湖南大学物理与微电子科学学院：《大学物理教材习题解答》第12-16章习题解.doc_大学文库

1 第 12 章静电场 P35． 12．3 如图所示，在直角三角形 ABCD 的 A 点处，有点电荷 q1 = 1.8×10-9C，B 点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求 C 点的场强． [解答]根据点电荷的场强大小的公式 2 2 0 1 4 q q E k r r = =  ，其中 1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．点电荷 q1 在 C 点产生的场强大小为 1 1 2 0 1 4 q E AC =  9 9 4 -1 2 2 1.8 10 9 10 1.8 10 (N C ) (3 10 ) − −  =   =    ，方向向下．点电荷 q2 在 C 点产生的场强大小为 2 2 2 0 1 | | 4 q E BC =  9 9 4 -1 2 2 4.8 10 9 10 2.7 10 (N C ) (4 10 ) − −  =   =    ，方向向右． C 处的总场强大小为 2 2 E E E = +1 2 4 4 -1 =  =   0.9 13 10 3.245 10 (N C )，总场强与分场强 E2 的夹角为 1 2 arctan 33.69 E E  = = ． 12．4 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ 和-λ，求圆心处的场强． [解答] 在带正电的圆弧上取一弧元 ds = Rdθ，电荷元为 dq = λds，在 O 点产生的场强大小为 2 2 0 0 0 1 d 1 d d d 4 4 4 q s E R R R       = = = ，场强的分量为 dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．对于带负电的圆弧，同样可得在 O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向的合场强为零，总场强沿着 y 轴正方向，大小为 2 d sin y L E E E = =   / 6 / 6 0 0 0 0 sin d ( cos ) 2 2 R R = = −           0 3 (1 ) 2 2 R = −   ． 12．5 均匀带电细棒，棒长 a = 20cm，电荷线密度为 λ = 3×10-8C·m-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm 处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距 d2 = 8cm 处的场强． [解答]（1）建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在 P1 点产 E2 E1 E q2 A C q1 B θ 图 13.1 Ex x E θ R ds Ey O y ds Ex x E θ R Ey O y o l x x dl y P1 r -L L d1

3 12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问 θ 为何值时，圆心 O 点处的场强为零． [解答]设电荷线密度为 λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 ds =R dφ，所带的电量为 dq = λds，在圆心处产生的场强的大小为 2 2 0 0 d d d d 4 4 q s E k r R R      = = = ，由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为 dEx = -dEcosφ．总场强为 2 / 2 0 / 2 cos d 4 E x R        − − =  2 / 2 0 / 2 sin 4 R       − − = 0 sin 2 2 R    = ，方向沿着 x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上 O 点产生的场强大小为 ` 0 4 E R   = ，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点产生的合场强为 ` ` 0 2 cos cos 2 2 2 E E x R     = = ，方向沿着 x 轴负向．当 O 点合场强为零时，必有 ` E E x x = ，可得 tanθ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4，所以 θ = π/2． 12．7 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为 σ，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为 a 处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为 d 处的场强． [解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的线密度为 dλ = σd x，根据直线带电线的场强公式 0 2 E r   = ，得带电直线在 P 点产生的场强为 0 0 d d d 2 2 ( / 2 ) x E r b a x     = = + − ，其方向沿 x 轴正向．由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为 / 2 0 / 2 1 d 2 / 2 b b E x b a x   − = + −  / 2 0 / 2 ln( / 2 ) 2 b b b a x   − − = + − 0 ln(1 ) 2 b a   = + ． ① θ R O 图 13.4 θ R O x dφ dE φ O θ E` E`` x R P b a Q d 图 13.5 P b a O x dx y

4 场强方向沿 x 轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的线密度仍然为 dλ = σd x，带电直线在 Q 点产生的场强为 2 2 1/ 2 0 0 d d d 2 2 ( ) x E r b x     = = + ，沿 z 轴方向的分量为 2 2 1/ 2 0 cos d d d cos 2 ( ) z x E E b x     = = + ，设 x = dtanθ，则 dx = ddθ/cos2θ，因此 0 d d cos d 2 E E z     = = 积分得 arctan( / 2 ) arctan( / 2 ) 0 d 2 b d z b d E    − =  0 arctan( ) 2 b d   = ． ② 场强方向沿 z 轴正向． [讨论]（1）薄板单位长度上电荷为 λ = σb， ①式的场强可化为 0 ln(1 / ) 2 / b a E a b a   + = ，当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 2 0 E a   → ， ③ 这正是带电直线的场强公式．（2）②也可以化为 0 arctan( / 2 ) 2 / 2 z b d E d b d   = ，当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 2 0 E z d   → ，这也是带电直线的场强公式．当 b→∞时，可得 0 2 E z   → ， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式． 12．8 （1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为 Φe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过 6 个面，通过每一面的电通量为 Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为 Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零． 12．9 面电荷密度为 σ 的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量． [解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为 q = πR2σ，通过球面的电通量为 Q b O d z dx x y r dE θ R O 图13.7

