《大学物理》能量按自由度均分原理

气体分子的方均根速率=、=B T(273K) 空气 2(ms)1830 461 493 485 (5)压强的另一个公式 nEx==n·kT=nkT P=nkT 理想气体状态方程的另一种表达式 比P=vRT适用范围更广泛 例:推导道尔顿分压定律:混合气体压强等于各种气体分压强之和 解:设容器中有几种理想气体组成混合气体 T相同,Ek1=Ek2=…=Ek 总分子数密度n=n+n2+ 2 nEk=(m1+n2+…) n,Ek +-n2, P=P+P,+ 第4节能量按自由度均分原理 理想气体内能 考虑到分子结构,分子运动:平动,转动,振动 分子能量:平动动能,转动动能,振动能(略) 自由度:确定物体的空间位置 所需要的独立坐标变量数目 例:(x,y), x2+y2=R2,自由度为1 l、质点的自由度 质点在三维空间自由运动,自由度为3 质点被限制在平面或曲面上运动,自由度为2 质点被限制在直线或曲线上运动,自由度为1 质点固定,自由度为0 2、刚体的自由度 刚体在三维空间自由运动 C(x,y, z) =质心平动+绕过质心的瞬时轴的转动 自由刚体有3个平动自由度 cos a+cos B+cos y=l 自由刚体有3个转动自由度 自由刚体有6个自由度 刚体平动,自由度为3;定轴转动,自由度为1;

1 气体分子的方均根速率  RT m kT v 2 3 3 = = T(273K) H2 O2 N2 空气 2 v （m/s） 1830 461 493 485 （5）压强的另一个公式 P= n K  3 2 = n kT 2 3 3 2  = nkT P= nkT 理想气体状态方程的另一种表达式 比 PV=  RT 适用范围更广泛 例：推导道尔顿分压定律：混合气体压强等于各种气体分压强之和 解：设容器中有几种理想气体组成混合气体 T 相同， K K K  =  =  =  1 2 总分子数密度 n = n1 + n2 + P= n K  3 2 = n n K ( + + ) 3 2 1 2  = n K 1 3 2 + n K 2 3 2 + P= P1 + P2 + 第 4 节 能量按自由度均分原理 理想气体内能 P= n K  3 2 ， K  = kT 2 3 考虑到分子结构，分子运动：平动，转动，振动 分子能量：平动动能，转动动能，振动能（略） 一、 自由度：确定物体的空间位置 y 所需要的独立坐标变量数目 R 例：（x，y），   2 2 2 x + y = R ，自由度为 1 O x 1、质点的自由度 质点在三维空间自由运动，自由度为 3 质点被限制在平面或曲面上运动，自由度为 2 质点被限制在直线或曲线上运动，自由度为 1 质点固定，自由度为 0 y  2、刚体的自由度 刚体在三维空间自由运动 C (x,y,z) =质心平动+绕过质心的瞬时轴的转动 自由刚体有 3 个平动自由度 x cos cos cos 1 2 2 2  +  +  = 自由刚体有 3 个转动自由度 z 自由刚体有 6 个自由度 刚体平动，自由度为 3；定轴转动，自由度为 1； （x，y） O

定点转动,自由度为3 3、气体分子自由度 把原子看作质点,原子间距不变(刚性分子) 分子结构平动自由度t转动自由度r总自由度i=t+r 单原子分子 双原子分子,● 多原子分子 二、能量按自由度均分原理 Ex=kT,E=mv=mvr +mv*+mv2=kT v2=v2=v2,my2=m2=m2 能量按自由度均分原理: 在温度为T的平衡状态下,由于气体分子的无规则热运动, 使得任何一种运动都不比其它运动占优势,对于分子的每一 个可能的自由度,气体分子的平均动能都相等,都等于kT 1k7:气体分子一个自由度上的平均动能 如果气体分子有i自由度,则气体分子的平均动能E=kT 单原子分子,E=3kT 双原子分子 多原子分子,E=3kT 理想气体内能 内能=所有分子的动能+分子之间相互作用势能 理想气体:内能=所有分子动能之和 设理想气体分子总数为N,每个气体分子自由度为i 理想气体内能 E=∑6=N(∑6)=NE=N·k7=NkT=R E=-1R7 单原子分子理想气体,E=1RT 双原子分子理想气体,E、5、RT 多原子分子理想气体,E=31RT

