刚体力学习题课
刚体力学习题课
目的要求:在确切理解质心、力矩、转动惯量、角动量等 概念的基础上(1)能正确运用转动定律,质心定理,角动量 定理,角动量守恒定律来解决刚体转动的问题。(2)能用功 能关系处理问题。 二、复习内容 1、质心、质心运动定理。 ∑m ∑ h1,V; F=mac ∑ (以上各式也可以用x、y、z分量表示) 2、转动定律M=J6;M 3、角动量 dt L=F×m下 m,与参照点O选取有关。 0
一、目的要求：在确切理解质心、力矩、转动惯量、角动量等 概念的基础上（1）能正确运用转动定律，质心定理，角动量 定理，角动量守恒定律来解决刚体转动的问题。（2）能用功 能关系处理问题。 二、复习内容 1、质心、质心运动定理。 ； = i i i c m m r r mvc = mi vi； F mac = （以上各式也可以用x、y、z分量表示） dt dL M J M z 2、转动定律 = ； z = 3、角动量 L r mv = — —m，与参照点O选取有关。 ( ) 0 0 Mdt L L t t = −
质点系:L=∑Xm 刚体:L=J 定理:CMh=L=L;CMd=()2-(J0) M M 注意M,L;M,L的含义。 角动量守恒:如M=0 0=00=0 L=恒矢 J0QO0(非刚体) 4、力矩功形=「MO 刚体绕定轴转动动能E=n e=E+e 刚体绕定轴转动势能E,=m
= i i i L r m v 质点系： 刚体：Lz = Jz 定理： 0 ； 0 Mdt L L t t = − dt dL M = dt dL M z z = 注意M，L；Mz，Lz的含义。 角动量守恒： M = 0 如 L = 恒矢 Mz = 0 0 0 Jz = Jz , = z z0（非刚体） 0 J = J 4 W Md = 、力矩功 2 2 1 刚体绕定轴转动动能 Ek = J 刚体绕定轴转动势能 Ep = mghc E = Ek + Ep 2 1 ( ) ( ) 0 z z t t z M dt = J − J
功能关系∫M=Ek-Eo 机械能守恒W外+形非保内=0,则E=恒量一一系统 三、讨论题 1、如图两相同滑轮,F=10(千克力)(1千克力=9.8牛) m=10(kg),问两滑轮的A1=B2吗? 答:否。RxF=JB1 T·R=JB2 (2) mg-T=ma T=mg -ma T≠F ∴B>B2(<F) g
Md = Ek − Ek 0 功能关系 机械能守恒 w外 + w非保内 = 0，则E = 恒量— —系统 三、讨论题 1、如图两相同滑轮，F=10（千克力）（1千克力=9.8牛） m=10（kg），问两滑轮的 1 = 2 吗？ 答：否。R F = J1 — —（1） T R = J2 — —（2） mg −T = ma T = mg − ma T F R F R T mg a m ( ) 1 2 T F
2、如图AB为均匀细杆,放在光滑面上, 当去薜,AB下落。它下落的方式为: B (1)A点不动,(2)中心(C质心) 竖直下落,(3)B竖直下落。何者对? 或均不对,为什么? A mg 答:F去掉,杆受力,mg、N均在 竖直方向,水平向不受力,所以质 心竖直下落,A向左无摩擦滑动
2、如图AB为均匀细杆，放在光滑面上， 当 去掉，AB下落。它下落的方式为： （1）A点不动，（2）中心（C质心） 竖直下落，（3）B竖直下落。何者对？ 或均不对，为什么？ F 答： 去掉，杆受力，mg、N 均在 竖直方向，水平向不受力，所以质 心竖直下落，A向左无摩擦滑动。 F A v C v N A C mgF B
3、如图,光滑水平面上一小孔,细绳穿过,绳的一端系 小球m,另一端手拉绳。先让小球做圆周运动,然后用F拉 绳。小球的下列物理量哪个守恒?为什么? 1)动量;(2)动能;(3)角动量。 m受力:F, 动量不守恒 当m受力F作用,An≠0 动能不守恒 但F对O点的力矩Mo=0 m对O点角动量守恒 mrV,=mr2v2 52VI
