质点和质点系动力学习题课 例:m,m,l,相互作用 符合万有引力定律 求:两质点间距变为时 12 两质点的速度 解:mV1-m2V2=0 221 2G V1=m2 V, V(m,+m,)l V(m,+m2) 例:在两个质点组成的系统中,若质点之间只有万有引力作用, 且此系统所受外力的矢量和为零,则此系统 A)动量与机械能一定都守恒 (B)动量与机械能一定都不守恒 (C)动量不一定守恒,机械能一定守恒 (D)动量一定守恒,机械能不一定守恒 例:恒力F,m自平衡位置 由静止开始运动 k T 求:AB系统受合外力为零时的 速度,以及此过程中A、A
1 质点和质点系动力学习题课 例： m1， m2，l ，相互作用 符合万有引力定律 m1 l m2 求：两质点间距变为 l /2 时 V1 V2 两质点的速度 m1 l / 2 m2 解： m1V1 − m2V2 = 0 2 / 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 l m m m V m V G l m m − G = + − m m l G V m ( ) 2 1 2 1 2 + = ， m m l G V m ( ) 2 1 2 2 1 + = 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （A）动量与机械能一定都守恒 （B）动量与机械能一定都不守恒 （C）动量不一定守恒，机械能一定守恒 （D）动量一定守恒，机械能不一定守恒 例：恒力 F ， m1 自平衡位置 由静止开始运动 k A T B F 求：AB 系统受合外力为零时的 m1 m2 速度，以及此过程中 AF 、 AT
解:AB系统受水平方向合外力 0→x=F/kA k(m1+m2) 4=m2+22m+m2 m1+m2 例:三艘船(M)鱼贯而行,速度都是,从中间船上同时以 相对船的速度把质量都为m的物体分别抛到前后两艘船上 求:抛掷物体后,三艘船的速度? 解:以第二艘船和抛出的两个物体为系统,水平方向动量守恒 =M2+m(+2) V2)→V2=V 以第一船和抛来物体为系统 M+m(+1)=(m+MOV1,H1=V+ M+m 以第三船和抛来物体为系统 M+m(-+1)=(m+M)3,V3= M+m
2 解： A B 系统受水平方向合外力 F − kx = 0 x = F / k A Fx F k F / 2 = = 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 1 A m m V kx F = + + ， ( ) m1 m2 k F V + = AT = 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 m m m m k F m V kx + + + = 例：三艘船（ M ）鱼贯而行，速度都是 V ，从中间船上同时以 相对船的速度 u 把质量都为 m 的物体分别抛到前后两艘船上 u m m u M V M V M V 求：抛掷物体后，三艘船的速度？ 解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 (M + 2m)V = MV2 + m(u +V2 ) + m(−u +V2 ) V2 =V 以第一船和抛来物体为系统 1 MV + m(u +V) = (m+ M)V ， M m mu V V + 1 = + 以第三船和抛来物体为系统 3 MV + m(−u +V) = (m + M)V ， M m mu V V + 3 = −
例:子弹射中A后嵌入其中 2m/2 n 求:(1)V=?VB=? B 解:(1)子弹射中A后 子弹与A组成的系统动量守恒 -mv=(m+imya,sk ,V。=0 (2)V,=V/2 B bMax =/2 例:光滑水平面上放一小车 车上放一木箱,恒力F 将木箱从小车一端拉致 另一端,第一次小车固 定,第二次小车不固定 (1)两次F作功相同 (2)两次摩擦力对木箱作功相同 (3)两次木箱获得动能相同 (4)两次因摩擦产生热相同 解:(1)错,第一次F作功F,第二次F作功F(+s) (2)错,第一次∫对箱子作功-,第二次-f(1+s) (3)错,第一次合力对箱子作功(F-f),第二次(F-f)(l+s) (4)正确,第一次∫的总功-f,第二次-f(+s)+/=-f
3 例：子弹射中 A 后嵌入其中 m/2 V m/2 m 求：（1） VA =？ = ? VB A， B （2） ? VB max = 解：（1）子弹射中 A 后 子弹与 A 组成的系统动量守恒 mV m m VA ) 2 1 2 1 ( 2 1 = + ， 2 V VA = ，VB = 0 （2） VA =V / 2， mA = mB ，VBmax =V / 2 例：光滑水平面上放一小车 F 车上放一木箱，恒力 F l 将木箱从小车一端拉致 另一端，第一次小车固 定，第二次小车不固定， （1）两次 F 作功相同 （2）两次摩擦力对木箱作功相同 s l （3）两次木箱获得动能相同 （4）两次因摩擦产生热相同 解：（1）错，第一次 F 作功 Fl ，第二次 F 作功 F(l + s) （2）错，第一次 f 对箱子作功− fl ，第二次− f (l + s) （3）错，第一次合力对箱子作功 (F − f )l ，第二次 (F − f )(l + s) （4）正确，第一次 f 的总功− fl，第二次− f (l + s) + fs = − fl k
