6章则体动力学 §6.1力矩刚体绕定轴转动微分方程 力矩 力改变质点的运动状态质点获得加速度 2→改变刚体的转动状态→→刚体获得角加速度
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 一. 力矩 力 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 • • 改变质点的运动状态 质点获得加速度 第6章 刚体动力学
(1)力对点的力矩 F M=F×F (2)力对轴上任意点的力矩, 在通过该点的任一轴上的 投影,等于该力对该轴 的力矩 3)力对定轴力矩的矢量形式 M=F×FM=Fr 力矩的方向由右螺旋法则确定
(1) 力对点的力矩 O . MO r F = (3) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定 = F⊥ M r Z (2)力对轴上任意点的力矩， 在通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩 F r Mo r F⊥ F// Fn F h F A z M F r z =
例已知棒长L,质量M,在摩擦系数为的桌面转动(如图) 求摩擦力对y轴的力矩 解(xdf=dmg M 根据力矩dM=- I'&xdr C M X M dx uMl 2 ●在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算 例如 T T ∑M=7R7R∑ M=TR-T'r
x L O M y 例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动(如图) 解 x L M dm = d df = dm g 根据力矩 gx x L M dM = − d gx x MgL L M M L 2 1 d 0 = − = − x dx M TR T'r i = − T' T 例如 T Mi = TR −T' R T' • 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 求 摩擦力对y轴的力矩
刚体对定轴的转动定律 理论推证 取一质量元F+f=ma 切线方向2+f=m m 对固定轴的力矩F+f11=m1=m2B 对所有质元∑F1+∑fr1=C∑m)B 合外力矩M 合内力矩=0 刚体的转动惯量J
O i r Fi i f • 理论推证 i i i i F f m a 取一质量元 + = i i i i 切线方向 F + f = m a i i i i i i i F r f r m a r 对固定轴的力矩 + = 2 i i = m r 对所有质元 + = ( ) 2 i i i i i i F r f r m r 合外力矩 M 合内力矩 = 0 刚体的转动惯量J • mi 二. 刚体对定轴的转动定律
刚体的转动定律 2= 1、M,J是对同一转轴而言的 2、可以解决两类问题:(1)已知O=(1),求M=1B=/0 + 讨论 (2)已知M及初条件求B、O、6=6() (1)M正比于β,力矩越大,刚体的β越大 (2)力矩相同,着转动惯量不同,产生的角加速度不同 (3)与牛顿定律比较:M→F,J-m,B→>a J的物理意义 M=0→B=0→0=C转动惯性 M=cJ大,B小,转动惯性大;小,β大,转动惯性小 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 质量是物体平动惯性大小的量度
刚体的转动定律 Mz = J (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M → F, J → m, → a 讨论 1、 M ， = (t) 2 2 dt d M I I = = M = (t) 2、可以解决两类问题：(1)已知 ，求 (2)已知 及初条件求 、 、 是对同一转轴而言的 的物理意义 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 质量是物体平动惯性大小的量度 M = 0 = 0 = C M c = J 转动惯性 大， 小，转动惯性大；小， 大，转动惯性小 J J
三.转动惯量 定义式 ∑ 质量不连续分布 r am 质量连续分布 ●计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴 的位置 (1)J与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 =x2 adx dx=ML M L L 3 O 木
三. 转动惯量 = 2 i i 定义式 J m r 质量不连续分布 J = r 2 dm 质量连续分布 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴 的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dx 2 M 0 2 0 2 3 1 d dx ML L M J x x x L L = = = J铁 J木 •
(2)J与质量分布有关 dl 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 R c2T R J= Rdm R adl 0 R n al=Zt 3 m 2IT R mR2 2I R 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 R ds= 2t rdr d 2 dr n= oas 2t rdr T R . R2I J=rdm 0 2/- m R
(2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl = = O L R J R m R l 2π 0 2 0 2 d d 3 2 2π 0 2 2π d 2π mR R m R l R R = = = m R O m r dr ds = 2π rdr dm = ds = = = m R R m r r R m J r m 0 3 2 2 0 2 2 d 2 d r R mr r r R m d 2 2π d π 2 2 = = R
(3)J与转轴的位置有关 M x dx=ML ndx=ML 四.平行轴定理及垂直轴定理 1.平行轴定理=J+M2 J.:刚体绕任意轴的转动惯量 J-:刚体绕通过质心的轴 L:两轴间垂直距离
O L x dx M z 2 0 2 3 1 J x dx ML L = = L O x dx M 2 2 2 2 12 1 J x dx ML L / L / = = − 四. 平行轴定理及垂直轴定理 z L C M ML2 z' J J z' = z + z (3) J 与转轴的位置有关 1. 平行轴定理 z' J z J L :刚体绕任意轴的转动惯量 :刚体绕通过质心的轴 :两轴间垂直距离
例均匀细棒的转动惯量 L J7=Jz+M M =1/12ML2 2.(薄板)垂直轴定理 =J+小x轴在薄板内 z轴垂直薄板且经过两轴交点 X 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知J=mR J+J C/圆 J=J=mR R
2 Jz =1/ 12ML 2 2 3 1 2 ML L JZ JZ M = = + 例 均匀细棒的转动惯量 2. (薄板)垂直轴定理 z x y J = J + J z M L z 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 2 2 1 Jz = mR z x y J = J + J x y J = J 已知 2 4 1 Jx = J y = mR y x z 圆盘 R C m x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板且经过两轴交点。 z x y
五.转动定律的应用举例 例一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98N 的拉力,飞轮的转动惯量J0.5kgm2,飞轮与转轴间的摩擦 不计,(见图) 求(1)飞轮的角加速度 2)如以重量P=98N的物体挂在绳 O 端,试计算飞轮的角加速 解(1)Fr=JBB FF98×0.2 39.2rad/s2 F mg (2)mg-T=ma gr B 两者区别 Tr=JB +mr a=rB 98×0.2 21.8 rad 0.5+10×0.22
F Or (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr = J 2 39 2 rad/s 0 5 98 0 2 . . . = = = J Fr (2) mg −T = ma Tr = J a = r 两者区别 五. 转动定律的应用举例 mgT 例 求 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 2 J mr mgr + = 2 2 21 8 rad/s 0 5 10 0 2 98 0 2 . . . . = + =