大学物理 大学物理教研室:郑采星 习题讨论课 真空中的静电场 导体与电介质
1 大学物理 习题讨论课 真空中的静电场 大学物理教研室：郑采星 导体与电介质
半径为R的半圆细环上均匀分 布电荷Q,求环心处的电场强度 解:在弧线上取线元dl,其电荷 q R 此电荷元可视为点电荷,它在点O的电场强度 de de =desin e de=decose 4兀cnR 因圆环上电荷对y轴呈对称性分布,电场分布也是轴对称 的,则有, 「岖=0点的合E=dE量可求得E 统一积分变 电场强度
2 1. 一半径为R的半圆细环上均匀分 布电荷Q，求环心处的电场强度。 解：在弧线上取线元dl，其电荷 l R Q dq d = 此电荷元可视为点电荷，它在点O的电场强度 因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称 的，则有， = L dEx 0 点O的合 电场强度 统一积分变 量可求得E。 2 4 0 d d R q E = dEx = dEsin, dEy = dEcos = L y E E j d
由上述分析,点O的电场强度 1 sine O dl E 4丌ER2mR 由几何关系,dl=Rde dEl 统一积分变量后,有 O 04/&oSin 0de= 2丌2ER 方向沿y轴负方向
3 由上述分析，点O的电场强度 由几何关系， 统一积分变量后，有 dl = Rd 方向沿y轴负方向。 l R Q R E L d sin 4 1 2 0 0 = − 2 0 2 0 2 0 0 2 2 sin d 4 R Q R Q E = − = −
2两条无限长平行直导线相距为r,均匀带有等量异号电荷, 电荷线密度为。(1)求两导线构成的平面上任一点的电场 强度(设该点到其中一线的垂直距离为x);(2)求每一根 导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析:(1)在两导线构成的平面 上任一点的电场强度为两导线单 - 独在此所激发的电场的叠加 (2)由F=qE,单位长度导线 所受的电场力等于另一根导线在 X 该导线处的电场强度来乘以单位 长度导线所带电的量,即:F= E应该注意:式中的电场强度E 是除去自身电荷外其它电荷的合 电场强度
4 2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷， 电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场 强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根 导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析：（1）在两导线构成的平面 上任一点的电场强度为两导线单 独在此所激发的电场的叠加。 （2）由F = qE，单位长度导线 所受的电场力等于另一根导线在 该导线处的电场强度来乘以单位 长度导线所带电的量，即：F = E应该注意：式中的电场强度E 是除去自身电荷外其它电荷的合 电场强度。 o x − 0 r x p
解:(1)设点P在导线构成的平面上,E+、E分别表 示正、负带电导线在P点的电场强度,则有 2(1 E=E+e= E1-2 2z6(x6-x E 2兀G0x(76-x) X (2)设F、F分别表示正、负 带电导线单位长度所受的电场力, 则有 F=hE 2兀60 F=2E 相互作用力大小相等,方向 相反,两导线相互吸引
5 解：（1）设点P在导线构成的平面上， 、 分别表 示正、负带电导线在P点的电场强度，则有 E+ E− （2）设 、 分别表示正、负 带电导线单位长度所受的电场力， 则有 F+ F− 相互作用力大小相等，方向 相反，两导线相互吸引。 i x r x r i x r x E E E 2 ( ) 1 1 2 0 0 0 0 0 − = − = + + − = + i r F E 0 0 2 2 + = − = i r F E 0 0 2 2 − = + = − o x − 0 r x p E+ E−
3边长为a的立方体如图所示,其表面分别平行于x、y和x 平面,立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场 强度E=(E1+kx)i+E2的非均匀电场中,求电场对立方 体各表面及整个立方体表面的电场强度通量 解:参见图。由题意E与 B Oxy面平行,所以对任何 与Oxy面平行的立方体表 面。电场强度的通量为零 OABC DEFG 0 请分析:中ABGF=? ABGF 「EdS=∫[(E1+kx)+E2/)dS门 ABGF ABGF E2 dslas-s ABGF
6 解：参见图。由题意E与 Oxy面平行，所以对任何 与Oxy面平行的立方体表 面。电场强度的通量为零: ΦOABC = ΦDEFG = 0 3.边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场 强度 的非均匀电场中，求电场对立方 体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 ? 请分析： ΦABGF = E E k x i E j 1 2 = ( + ) + = = + + ABGF ABGF d [( ) )] [d ] ABGF 1 2 S S Φ E S E k x i E j S j 2 = E2 dS| dS=SABGF = E2 a