2 定点转动，自由度为 3 3、气体分子自由度 把原子看作质点，原子间距不变（刚性分子） 分子结构 平动自由度 t 转动自由度 r 总自由度 i =t+r 单原子分子 3 0 3 双原子分子 3 2 5 多原子分子 3 3 6 二、能量按自由度均分原理 K  = kT 2 3 ， K  = mv mvx mvy mvz k T 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 = + + = 2 2 2 x y z v = v = v ， mvx mvy mvz k T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = = = 能量按自由度均分原理： 在温度为 T 的平衡状态下，由于气体分子的无规则热运动， 使得任何一种运动都不比其它运动占优势，对于分子的每一 个可能的自由度，气体分子的平均动能都相等，都等于 kT 2 1 kT 2 1 ：气体分子一个自由度上的平均动能 如果气体分子有 i 自由度，则气体分子的平均动能  = kT i 2 单原子分子，  = kT 2 3 双原子分子，  = kT 2 5 多原子分子，  =3kT 三、 理想气体内能 内能=所有分子的动能+分子之间相互作用势能 理想气体：内能=所有分子动能之和 设理想气体分子总数为 N，每个气体分子自由度为 i 理想气体内能 RT i N k T i k T i N N N E N A N i i N i  i     2 2 2 ) 1 ( 1 1 =  =   =  =  = = = = RT i E  2 = 单原子分子理想气体， E RT 2 3 = 双原子分子理想气体， E RT 2 5 = 多原子分子理想气体， E = 3RT

第5节麦克斯韦分子速率分布律 麦克斯韦分子速率分布率 单个分子的速率可以取0~∞之间的任何数值 平衡状态下,大量气体份子按照速率的分布遵守完全确定 的统计规律 △1△N,△N3 V2 △N1 0°C氧气分子速率分布 速率区间(m/s) ×100% 0~100 14% 100200 8.1% 200-300 16.5% 300-400 21.4% 400~500 20.6% 500-600 15.1% 600~700 9.2% 700-800 4.8% 800~900 2.0% 900~∞ 0.9% 速率区间~+h h↑,dN↑ d N 如相同, N 与速率区间取在哪个速率v附近有关 如速率在100~100+b和200-200+b中不同 f(v)dh,f(v):分子的速率分布函数 f(v)=,:在速率v附近单位速率区间中的分子数 ndi 占总分子数的比率

3 第5节 麦克斯韦分子速率分布律 一、 麦克斯韦分子速率分布率 单个分子的速率可以取 0 ~  之间的任何数值 平衡状态下，大量气体分子按照速率的分布遵守完全确定 的统计规律 N1 N2 N3   0 1 v ， 2 v ， 3 v v N N1 N N2  N N3 C  0 氧气分子速率分布 速率区间（m/s） 100%  N N 0~100 1.4% 100~200 8.1% 200~300 16.5% 300~400 21.4% 400~500 20.6% 500~600 15.1% 600~700 9.2% 700~800 4.8% 800~900 2.0% 900~  0.9% 速率区间 v ~v + dv dv ， dN  dN  N dN ， dv N dN  0 v N dN v + dv v dv 相同， N dN 与速率区间取在哪个速率 v 附近有关 如速率在 100~100+dv 和 200~200+dv 中 N dN 不同 N dN = f (v)dv ， f (v) ：分子的速率分布函数 f (v)= Ndv dN ：在速率 v 附近单位速率区间中的分子数 占总分子数的比率

--mv/kT f()=4( 2水kT 麦克斯韦分子速率分布函数 速率在~+如之间的分子数占总分子数的比率 f(v)dv=4T( 2zk7 麦克斯韦分子速率分布律 二、速率分布曲线 f(v) 1、窄条面积 f(vp) f(v)h,≈dN 速率在v~+dhf(v) 之间的分子数 占总分子数的比率 0v叶hvpv 2、宽条面积 dN△N 速率在n1~n2之间的分子数占总分子数的比率 3、曲线下的总面积 f(v)dv 1:速率分布函数的归一化条件 速率在0~∞之间的分子数占总分子数的比率为100% 4、v=0及y→>∞,f(v)=0 速率很小及很大的分子数较少,中等速率的分子数较多 5、vp:最可几速率,把速率区间0-∞等间隔划分,包含v的 那个区间面积最大,其中的分子数及占总分之数的比率最多 由极值条件 df 0 d mm-/kT -my/kT =4丌 )32[2ve2+ve )=0 tKt 2kT 2RT f(vp)=-(,) e zkT 6、T对曲线的影响 f( 7.m3

4 f (v) = m v kT v e kT m / 2 1 3/ 2 2 2 ) 2 4 ( −   麦克斯韦分子速率分布函数 速率在 v ~ v + dv 之间的分子数占总分子数的比率 N dN = f (v)dv = mv kT v e kT m / 2 1 3/ 2 2 2 ) 2 4 ( −   dv 麦克斯韦分子速率分布律 二、速率分布曲线 f (v) 1、窄条面积 ( ) P f v f (v)dv = N dN 速率在 v ~ v + dv f (v) 之间的分子数 占总分子数的比率 0 v v+dv P v 1 v 2 v v 2、宽条面积  2 1 ( ) v v f v dv = N N N dN v v  =  2 1 速率在 1 v ~ 2 v 之间的分子数占总分子数的比率 3、曲线下的总面积   0 f (v)dv = 1 0 = =   N N N dN ：速率分布函数的归一化条件 速率在 0~  之间的分子数占总分子数的比率为 100% 4、v=0 及 v → ， f (v) =0 速率很小及很大的分子数较少，中等速率的分子数较多 5、 P v ：最可几速率，把速率区间 0~  等间隔划分，包含 P v 的 那个区间面积最大，其中的分子数及占总分之数的比率最多 由极值条件 = 0 dv df ) [2 ( )] 0 2 4 ( / 2 1 2 / 2 1 3 / 2 2 2 = + − = − − k T mv v e v e k T m dv df m v kT m v kT    RT m kT vP 2 2 = = ， 1/ 2 ) 8 ( 1 ( ) kT m e f vP  = 6、T 对曲线的影响 f (v) T1 m2 > m3

