《大学物理》课程PPT教学课件：磁场习题课：电磁感应（周群益）

大学物理 基础物理系:周群益 习题讨论课 电磁感应

1 大学物理 习题讨论课 基础物理系：周群益 电磁感应

1如图所示在磁感应强度B=76×10的均匀磁场中放置一个线 圈此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成磁感强 度的方向与两半圆平面的夹角分别为60和30若在45×103s的 时间内磁场突然减至零试问在此线圈内的感应电动势为多少? 解]当磁感应强度没有变化 之前通过线圈的电通量为 p-BS+B S2=BScose,+BScose2 其中1=60和2=30,分别为两半圆形平 面法线与B之间的夹角,S为半圆的面积 从上向下看,回路方向是顺时针的 根据法拉第电磁感应定律得电动势 d④△B (cos 0,+CoS 0)S dt △ 由于磁场减小,所以 0-7.6×10 45×10-)co60°+c0s30°) (3.7×10 =496×104V6>0说明感应电动势方 向与回路正向一致

2 1.如图所示,在磁感应强度B=7.610-4T的均匀磁场中,放置一个线 圈.此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成,磁感强 度的方向与两半圆平面的夹角分别为60 0和300 .若在4.510-3 s的 时间内磁场突然减至零,试问在此线圈内的感应电动势为多少? 其中1 =600和 2=300 ,分别为两半圆形平 面法线与B之间的夹角,S为半圆的面积. [解]当磁感应强度没有变化 之前,通过线圈的电通量为 从上向下看,回路方向是顺时针的. Φ=B·S1+B·S2 =BScosθ1 +BScosθ2 θ1 θ2 根据法拉第电磁感应定律得电动势 S t B t (cos cos ) Δ Δ d d 1  2   = − = − + 由于磁场减小,所以 2 (3.7 10 ) )(cos 60 cos30 )π 4.5 10 0 - 7.6 10 ( 2 2 -3 -4 −  +     = − − =4.9610-4V ε>0说明感应电动势方 向与回路正向一致

2如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆使这 根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率旋 转整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值 「解]由于磁场是均匀的故任 意时刻穿过回路的磁通量为 q(=o+BScose 其中φ等于常量,为半圆面积 x×xxxx x×Lx××x 8=0o+at=P0+2ot p(t)=d+Tr Bcos(2ft+po) 根据法拉第电磁感应定律,有E d④ πr2 fBsin(2mft+0) 因此回路中的感应电流为() 8πr fB 代sin2T/+g) 则感应电流的最大值为 R,R f B

3 2.如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使这 根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率f旋 转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值. [解]由于磁场是均匀的,故任 意时刻穿过回路的磁通量为 其中Φ0等于常量,S为半圆面积, 根据法拉第电磁感应定律,有 Φ(t)=Φ0+BScosθ θ=φ0+ωt=φ0+2πωt π cos(2π ) 2 1 ( ) 0 2  t =0 + r B f t + π sin( 2π ) d d 0 2 2    = − = r f B f t + t 因此回路中的感应电流为 则感应电流的最大值为 sin( 2π ) π ( ) 0 2 2   = = ft + R r f B R I t . π 2 2 m R r fB I =

3有两根相距为d无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相 反的电流,且电流均以d/d的变化率增长若有一边长为d的正方形 线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势. 「解]1:穿过面元dS的磁通量为 d④=B·dS=B,·dS+BndS ddr=&ol ddx 2π(x+d tUX 因此穿过线圈的磁通量为 2d dx 2π(x+d d 2nr ars hold 2丌4 再由法拉第电磁感应定律可得esd_∠dm3t 4 dn dt2兀3

4 3.有两根相距为d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相 反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长.若有一边长为d的正方形 线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势. [解]1:穿过面元dS的磁通量为 因此穿过线圈的磁通量为 再由法拉第电磁感应定律可得 B S B S B S       d d d d 1 2  =  =  +     − + = = d d d d x x Id x x d Id 2 0 2 0 d 2π d 2π( ) d     . d d 3 4 ln d 2π d 0 t d I t    = = d x x I d x x d I d 2π d 2π( ) 0 0 − + = 4 3 ln 2π 0  Id =

解]2:当两长直导线有电流通过时,穿过线圈的磁通量为 m,=① 线圈与两长直导线间的互感为 2兀4 当电流以dld1变化时,线圈中的互感电动势为 d 4 d/ 8=-M In dt2π3dt

5 [解]2:当两长直导线有电流I通过时,穿过线圈的磁通量为 线圈与两长直导线间的互感为 当电流以dI/dt变化时,线圈中的互感电动势为 4 3 ln 2π 0  Id  = 4 3 ln 2π 0 d I M   = = . d d 3 4 ln d 2π d 0 t d I t I M   = − =

4如图所示,一长为质量为m的导体棒CD,其电阻为R沿两条 平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计轨道 与导体构成一闭合回路.轨道所在的平面与水平面成确,整个 装置放在均匀磁场中,磁感强度B方向为竖直向上求:(1)导 体在下滑时速度随时间的变化规律;(2)导体棒CD的最大速度 叶解如图所示导体棒在下滑过 程中除受重力P和导轨支持力FN 外还受到一个与下滑速度有关 的安培力FA,阻碍导体棒下滑 根据安培定律,该力的大小为 F=IB lB (B) vcos 6 R R 导体棒沿轨道方向的动力学方程为 d mg sin 8- FA coS0=ma=m 将F代入并令k=( Bose)mR,可得 8 sin 8-kvs dv

