§3.2几种常见力的功 重力的功 M 重力m在曲线路径M1M2上的功为 A=u(Fdx+ F dy+ Fdz m① A Fd Mi( G-mg)dz mg 0 重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了 位置的高度差。 结论 (1)重力的功只与始、末位置有关,而与质点所行经的路 径无关。 (2)质点上升时,重力作负功;质点下降时,重力作正功
x y z O §3.2 几种常见力的功 一.重力的功 重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为 ( ) = 2 1 1 d M M z A F z ( ) = − 2 1 1 d Z Z （ mg） z = mg（z1 − z2） 重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了 位置的高度差。 (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。 (2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 M1 M2 m G 结论 ② ① ( ) = + + b a L x y z A （F dx F dy F dz）
二.弹性力的功 F 弹簧弹性力 10000 F=-lxi 0 x 由x1到x2路程上弹性力的功为 A kdx=11-21 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 (1)弹性力的功只与始、末位置有关,而与质点所行经的路径 无关。 (2)弹黉的形变减小时,弹性力作正功;弹黉的形变增大时, 弹性力作负功
二.弹性力的功 = − 2 1 d x x A kx x (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径 无关。 (2) 弹簧的形变减小时，弹性力作正功；弹簧的形变增大时， 弹性力作负功。 2 2 2 1 2 1 2 1 = kx − kx 1 x 2 x F F kxi = − 弹簧弹性力 由x1 到x2 路程上弹性力的功为 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 O x
万有引力的功 F在位移元dF上的元功为 mM dA=FcosOdr F=G dr=dr cos( T-0)=-dr cos e FUror mM dA=-g-d M 1 万有引力全部路程中的功为 mM A Gdr=gmM( + i 结论 (1)万有引力的功,也是只与始、末位置有关,而与质点所 行经的路径无关
三.万有引力的功 上的元功为 A F r d = cos d dr dr cos( ) dr cos = − = − r r mM dA G d 2 = − 万有引力F在全部路程中的功为 = − 2 1 ( ) 2 d r r L r r mM A G ) 1 1 ( 2 1 r r = GmM − (1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所 行经的路径无关。 M a b 1 r 2 r m F r d 结论 F 在位移元 r d 2 r mM F = G dr
(2)质点移近质点时,万有引力作正功;质点远离质点O 时,万有引力作负功。 四.摩擦力的功 摩擦力F在这个过程中所作的功为 U F cos ads F M F=umg 摩擦力方向始终与质点速度方向相反 A=-umgs + 结论 摩擦力的功,不仅与始、末位置有关,而且与质点所行经 的路径有关
四.摩擦力的功 在这个过程中所作的功为 ( ) = 2 1 cos d M M L A F s A = −mgs 摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关 。 M1 M2 v F F = mg 摩擦力方向始终与质点速度方向相反 (2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。 结论 摩擦力 F