E=(E+hx)i +E 考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反,且该两面的电场分布 相同,故有 CDEO ABGF C 同理 AOEF ∫EdS=「E1i+E2[-dSi=-Ea2 AOEF AOEF pBDE=∫EdS=∫[(E1+ka)+E2小dS=(E1+ka)2 BCDG BCDG 因此,整个立方体表面的电场强度通量 =∑D=k
7 考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反，且该两面的电场分布 相同，故有 2 ΦCDEO = −ΦABGF = −E2 a 同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量 3 Φ =Φ = k a 2 AOEF 1 2 1 AOEF AOEF Φ E d S [E i E j] [ d S i ] E a S S = = + − = − E E k x i E j 1 2 = ( + ) + 2 BCDG 1 2 1 d [( ) ] [d ] ( ) BCDG BCDG Φ E S E k a i E j S i E k a a S S = = + + = +
4.一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为σ,在平板中部有一半 径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场 强度。 分析:用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适 用于几种非常特殊的对称性电场 本题的电场分布虽然不具有这样 的对称性,但可以利用具有对称 性的无限大带电平面和带电圆盘 的电场叠加,求出电场的分布。 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的 带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电 荷面密度σ′=-)的圆盘。这样中心轴线上的电场强度 等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和
8 4.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半 径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场 强度。 分析：用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适 用于几种非常特殊的对称性电场。 本题的电场分布虽然不具有这样 的对称性，但可以利用具有对称 性的无限大带电平面和带电圆盘 的电场叠加，求出电场的分布。 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的 带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电 荷面密度 ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度 等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 = −
解:在带电平面附近E1=nn为沿平面外法线的单位矢量 28 圆盘激发的电场: E 2E0 x+r 它们的合电场强度为 E=E1+E2=26√x2 1 2 (b) 在圆孔中心处x=0,则E=0 在距离圆孔较远时x>r,则E=1 26o1+r2/x 28 上述结果表明,在x>r时。带电平板上小圆孔对电场 分布的影响可以忽略不计
9 解：在带电平面附近 它们的合电场强度为 在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x>>r，则 上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场 分布的影响可以忽略不计。 E nˆ 2 0 1 = n ˆ 为沿平面外法线的单位矢量； n x r x E 1 ˆ 2 2 2 0 2 + = − − n x r x E E E ˆ 2 2 2 0 1 2 + = + = n n r x E ˆ 2 ˆ 1 1 2 0 2 2 0 + = 圆盘激发的电场:
5如图所示,一厚度为b的“无限大”带电平板,其电荷体密 度分布为0=kx(0≤x≤b),式中k为一常数,求: (1)平板外两侧任一点P和P2处的电场强度; (2)平板内任一点P处的电场强度; (3)场强为零的点在何处? 分析:平板外两侧电场分布 在带电平板中取一平面, 电荷面密度o(x) E=( 两侧均匀场,方向 28 与平面垂直 可知:平板外两侧电场仍为均匀电 场,方向与板面垂直! b
10 5.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密 度分布为= kx（0 x b），式中k为一常数，求： （1）平板外两侧任一点P1 和P2处的电场强度； （2）平板内任一点P处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？ 0 x b P1 P P2 x 分析：平板外两侧电场分布 在带电平板中取一平面， 电荷面密度(x) 2 0 ( ) x E = 两侧均匀场,方向 与平面垂直 可知：平板外两侧电场仍为均匀电 场，方向与板面垂直！