(T相同) 曲线下的总面积不变,都为1 三、几个平均值 1、 平均速率 平均速率=全部分子速率之和 分子总数 速率在v~+d之间的分子数:dN 速率在~卩+如之间的分子速率之和:wdN 全部分子速率之和:N vdN= =[vf()=,/sk7 分子速率平方的平均值y2 分子速率平方的平均值 全部分子速率平方之和 分子总数 速率在~+d之间的分子数:dN 速率在v~+h之间的分子速率平方之和:v2dN 全部分子速率平方之和:[vaN 3kT =50 vdN=o v4=o v-f(v)dv= 方均根速率=3=/3R 三个速率: 2KT vp:讨论速率分布问题 v:讨论分子碰撞问题 v2:计算分子平均平动动能 3、 平均平动动能 N erdN f(v) I f(v)av 4 速率v的任意函数g(v)的平均值 =[g(m/(h

5 （T 相同） m  ， P v  ， f (vP )  曲线下的总面积不变，都为 1 0 v 三、几个平均值 1、 平均速率 v 平均速率= 分子总数 全部分子速率之和 速率在 v ~v + dv 之间的分子数：dN 速率在 v ~v + dv 之间的分子速率之和：vdN 全部分子速率之和：   0 vdN    RT m k T v f v dv N dN vdN v N v 8 8 ( ) 1 0 0 0 = = = = =       2、 分子速率平方的平均值 2 v 分子速率平方的平均值= 分子总数 全部分子速率平方之和 速率在 v ~v + dv 之间的分子数：dN 速率在 v ~v + dv 之间的分子速率平方之和： 2 v dN 全部分子速率平方之和：   0 2 v dN m k T v f v dv N dN v dN v N v 3 ( ) 1 0 2 0 2 0 2 2 = = =  =      方均根速率  RT m kT v 2 3 3 = = 三个速率： f (v) m kT vP 2 = < m kT v  8 = < m kT v 2 3 = P v ：讨论速率分布问题 v ：讨论分子碰撞问题 2 v ：计算分子平均平动动能 0 P v v v 3、 平均平动动能 dN f v dv mv f v dv k T N K K K 2 3 ( ) 2 1 ( ) 1 0 2 0 0 = = = =          4、 速率 v 的任意函数 g(v) 的平均值   = 0 g g(v) f (v)dv 2 v

指出下列各式的物理意义: f(v)dy,Nf(v)dv,5 /()av,N/(v)dy fo)av, mmf(u)dv,CN mv2f(r)dv f()h=:速率在~+h之间的分子数 占总分子数的比率 N(v)dh=N:速率在y~y+dh之间的分子数 pdN△N 速率在0~v之间的分子数占总分子数的比率 ∫:M()d=」dN=△N:速率在n~n2之间的分子数 N()hy=N=N:分子总数 2m)h=!2m2x=2mryN:分子 的平均平动动能 ∫N2m/()+=2mN,速率在nv之间 的分子的平动动能之和

6 指出下列各式的物理意义： f (v)dv ， Nf (v)dv ，  P v f v dv 0 ( ) ，  2 1 ( ) v v Nf v dv   0 Nf (v)dv ，   0 2 ( ) 2 1 mv f v dv ，  2 1 ( ) 2 1 2 v v N mv f v dv f (v)dv = N dN ：速率在 v ~ v + dv 之间的分子数 占总分子数的比率 Nf (v)dv= dN ：速率在 v ~ v + dv 之间的分子数  P v f v dv 0 ( ) =  P v N dN 0 = N N ： 速率在 P 0 ~ v 之间的分子数占总分子数的比率  2 1 ( ) v v Nf v dv =  =  2 1 v v dN N ：速率在 1 ~ 2 v v 之间的分子数   0 Nf (v)dv =  dN = N  0 ：分子总数   0 2 ( ) 2 1 mv f v dv =   0 2 2 1 N dN mv =   0 2 2 1 1 mv dN N ：分子 的平均平动动能  2 1 ( ) 2 1 2 v v N mv f v dv = mv dN v v 2 1 2 2 1 ：速率在 1 ~ 2 v v 之间 的分子的平动动能之和