3、如图，光滑水平面上一小孔，细绳穿过，绳的一端系一 小球 ，另一端手拉绳。先让小球做圆周运动，然后用 拉 绳。小球的下列物理量哪个守恒？为什么？ （1）动量；（2）动能；（3）角动量。 m F 答：m受力：F， 动量不守恒 当m受力F作用，A力 0 动能不守恒 但F对O点的力矩MO = 0。 m 对O点角动量守恒 1 1 2 2 mr v = mr v r2 r1， 2 1 v v
4、如图一细棒,长1,用细绳悬挂。质量m,此时A、B两 端绳的张力均为mg。现将B端绳剪断。求绳刚断瞬间A端 绳的张力。 解:B端绳断, 质心平动mg-T=mac (1) 绕A轴的转动mg2=JB (2) c=B (3) B g →a g 23 mg m-T=m:g∴7=mg 4
4、如图一细棒，长 ，用细绳悬挂。质量 ，此时A、B两 端绳的张力均为 。现将B端绳剪断。求绳刚断瞬间A端 绳的张力。 l m mg 2 1 解：B端绳断， 质心平动 mg −T = maC — —（1） 绕 轴的转动 — —（2） 2 J0 l A mg = ; 3 1 2 J ml C = l ml a l mg C 2 3 1 2 2 = mg T m g 4 3 − = T mg 4 1 = A B C T mg — —（3） 2 l aC = aC g 4 3 =
例:两个质量相同的小孩,在离地面同一高度上各抓住跨过 定滑轮绳子的两端,开始两个小孩都静止不动,然后一个小 孩用力沿绳子向上爬。另一个抓住绳子不放。若忽略绳、滑 轮的质量,绳不可伸长,忽略轴承处的摩擦,问此系统的角 动量守恒吗?哪一个小孩先到达滑轮?若两个小孩的质量不 等,分别为m和m,情况又如何?
例：两个质量相同的小孩，在离地面同一高度上各抓住跨过 定滑轮绳子的两端，开始两个小孩都静止不动，然后一个小 孩用力沿绳子向上爬。另一个抓住绳子不放。若忽略绳、滑 轮的质量，绳不可伸长，忽略轴承处的摩擦，问此系统的角 动量守恒吗？哪一个小孩先到达滑轮？若两个小孩的质量不 等，分别为 m1 和 m2 ，情况又如何？
解:以地面为参照系,以绳和两小孩作为系统,并视小孩为 质点。确定通过定滑轮轴心且指向读者的轴为固定轴。设滑 轮半径为R。 mg对轴的力矩 gR m2g对轴的力矩m2gR myr=m2gR-m,gr=0 (m,=m2) 系统对轴的角动量守恒 开始,两小孩不动,L0=0 2 设相对地的速度m为,m2为2。 在任一时刻系统对轴的总角动量 为零,即 mv R=mv r 12g m1g 又 ∵m=m V2 故同时到达滑轮
解：以地面为参照系，以绳和两小孩作为系统，并视小孩为 质点。确定通过定滑轮轴心且指向读者的轴为固定轴。设滑 轮半径为R。 m1g对轴的力矩 − m1gR m2 g对轴的力矩 m2 gR 0 ( ) m外 = m2 gR − m1gR = m1 = m2 系统对轴的角动量守恒。 开始，两小孩不动，L0 = 0 设相对地的速度 。 在任一时刻系统对轴的总角动量 为零，即 1 1 2 2 m v m v 为 ， 为 m1 v1R = m2 v2R 又m1 = m2 1 2 v = v 故同时到达滑轮。 2 v m2 g 1 v m1g
若m≠m2,则系统对固定轴所受力矩的代数和不为零。 M=-m,gR+m,gR 系统对轴的总动量:L=m1v1R-m2v2R 又M ..-m,gR+m,gR=m,a,R-m,,R m1>m时,a1n1°∴当ma2,即物体轻的小孩 先到达滑轮
若 m1 m2 ，则系统对固定轴所受力矩的代数和不为零。 M = −m1gR + m2 gR 系统对轴的总动量： L = m1 v1R −m2 v2R dt dL 又 M = −m1gR + m2 gR = m1a1R −m2a2R g m m a m m a − = −1 1 2 2 1 2 1 若两小孩初速都为零，而 任 一时刻 。 ，即物体轻的小孩 先到达滑轮。 当m1 m2时，a1 a2。 a1 a2， 2 1 v v 当m1 m2时，a1 a2