5 Φe = q/ε0，通过半球面的电通量为 Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0． 12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为 λ 和-λ，求（1）r R2 处各点的场强． [解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0，（r R2）． 12．11 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为 ρ，求板内外各点的场强． [解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．在板内取一底面积为 S，高为 2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 d e S  =   E S 2 0 d d d S S S =  +  +     E S E S E S 1 = + + = ES E S ES ` 0 2 ，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．① （2）穿过平板作一底面积为 S，高为 2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，高斯面在板内的体积为 V = Sd，包含的电量为 q =ρV = ρSd，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ② 方法二：场强叠加法．（ 1 ）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以 r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层 dy，面电荷密度为 dσ = ρdy，产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0，积分得 1 / 2 0 0 d ( ) 2 2 2 r d y d E r     − = = +  ，③ 同理，上面板产生的场强为 / 2 2 0 0 d ( ) 2 2 2 d r y d E r     = = −  ，④ r 处的总场强为 E = E1-E2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令 r = d/2，得 E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0， E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式． S2 S1 E` S1 S2 E E d 2r S0 E` S0 E2 r dy y o E1 d

6 12.12 12．13 一半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ρ，若在球内挖去一块半径为 R`<R 的小球体，如图所示，试求两球心 O 与 O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场． [解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ 的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．对于一个半径为 R，电荷体密度为 ρ 的球体来说，当场点 P 在球内时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 2 3 0 1 4 4 3 E r r     = P 点场强大小为 0 3 E r   = ．当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 2 3 0 1 4 4 3 E r R     = P 点场强大小为 3 2 3 0 R E r   = ． O 点在大球体中心、小球体之外．大球体在 O 点产生的场强为零，小球在 O 点产生的场强大小为 3 2 0 ` 3 O R E a   = ，方向由 O 指向 O`． O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在 O`点产生的场强为零，大球在 O 点产生的场强大小为 ` 0 3 E a O   = ，方向也由 O 指向 O`． [证明]在小球内任一点 P，大球和小球产生的场强大小分别为 0 3 E r r   = ， ` 0 ` 3 E r r   = ，方向如图所示．设两场强之间的夹角为 θ，合场强的平方为 2 2 2 ` ` 2 cos E E E E E = + + r r r r  2 2 2 0 ( ) ( ` 2 `cos ) 3 r r rr    = + + ，根据余弦定理得 2 2 2 a r r rr = + − − ` 2 `cos( )   ，所以 0 3 E a   = ，可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着 O 到 O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场． 12．14 如图所示，在 A、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离为 2R，现将另一正试验电荷 q 0 从O点经过半圆弧路径移到 C 点，求移动过程中电场力所做的功． [解答]正负电荷在 O 点的电势的和为零： UO = 0； O R a R` O` 图 13.10 +q -q O B D C A 图 13.11 O a r` O` r Er Er` θ E P

7 在 C 点产生的电势为 4 3 4 6 0 0 0 C q q q U    R R R − − = + = ，电场力将正电荷 q 0 从 O 移到 C 所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R． 12．15 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A 和 B．A 平面的电荷面密度为 2σ，B 平面的电荷面密度为 σ，两面间的距离为 d．当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为多少？ [解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2σ/2ε0 = σ/ε0，EB = σ/2ε0，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = σ/2ε0，方向由 A 平面指向 B 平面．两平面间的电势差为 U = Ed = σd/2ε0，当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd/2ε0． 12．16 一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？ [解答]带电球面在外部产生的场强为 2 0 4 Q E  r = ，由于 R d d R R U U E r   − =  =    E l 2 0 0 d 4 4 R R Q Q r   r r   − = =  0 4 Q  R = ，当 UR = 0 时， 0 4 Q U  R  = − ． 12．17 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r（r<R）处的电势为 2 2 3 0 (3 ) 8 Q R r U  R − = ． [证明]球的体积为 4 3 3 V R =  ，电荷的体密度为 3 3 4 Q Q V R   = = ．利用 13．10 题的方法可求球内外的电场强度大小为 3 3 4 0 0 Q E r r R    = = ，（r≦R）； 2 4 0 Q E  r = ，（r≧R）．取无穷远处的电势为零，则 r 处的电势为 d d d R r r R U E r E r   =  = +    E l3 2 0 0 d d 4 4 R r R Q Q r r r   R r  = +   2 3 8 4 0 0 R r R Q Q r   R r  − = + 2 2 3 0 0 ( ) 8 4 Q Q R r   R R = − + 2 2 3 0 (3 ) 8 Q R r  R − = ． 12．18 在 y = -b 和 y = b 两个“无限大” 平面间均匀充满电荷，电荷体密度为 ρ，其他地方无电荷．（1）求此带电系统的电场分布，画 E-y 图；（2）以 y = 0 作为零电势面，求电势分布，画 E-y 图．

