§7.2简谐振动动力学 谐振子 1.受力特点: 000000M2 线性恢复力F=-k 2.动力学方程 d 2 F=-kx= ma= m= d-x k +-x=0 k>0 0 0+m2x=0 x(t)=Acos(ot+o) 其中为固有(圆)频率0=/h 动力学方程 由振动系统决定,与初条件无关固有频率,固有周期
End 一. 谐振子 1. 受力特点: 线性恢复力 F = −kx 2. 动力学方程 0 d d 2 2 2 + x = t x x(t) = Acos(ωt + ) 其中 为 固有(圆)频率 动力学方程 m k ω = §7.2 简谐振动动力学 2 2 dt d x F = −k x = ma = m 0 2 2 + x = m k dt d x k 0 m 0 0 m k 由振动系统决定，与初条件无关.固有频率，固有周期
例:竖直悬挂的弹簧振子(k4m静止形变δ3,讨论小球的运动 解:kS=mg 重力mg,向下 弹力F=-k(n+x) F mg-k(8 +x)=ma=m k 0 与水平摆放时相同 思考题:仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率?
End 0 例：竖直悬挂的弹簧振子 ( , , ) k l m F k( x) = − st + 2 2 ( ) dt d x mg − k st + x = ma = m 0 2 2 + x = m k dt d x m k = st g m k = st g = 重力mg ，向下 弹力 与水平摆放时相同 ， 0 l st F mgx O st k st = mg 静止形变 ，讨论小球的运动 解： 思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？
单摆(l,m) 重力mg,张力T,取逆时针为正 mg sing=ma,=mlB=md d0.8 sin=0 通解:b= e cos(ot+) 0较小时,sn0≈ 角速度:s de dt o0m sin( at +) d 8 g a2+6=0 注意 初角位移与振动初位相的区别 T 2兀二2兀 角位移6与振动位相Φ的区别 振动角速度与振动圆频率的区别
End 2 2 sin 0 d g dt l + = sin 2 2 0 d g dt l + = l g = g l T 2 2 = = 较小时， 二、单摆 ( , ) l m 重力 mg ，张力 T ，取逆时针为正 2 2 sin t d mg ma ml ml dt − = = = = cos(t +) m sin( ) = = − t + dt d m 通解： 角速度: 振动角速度与振动圆频率 的区别 初角位移 0 与振动初位相 的区别 注意： 角位移 与振动位相 的区别
例物理摆 如图所示,设刚体对轴的转动惯量为J. 设t=0时摆角向右最大为6 求振动周期和振动方程 解M=- mohsin=JB 0+ mgh sin 0=0 m 0<5时,sin≈O 6⊥mgB=0口O T=2丌 单 振动方程0=O. coso t T=2 口摆
End 例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为0. 求 振动周期和振动方程. 解 M = −mghsin = J sin 0 g + = J m h 5 时,sin 0 g + = J m h J mgh = m h J T g = 2 单 摆 g 2 l 振动方程 T = cosωt = 0
六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1.动能 E kA2 max E2=-m kA sin(ot+o) k min 0 t+T E e, dt=kA 2.势能 kx=kA cos(ot+o) 3.机械能 E=E+En=kA2(简谐振动系统机械能守恒)
End 六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能 2 2 1 Ek = mv sin ( ) 2 1 2 2 = kA t + 2 max 2 1 Ek = kA 2 4 1 d 1 E t kA T E t T t k = k = + 2. 势能 2 2 1 E kx p = cos ( ) 2 1 2 2 = kA t + 3. 机械能 2 2 1 E = Ek + Ep = kA （简谐振动系统机械能守恒） Ek min = 0
例如图所示,一直角均质细杆,水平 部分杆长为l,质量为m,竖直部 分杆长为2l,质量为2m,细杆可 绕直角顶点处的固定轴O无摩擦 地转动,水平杆的未端与劲度系数 为k的弹簧相连,平衡时水平杆处 于水平位置。 x 求杆作微小摆动时的周期。 ng 解kx0=mg M- mg-cos0-2mgl sin 0 2mg k(xo +x)lcos e cosb≈lsn≈b,x≈10M=-(2mgl+kl2)0
End 例 如图所示，一直角均质细杆，水平 部分杆长为l ，质量为m ，竖直部 分杆长为 2l ，质量为 2m ，细杆可 绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦 地转动，水平杆的未端与劲度系数 为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处 于水平位置。 求 杆作微小摆动时的周期。 解 2 g 0 l kx l = m ( ) cos cos 2 g sin 2 g 0 k x x l m l l M m − + = − cos 1;sin ; x l (2 g ) 2 M = − m l + kl
