = +   ．方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在 t 时间内，雨滴的位移为 l = (v1 – v2sinθ)t， h = v2cosθ∙t．两式消去时间 t 即得所求．证毕．第二章质点力学的运动定律守恒定律 P91． 2.1 一个重量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 α）上以初速度 0 v 运动， 0 v 的方向与斜面底边的水平约 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道． [解答]质点在斜上运动的加速度为 a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为 x = v0t， 1 1 2 2 sin 2 2 y at g t = =   ． α A B v0 P 图 2.1 A B A B v v + u v - u A B v u u v v v1 h l v2 θ 图 1.10 v1 h l θ v2 v3 α α v⊥

6 将 t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为 2 2 0 g sin y x v  = ，这是抛物线方程． 2.2 桌上有一质量 M = 1kg 的平板，板上放一质量 m = 2kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为 μk = 0.25，静摩擦因素为 μs = 0.30．求：（1）今以水平力 F 拉板，使两者一起以 a = 1m·s-2 的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？ [解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力 Nm = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为 fm = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力 NM = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为 fM = μkNM = 7.35(N)．这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为 a`的运动，物体的运动方程为 f =μsmg = ma`，可得 a` =μsg．板的运动方程为 F – f – μk(m + M)g = Ma`，即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要 16.17N 的力． 2．3 如图所示：已知 F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为 0.2．求质量为 m2 的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计） [解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为 a2 = 2a1，而力的关系为 T1 = 2T2．对两物体列运动方程得 T2 - μm2g = m2a2， F – T1 – μm1g = m1a1．可以解得 m2 的加速度为 1 2 2 1 2 ( 2 ) / 2 2 F m m g a m m − +  = + = 4.78(m·s-2 )，绳对它的拉力为 2 1 1 2 ( / 2) / 2 2 m T F m g m m = −  + = 1.35(N)． 2．4 两根弹簧的倔强系数分别为 k1 和 k2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数 k 与 k1 和 k2．满足关系关系式 1 2 1 1 1 k k k = + ；（2）它们并联起来时，总倔强系数 k = k1 + k2． Nm fm NM fM a Nm f NM f ` f F a` m2 T1 F a1 T m1 a2 2 f2 f1 图 2.3 k1 k2 F (a) k1 k2 F 图 2.4 (b)

7 [解答]当力 F 将弹簧共拉长 x 时，有 F = kx，其中 k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长 x1 和 x2，产生的弹力分别为 F1 = k1x1，F2 = k2x2．（1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 1 2 1 2 F F F k k k = + ，即 1 2 1 1 1 k k k = + ．（2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2，即 k = k1 + k2． 2．5 如图所示，质量为 m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角 θ）及线中的张力 T．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度 1 a 沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成 φ 角；（4）用与斜面平行的加速度 1 b 把小车沿斜面往上推（设 b1 = b）；（5）以同样大小的加速度 2 b （b2 = b），将小车从斜面上推下来． [解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为 T = mg．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于 tanθ = ma/mg，所以 θ = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 2 2 2 2 T ma mg m a g = + = + ( ) ( ) ．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 θ = φ； T = mgcosφ．（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ 角的对边是 mbcosφ，邻边是 mg + mbsinφ，由此可得： cos tan sin mb mg mb    = + ，因此角度为 cos arctan sin b g b    = + ；而张力为 2 2 T mb mg mb mg = + − + ( ) ( ) 2( )( )cos( / 2 ) π  2 2 = + + m b g bg 2 sin ．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了． 2．6 如图所示：质量为 m = 10kg 的小球，拴在长度 l = 5m 的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为 60°．求：（1）小球通过竖图 2.5 T mg ma θ （2） T mg ma φ θ （3） T mg mb φ θ φ （4） T mg mb φ θ （5） l m θ B C O 图 2.6

8 直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在 θ < 60°的任一位置时，求小球速度 v 与 θ 的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在 θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？ [解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即 F = -mgsinθ，负号表示角度 θ 增加的方向为正方向．小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ，其中 s 表示弧长．由于 s = Rθ = lθ，所以速度为 d d d d s v l t t  = = ，因此 d d d d d d d d v v m v F m m v t t l    = = = ，即 vdv = -glsinθdθ，（1）取积分 0 0 60 d sin d B v v v gl    = −   ，得 0 2 60 1 cos 2 B v gl   = ，解得 B v gl = = 2.21(m·s-1 )．由于 2 2 B B B v v T mg m m mg R l − = = = ，所以 TB = 2mg = 1.96(N)．（2）由（1）式积分得 1 2 cos 2 C v gl C = +  ，当 θ = 60º 时，vC = 0，所以 C = -lg/2，因此速度为 (2cos 1) C v gl = −  ．切向加速度为 at = gsinθ；法向加速度为 2 (2cos 1) C n v a g R = = −  ．由于 TC – mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．（3）当 θ = 60º 时，切向加速度为 3 2 t a g = = 8.49(m·s-2 )，法向加速度为 an = 0，绳子的拉力 T = mg/2 = 0.49(N)． [注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便． 2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解） [解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为 θ，则 F = mgcosθ．小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ， s 表示弧长．由于 d d s v t = ，所以 2 2 d d d d d d d ( ) d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s = = = = ，因此 vdv = gcosθds = gdh， h 表示石下落的高度．积分得 1 2 2 v gh C = + ，当 h = 0 时，v = 0，所以 C = 0，因此速率为 v gh = 2 ． l m θ B C O mg T h θ m N mg 图 2.7