6 4.如图所示,一长为l,质量为m的导体棒CD,其电阻为R,沿两条 平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计,轨道 与导体构成一闭合回路.轨道所在的平面与水平面成角,整个 装置放在均匀磁场中,磁感强度B的方向为竖直向上.求:(1)导 体在下滑时速度随时间的变化规律;(2)导体棒CD的最大速度 Vm. [解]如图所示导体棒在下滑过 程中除受重力P和导轨支持力FN 外,还受到一个与下滑速度有关 的安培力FA ,阻碍导体棒下滑.   cos ( ) 2 v R lB lB R FA = IlB = = 根据安培定律,该力的大小为 导体棒沿轨道方向的动力学方程为 t v mg F ma m d d sin cos  − A  = = 将FA代入并令k=(lBcos) 2 /mR,可得 t v g k v d d sin  − =

分离变量并『dv 两边积分 dt d gsin 8-kv 可得-n8Snb-k k 8sn e 由此得导体在,=SmO [1-exp(-k) 时刻的速度k v= meRsin 0 B212 cos 0 即vB1 cOS R 由上式可知,当增大时,也按指 数规律随之增大,当→∞时 meRsin 0 V→V Bcos 此即为导体棒下滑的稳定速 度,也是导体棒能够达到的最 大速度,其y-1图线如图所示

7 可得 由此得导体在 t时刻的速度 由上式可知,当t增大时,也按指 数规律随之增大,当t→∞时 [1 exp( )] sin k t k v = − −  分离变量并 两边积分   = − v t t g k v v 0 0 d sin d  t g g k v k = − −   sin sin ln 1 )] cos [1 exp( cos sin 2 2 2 2 2 2 t mR B l B l mgR v    即 = − −   m 2 2 2 cos sin B l mgR v → v = 此即为导体棒下滑的稳定速 度,也是导体棒能够达到的最 大速度,其v－t图线如图所示

5.一个直径为001m,长为0.0m的长直密绕螺线管,共1000匝 线圈,总电阻为7769求:(1)如把线圈接到电动势:=2.0V的电 池上,电流稳定后线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是 多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存 磁能的一半,需经过多少时间? I解](1)密绕长直螺线管在,N2u0S 忽略端部效应时,其自感 电流稳定后,线圈中电流FR,则线圈中所储存的磁能为 N 2 Sa LI 3.28×10-3J m 2IR 在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存 在于螺线管中,并为均匀磁场故磁能密度为 对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等 m=4.17Jm3 Sl

8 5.一个直径为0.01m,长为0.10m的长直密绕螺线管,共1000匝 线圈,总电阻为7.76Ω.求:(1)如把线圈接到电动势=2.0V的电 池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是 多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存 磁能的一半,需经过多少时间? [解](1)密绕长直螺线管在 忽略端部效应时,其自感 l N S L 0 2  = 电流稳定后,线圈中电流I=/R,则线圈中所储存的磁能为 3.28 10 J 2 2 1 5 2 2 0 2 2 m − = = =  l R N S W LI   在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存 在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度为 m 3 m 4.17 J m − = =  Sl W w 对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等

(2)自感为L,电阻为R的线圈接到电 R 动势为的电源上,其电流变化规律:(O)=n1-exp(-) 当电流稳定后,其最大值:Im R 按题意L L 则 将其代入()的公式可得时间为 2 R L In(2+2) 1.56×10 R

9 (2)自感为L,电阻为R的线圈接到电 动势为 的电源上,其电流变化规律: 当电流稳定后,其最大值: R I  m = 按题意       = 2 m 2 2 1 2 1 2 1 LI LI 则 R I  2 2 = 将其代入I(t)的公式可得时间为 ln(2 2) 1.56 10 s 2 2 ln 1 −4 = + =          = − − R L R L t ( ) [1 exp( t)] L R R I t = − − 

6长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行, 矩形线圈的边长分别为a和b,它到直导线的距离为c(如图),当 矩形线圈中通有电流/= losing时,求直导线中的感应电动势. 「解如果在直导线中通以稳恒电流l,在距离 为r处产生的磁感应强度大小为B=12 在矩形线圈中取一面积元 dS=bdr,通过线圈的磁通量为 a+c ①=|BdS= uo lbdr n 2元r 2元 互感系数为M ①unb,a+c n 2丌 当线圈中通以交变电流/= lasino时, 直导线中的感应电动势大小为 8=M d/ uob a+c loo cos at dt2π

10 6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行, 矩形线圈的边长分别为a和b,它到直导线的距离为c(如图),当 矩形线圈中通有电流I=I0 sinωt时,求直导线中的感应电动势. I b c a [解]如果在直导线中通以稳恒电流I,在距离 为r处产生的磁感应强度大小为B=μ0 I/2πr. 0 0 d d ln 2π 2π a c S c Ib r Ib a c B S r c    + + = = =   互感系数为 0 ln 2π b a c M I c   + = = 当线圈中通以交变电流I=I0 sinωt时, 直导线中的感应电动势大小为 t I M d d  = (ln ) cos . 2π 0 0 I t c b a c    + = 在矩形线圈中取一面积元 dS=bdr,通过线圈的磁通量为