例:容器自O点(平衡位置〕左端l处 从静止开始运动,每经过一次O点 从上方滴入一质量为m的油滴 求:(1)滴到容器n滴后,容器 运动到O点的最远距离 2)第n+1滴与第n滴的时间M 间隔 解:(1)从开始到O点,机械能守恒 kla MV2 2 每次经过O点,动量数值不变M=(M+mm) 滴入n滴后到最远距离机械能守恒(M+m、1 kb·MT (M+m)1 M2(M+m)v"2 x=√M/M+mm)lo (2)t Tn=z√(M+mm)/k 例:链条m=10kg,l=40cm l3 1=l2=20cm<l3,m=10kg 求:链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度 g
4 例：容器自 O 点（平衡位置）左端 0 l 处 从静止开始运动，每经过一次 O 点 从上方滴入一质量为 m 的油滴 求：（1）滴到容器 n 滴后，容器 m 运动到 O 点的最远距离 k （2）第 n +1 滴与第 n 滴的时间 间隔 0 l O 解：（1）从开始到 O 点，机械能守恒 2 2 0 2 1 2 1 kl = MV 每次经过 O 点，动量数值不变 MV = (M + nm)V 滴入 n 滴后到最远距离机械能守恒 2 2 2 1 ( ) 2 1 M + nm V = kx 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 k l M V M + nm V = MV M + nm V k x 0 x = M /(M + nm) l （2） t t T M nm k n n n ( )/ 2 1 +1 − = = + 例：链条 m = 10kg，l = 40cm 3 l 2 l m 1 2 20 3 l = l = cm l ， m1 =10kg 求：链条全部滑到桌面时 1 l 系统的速度及加速度 m1 m g1 M
解:mg1-mg1=(m1+m)2 m1=m,l=1/2 gl=1. 2lm/s mg=(m1+m,a=g/2=49m/s2 已知m,M,H h, 6 所有接触面光滑 求:m,M脱离接触时 H M M的速度及m对MV 的速度 解:v=v,+卩 V=y cos0-v y.=-v sin e my-Mv=0 mg(H-h)=mv+M. m(vr+vy)+3Mp2 2g(H-h)cos 6 vay(+mM+msin'B),vr 2g(H-h(M +m)
5 解： 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 m gl mg l m m V − = + m1 = m， l 1 = l / 2 V gl 1.21m/s 8 3 = = m1g = (m1 + m)a， 2 a = g / 2 = 4.9m/s 已知 m， M ， H m h， 所有接触面光滑 r v 求： m， M 脱离接触时 H M y M 的速度及 m 对 M V h 的速度 x 解： v vr V = + vx = vr cos −V vy = −vr sin mvx − MV = 0 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 mg(H − h) = mv + MV = m vx + vy + MV ( )( sin ) 2 ( ) cos 2 2 M m M m g H h V m + + − = ， 2 sin 2 ( )( ) M m g H h M m vr + − + =
例:已知m,M,θ, 所有接触面光滑 求:M的加速度a M m对M的加速度a 及mM之间的作用力 N g 解:以M为参照系 m受一惯性力 m相对M只沿斜面运动 Xof m: mosin 0+macos0= ma' (1) N+ masin 0-mg cos0=0(2) 对M,以地面为参照系 Nsin 6= Ma (3) sin e cose, a,(M+m)g sin e N- Mmgsin 0 M+msin-0 M+msin-0 M+msin-e
6 例：已知 m， M ， ， 所有接触面光滑 m 求： M 的加速度 a M a m 对 M 的加速度 a a 及 m M 之间的作用力 N N1 ma a a mg N Mg 解：以 M 为参照系 m 受一惯性力 m 相对 M 只沿斜面运动 对 m ： mg sin + macos = ma （1） N + masin − mg cos = 0 （2） 对 M ，以地面为参照系 Nsin = Ma （3） 2 sin sin cos M m mg a + = ， 2 sin ( ) sin M m M m g a + + = ， 2 sin sin M m Mmg N + =