9 2．8 质量为 m 的物体，最初静止于 x0，在力 2 k f x = − (k 为常数)作用下沿直线运动．证明物体在 x 处的速度大小 v = [2k(1/x – 1/x0)/m] 1/2． [证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程 2 2 2 d d k x f ma m x t = − = = 利用 v = dx/dt，可得 2 2 d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x = = = ，因此方程变为 2 d d k x mv v x = − ，积分得 1 2 2 k mv C x = + ．利用初始条件，当 x = x0 时，v = 0，所以 C = -k/x0，因此 2 0 1 2 k k mv x x = − ，即 0 2 1 1 ( ) k v m x x = − ．证毕． [讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．如果 f(x) = -k/xn，则得 1 d 2 2 n x mv k x = −  ．（1）当 n = 1 时，可得 1 2 ln 2 mv k x C = − + ．利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 C = lnx0，因此 1 2 0 ln 2 x mv k x = ，即 2 0 ln k x v m x = ．（2）如果 n≠1，可得 1 2 1 2 1 k n mv x C n − = − + − ．利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 1 0 1 k n C x n − = − − ，因此 2 1 1 0 1 1 1 ( ) 2 1 n n k mv n x x − − = − − ，即 1 1 0 2 1 1 ( ) ( 1) n n k v n m x x − − = − − ．当 n = 2 时，即证明了本题的结果． 2．9 一质量为 m 的小球以速率 v0 从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为 k．求：（1）小球速率随时间的变化关系 v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间 T． [解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程 d d v f mg kv m t = − − = ，分离变量得 d d( ) d v m mg kv t m mg kv k mg kv + = − = − + + ，积分得 ln ( ) m t mg kv C k = − + + ．当 t = 0 时，v = v0，所以 0 ln ( ) m C mg kv k = + ，因此 0 0 / ln ln / m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v + + = − = − + + ，小球速率随时间的变化关系为 0 ( )exp( ) mg kt mg v v k m k = + − − ．（2）当小球运动到最高点时 v = 0，所

10 需要的时间为 0 0 / ln ln(1 ) / m m mg k v kv T k mg k k mg + = = + ． [讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．由于 v = dx/dt，所以 0 d [( )exp( ) ]d mg kt mg x v t k m k = + − − ，即 0 ( / ) d d exp( ) d m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ，积分得 0 ( / ) exp( ) ` m v mg k kt mg x t C k m k + = − − − + ，当 t = 0 时，x = 0，所以 0 ( / ) ` m v mg k C k + = ，因此 0 ( / )[1 exp( )] m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ．（2）如果小球以 v0 的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 d d v f mg kv m t = − = ，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为 0 ( )exp( ) mg mg kt v v k k m = − − − ．这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数 vm = mg/k． 2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为 R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为 μk．设物体在某时刻经 A 点时速率为 v0，求此后时刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程． [解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv2 /R．物体所受的摩擦力为 f = -μkN，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得 2 d d k v v f m m R t = − =  ，即 2 d d k v t R v  = − ．积分得 k 1 t C R v  = + ．当 t = 0 时，v = v0，所以 0 1 C v = − ，因此 0 k 1 1 t R v v  = − ．解得 0 0 1 / k v v  v t R = + ．由于 0 0 0 0 d d(1 / ) d 1 / 1 / k k k k v t v t R R x v t R v t R     + = = + + ，积分得 0 ln (1 ) ` k k R v t x C R   = + + ，当 t = 0 时，x = x0，所以 C = 0，因此 0 ln (1 ) k k R v t x R   = + ． *2．11 2．12 如图所示，一半径为 R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度 ω，试求在不同 A R v0 图 2.10 m R ω θ r mg 图 2.12

湖南大学物理与微电子科学学院：《大学物理教材习题解答》第1-3章 习题解

湖南大学物理与微电子科学学院：《大学物理教材习题解答》第1-3章习题解