d20 d (2mg1+k)←J=m2+2(2m)(21)2=3ml d 6 2mg+kl =0 2m1g+ d 3ml 3ml 3ml T=2 0=0cos(t+) \2mg+kl 能量的方法(t时刻系统的能量) E=J0+k(xo+)-mg(lsin 0) x Br -2mg gl cos0=C mgl ng Joo +k(xo +x)x--cos0+2mgl sin 00=0 21 J0+(2mg1+h)0=0(其它步骤同上) 2mg
End m l kl θ t θ J (2 g ) d d 2 2 2 = − + 2 2 2 (2 ) 2 3 3 1 3 1 J = ml + m（ l）= ml 0 3 2 g d d 2 2 = + + ml m kl t ml m kl 3 2 g + = m kl ml T + = 2 g 3 2π cos( ) = 0 ωt + 能量的方法(t 时刻系统的能量) sin ) 2 1 ( ) g( 2 1 2 1 2 0 2 E = J + k x + x − m l − = 2 g cos m l θ C cos 2 g sin 0 2 g ( ) + 0 + − + m l = m l J k x x x (2 g ) 0 2 J + m l + kl = （其它步骤同上）
§7.3简谐振动的合成 同方向同频率的简诸振动的合成 1.分振动: x=A cos(o t+91) x,=A, coS(o t+o,) 2.合振动 x=x1+x2=A, cos(o t+1)+A2 cos(o t+2) (A COS ( 1+ A, cos 2)cosat-(A sin p 1+ A, sin 2 )sin o t A cOs(0 A sIn x= Acos cos ot-Asin p sin o t=Acos(ot+p) A, sin ( A sin ( o tan o A2+A2+2A142cos(2-9 A, COS p1+ A, cos o + 结论:合振动x仍是简谐振动
End §7.3 简谐振动的合成 一. 同方向同频率的简谐振动的合成 1. 分振动 : 2. 合振动 : cos( ) cos( ) = 1 +1 + 2 +2 A t A t (A cos A cos )cos t (A sin A sin )sin t = 1 1 + 2 2 − 1 1 + 2 2 Acos Asin x = Acos cost − Asin sin t = Acos( t +) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A − 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tan A A A A + + = cos( ) 1 = 1 +1 x A t cos( ) 2 = 2 +2 x A t 1 2 x = x + x 结论：合振动 x 仍是简谐振动
+ 讨论: (1)若两分振动同相即2-91±2k(k=0,1,2 则A=A41+42,两分振动相互加强,当A1=A42时,=241 (2)若两分振动反相,即p2-g1=±(2k+1)兀(k=0,1,2 则A=A4142,两分振动相互减弱,当A1=A2时,A=0 旋转矢量法处理谐振动的合成 O x=X+? 2-91 Acos(ot+o) A=4++24420s(02-9)0 A, sin p ,+ A, sin 2 tan A cos o ,+ t-x=mtx
End 讨论: (1)若两分振动同相,即 2− 1=2k (k=0,1,2,…) (2)若两分振动反相,即 2− 1=(2k+1) (k=0,1,2,…) 当 A1=A2 时, A=0 则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 则A=|A1 -A2 |, 两分振动相互减弱， 旋转矢量法处理谐振动的合成 当 A1=A2 时 , A=2A1 1 A1 A2 2 A x2 x 1 x 1 2 x = x + x O 2 −1 1 2 x = x + x = Acos( t +) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A − 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tan A A A A + + =
同方向不同频率的简诸振动的合成 1.分振动 A A, cosT 2合振动:x=x1+x2 当(2-O1)t=2/兀时, A有最大值=A1+2 X 当(O2-a1)t=(2k+1)兀时, x=x1+x2→回 A有最小值A=4-A 合振动振幅的频率为 O 2丌 结论:合振动x不再是简谐振动
End 二. 同方向不同频率的简谐振动的合成 1. 分振动 : x A cosω t 1 = 1 1 x A ω t 2 2 2 = cos ωt 1 A1 A2 ω t 2 A x2 x 1 x 1 2 x = x + x O ω2 2 ω1 . 合振动 : 1 2 x = x + x 当 时, 当 时， 合振动振幅的频率为: 2 1 2 1 2 v = v − v − = 结论：合振动 x 不再是简谐振动 A = A1 + A2 A = A1 − A2 (ω2 −ω1 )t = 2kπ (ω2 −ω1 )t = (2k +1)π A 有最大值 A有最小值 (ω ω )t 2 − 1