8 [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反．（1）在板内取一底面积为 S，高为 2y 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 d e S  =   E S 0 d d d 2 S S S =  +  +  = ES    E S E S E S 1 2 ．高斯面内的体积为 V = 2yS，包含的电量为 q = ρV = 2ρSy，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρy/ε0， (-b≦y≦b)．穿过平板作一底面积为 S，高为 2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 Φe = 2ES，高斯面在板内的体积为 V = S2b，包含的电量为 q = ρV = ρS2b，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρb/ε0， (b≦y)； E = -ρb/ε0， (y≦-b )． E-y 图如左图所示．（2）对于平面之间的点，电势为 0 d d y U y   = −  = −   E l 2 2 0 y C   = − + ，在 y = 0 处 U = 0，所以 C = 0，因此电势为 2 2 0 y U   = − ，(-b≦y≦b)．这是一条开口向下的抛物线．当 y≧b 时，电势为 0 0 d d nqb nqb U y y C   = −  = − = − +   E l ，在 y = b 处 U = -ρb 2 /2ε0，所以 C = ρb2 /2ε0，因此电势为 2 0 0 2 b b U y     = − + ，(b≦y)．当 y≦-b 时，电势为 0 0 d d b b U y y C     = −  = = +   E l ，在 y = -b 处 U = -ρb 2 /2ε0，所以 C = ρd2 /2ε0，因此电势为 2 0 0 2 b b U y     = + ，两个公式综合得 2 0 0 | | 2 b b U y     = − + ，(|y|≧d)．这是两条直线． U-y 图如右图所示．U-y 图的斜率就形成 E-y 图，在 y = ±b 点，电场强度是连续的，因此，在 U-y 图中两条直线与抛物线在 y = ±b 点相切． [注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即 U = − d  E l 这是因为积分的起点位置是积分下限． 12．19 两块“无限大”平行带电板如图所示，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），设 A 和 B 两板相隔 5.0cm，板上各带电荷 σ=3.3×10-6C·m-2，求：（1）在两板之间离 A o y E -b b o y U -b b -b o E` S2 S2 E` y b E b b E S1 S0 S0 S1 A B P 图 13.16

10 P2 点的场强为 2 2 U E r  = −  2 2 2 2 0 1 [ ] 4 ( ) q r  L r r L r L L = − + + + 2 2 0 1 4 q r  r L = + ， ② 方向沿着 y 轴正向． [讨论]习题 13．3 的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 1 2 2 0 1 2 4 L E x L   = − ，由于 2Lλ = q，取 x = r，就得公式①．（2）习题 13．3 的解答还计算了中垂线上的场强为 2 2 0 2 2 1 2 4 y L E d d L   = + 取 d2 = r，可得公式②．由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算． 12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R1 和 R2 的均匀带电球壳，所带电荷体密度为 ρ，试计算：（1）A，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求 A，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A 点的电势就等于球心 O 点的电势．在半径为 r 的球壳处取一厚度为 dr 的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr，包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr，在球心处产生的电势为 0 0 d d d 4 O q U r r r    = = ，球心处的总电势为 2 1 2 2 2 1 0 0 d ( ) 2 R O R U r r R R     = = −  ，这就是 A 点的电势 UA．过 B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得 2 2 1 2 0 ( ) 2 U R rB   = − ．球面内的电荷在 B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为 3 3 1 4 ( ) 3 V r R = −  B ，包含的电量为 Q = ρV，这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势为 3 3 2 1 0 0 ( ) 4 3 B B B Q U r R r r    = = − ． B 点的电势为 UB = U1 + U2 3 2 2 1 2 0 (3 2 ) 6 B B R R r r   = − − ．（2）A 点的场强为 0 A A A U E r  = − =  ． B 点的场强为 3 1 2 0 ( ) 3 B B B B B U R E r r r    = − = −  ． A O R1 B R2 rA rB 图 13.18 O R1 R2 r dr O R1 R2 rB B

湖南大学物理与微电子科学学院：《大学物理教材习题解答》第12-16章 习题解

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