862绕定轴转动刚体的动能动能定理 转动动能设系统包括有N个质量元,z △m2,△m2…,△m2…△m U O 取△m2,其动能为 △ E==△mU2=△mr;o2 各质量元速度不同 刚体的总动能 但角速度相同 E=∑E=∑ △m2l 2②Mmb2=2 + 结论绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯 量与其角速度平方乘积的一半
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 一. 转动动能 z O i r vi mi 设系统包括有N 个质量元 m m mi mN , ,......., ,......, 1 2 i N r r r r , ,..... ..... 1 2 , i N v ,v ,......,v ,......v 1 2 mi ,其动能为 2 2 1 Eki = mivi 2 2 2 1 = mi ri 各质量元速度不同， 但角速度相同 = = 2 2 2 1 Ek Eki mi ri 刚体的总动能 ( ) 2 2 2 1 = mi ri 2 2 1 = J P • 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯 量与其角速度平方乘积的一半 结论 取
力矩的功 力的累积过程—力矩的空间累积效应 功的定义 dA=Fdr= Fcos pds de Frcosode e dr Erde - Mde 力矩作功的微分形式 ●对一有限过程 A-e MdO(积分形式)若M=C A=M(2-1)
二. 力矩的功 O r F r' r d d 功的定义 dA = F dr = Fcosds = Frcosd = F rd 力矩作功的微分形式 对一有限过程 = 2 1 d A M 若 M = C ( ) A = M 2 −1 ( 积分形式 ） = Md 力的累积过程——力矩的空间累积效应 • • . P
+ 讨论 (1)合力矩的功等于每个力矩的功的代数和 (2)力矩的功就是力的功。 (3)内力矩作功之和为零 转动动能定理 力矩功的效果 dA=Mdo=(0 )d0=Jodo=d(Jo2) dt 对于一有限过程 A= Mdo=d(Jo) J,=△E 2 2 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的动能定理(
三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果 ) 2 1 d( 2 dA = Md = J )d d d d ( J t = J = 对于一有限过程 = = 2 1 2 1 ) 2 1 d( 2 A Md J 2 1 2 2 2 1 2 1 = J − J = Ek 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的——动能定理 (质点系动能定理的区别) (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 讨论 (1) 合力矩的功等于每个力矩的功的代数和
●刚体的机械能 E= Ek+ Ep 刚体重力势能E2=∑△mgh ∑MnAn=mgh E mg m 质心的势能 EP=0机械能/ 刚体的 Jo+mgh 刚体的机械能守恒 Jo+mgh=C 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立
刚体的机械能 E = EK + EP 刚体重力势能 mghC E = J + 2 2 1 p = i i E m gh C i i mgh m m h mg = = 刚体的 机械能 质心的势能 刚体的机械能守恒 C 2 1 2 J + mghC = 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 • • hc EP = 0 C • i • m i h
例一根长为l,质量为m的均匀细直棒,可绕轴O在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置 求它由此下摆θ角时的a 解M= marcos 由动能定理 mg A= MdO mgcos 0de la n-0=-J2-0J==m gs 3gsin、u/2 此题也可用机械能守恒定律方便求解
例 一根长为 l ，质量为m 的均匀细直棒，可绕轴O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解 cos 2 1 M = mgl = = 0 0 cos d 2 d mg l A M 由动能定理 0 2 1 2 sin 0 = J − 2 = − lmg l g 2 3 sin = 2 3 1 J = ml 1 2 ) 3 sin ( / l g = 求 它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解 O m l C x mg • •
例图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体装在转 动架上,转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕 在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。 重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离h,所用时间为t, 求物体A对Z轴的转动惯量/z。设绳子 Z 不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计 T 解分析(机械能):En1=0E,=0 - mgy E2=m2/2+J202/2 8 U(mr2+Jz)/(2r2)
图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离h，所用时间为t， 例 解 EP1 = 0 Ek1 = 0 2 2 2 2 2 E m / J / k = v + Z ( ) (2 ) 2 2 2 mr J / r =v + Z 分析（机械能）： E mgy P2 = − 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计
机械能守恒-mgy+(my2+J2)/(2r2)=0 Z mg-21 dy du I T (mr+J dt dt 2 du ng my2+=常量 mg mg 2 J2=m(-1) mr+ 若滑轮质量不可忽略,怎样?
( ) 2 2 2 2 Z mr J r mgy = + v ( ) 2 1 d d 2 d d 2 2 Z mr J t t r y mg = + v v a t t y = = d d d d v v， 1) 2 ( 2 2 = − h gt J mr Z 2 2 2 2 2 1 2 1 t mr J mgr h at + Z = = = 常量 + = Z mr J mgr a 2 2 若滑轮质量不可忽略，怎样？ ( )/(2 ) 0 2 2 2 机械能守恒 − mgy+v mr + JZ r =