第十四章稳恒电流的磁场 14.1通有电流I的导线形状如图所示,图中ACDO是边长 为b的正方形.求圆心O处的磁感应强度B=? [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根 据毕萨定律: dB 圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直,在O点产生的磁感应强度 大小为 图141 由于 积分得 ,=, d OA和OD方向的直线在O点产生的磁感应强度为零.在AC段, 电流元在O点产生的磁感应强度为 dB uo ld/sin 0 由于 7=bcot(I-8)=-bcot 所以 d/= bdesin2 0: 又由于 可得 dB uo I sin ed8 T 积分得 B 6d6 同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B3=B2.O点总磁感应强度为 B1+B2+B3 310 4πb 讨论](1)假设圆弧张角为φ,电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为 B
1 第十四章 稳恒电流的磁场 P117． 14．1 通有电流 I 的导线形状如图所示，图中 ACDO 是边长 为 b 的正方形．求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根 据毕-萨定律： 0 0 2 d d 4π I r = l r B ， 圆弧上的电流元与到 O 点的矢径垂直，在 O 点产生的磁感应强度 大小为 0 1 2 d d 4π I l B a = ， 由于 dl = adφ， 积分得 1 1 d L B B = 3π / 2 0 0 d 4π I a = 0 3 8 I a = ． OA 和 OD 方向的直线在 O 点产生的磁感应强度为零．在 AC 段， 电流元在 O 点产生的磁感应强度为 0 2 2 d sin d 4π I l B r = ， 由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ； 又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ， 可得 0 2 sin d d 4π I B b = ， 积分得 3π / 4 0 2 π / 2 d sin d 4π L I B B b = = 3π/ 4 0 0 π/ 2 2 ( cos ) 4π 8π I I b b = − = 同理可得 CD 段在 O 点产生的磁感应强度 B3 = B2．O 点总磁感应强度为 0 0 1 2 3 3 2 8 4π I I B B B B a b = + + = + ． [讨论]（1）假设圆弧张角为 φ，电流在半径为 a 的圆心处产生的磁感应强度为 0 4π I B a = ， I C O b a D A 图 14.1 l r θ Idl Idl C O b a D A
2π时,可得 31n1 B1 (2)有限长直导线产生的磁感应大小为 B (cos0,-cos 8,) 对于AC段,1=2、O2=3m/4;对于CD段,O1=/4、O2=π/2,都可得 B、=B √2A 8πb 如果不用毕-萨定律,可直接引用由毕-萨定律所得出的结果 14.2如图所示的载流导线,图中半圆的的半径为R 直线部分伸向无限远处.求圆心O处的磁感应强度B=? 「解答]在直线电流的磁感应强度公式中: (cos 0,-cos0,) 4πR 令01=0、B2=m/2,或者O1=/2、O2=π,就得半无限长导 线在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度 图142 4πR 两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向,大小为B:=02兀R 半圆在O处产生的磁场方向沿着X方向,大小为 Bx=4o//4R O点的磁感应强度为 B=-Bi-Bk=1以k 4R2πR 场强大小为 tB 4+2 与X轴的夹角为 0= arctan B. arctan B 14.3如图所示的正方形线圈ABCD,每边长为a,通有电流l.求 正方形中心O处的磁感应强度B=? 解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2,在O点产生的磁场大 小相等、方向相同.以AD边为例,利用直线电流的磁感应强度公式: 84me(cos日-cosB2), 图143 令1=/4、O2=3/4、R=a2,AD在O产生的场强为 2
2 当 3 2π 4 = 时，可得 0 1 3 8 I B a = ． （2）有限长直导线产生的磁感应大小为 0 1 2 (cos cos ) 4π I B b = − ． 对于 AC 段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于 CD 段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得 0 2 3 2 8π I B B b = = ． 如果不用毕-萨定律，可直接引用由毕-萨定律所得出的结果． 14．2 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为 R， 直线部分伸向无限远处．求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]在直线电流的磁感应强度公式中： 0 1 2 (cos cos ) 4π I B R = − ， 令 θ1 = 0、θ2 = π/2，或者 θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导 线在端点半径为 R 的圆心上产生的磁感应强度 0 4π I B R = ． 两无限长半直线在 O 点产生的磁场方向都向着-Z 方向，大小为 Bz = μ0I/2πR． 半圆在 O 处产生的磁场方向沿着-X 方向，大小为 Bx = μ0I/4R． O 点的磁感应强度为 0 0 4 2π x z I I B B R R B i k i k = − − = − − ． 场强大小为 2 2 2 0 4 π 4π x z I B B B R = + = + ， 与 X 轴的夹角为 2 arctan arctan π z x B B = = ． 14．3 如图所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I．求 正方形中心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]正方形每一边到 O 点的距离都是 a/2，在 O 点产生的磁场大 小相等、方向相同．以 AD 边为例，利用直线电流的磁感应强度公式： 0 1 2 (cos cos ) 4π I B R = − ， 令 θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD 在 O 产生的场强为 B I θ1 b θ2 X Y R I Z O 图 14.2 I O D B C A 图 14.3
2Ia O点的磁感应强度为 22 B=4B 方向垂直纸面向里 14.7两个共轴圆线圈,每个线圈中的电流强度都是l,半径为R,两个圆心间距离O1O2 R,试证:O1、O2中点O处附近为均匀磁场 [证明]方法一:用二阶导数.一个半径为R的环电流在离圆心 为x的轴线上产生的磁感应强度大小为 R 2(R2+x2)2 图14.7 设两线圈相距为2a,以O点为原点建立坐标,两线圈在x点产 生的场强分别为 B 2R2+(a+x)2 IR B 2[R2+(a-x)P 方向相同,总场强为B=B1+B2 个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状,两边各有一个 拐点.两个线圈的磁场叠加之后,如果它们相距太近,其曲线 就是更高的凸状:如果它们相距太远,其曲线的中间部分就会 下凹,与两边的峰之间各有一个拐点.当它们由远而近到最适 当的位置时,两个拐点就会在中间重合,这时的磁场最均匀, 而拐点处的二阶导数为零 a=R/2 设k=olR2/2,则 B=ki R2+(a+x)y+(R2+(a-x)2 B对x求一阶导数得 dB a-x dr-3kir'+(a+x)F2R+(a-x)25/) ZaeR 求二阶导数得 d-B R2-4(a+x)2 +n2 4(a-x) [R2+(a+x)] 在x=0处dB/dx2=0,得R2=4a2,所以 R x=0处的场强为
3 2 0 2π AD I B a = ， O 点的磁感应强度为 0 2 2 4 π AD I B B a = = ， 方向垂直纸面向里． 14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 I，半径为 R，两个圆心间距离 O1O2 = R，试证：O1、O2 中点 O 处附近为均匀磁场． [证明]方法一：用二阶导数．一个半径为 R 的环电流在离圆心 为 x 的轴线上产生的磁感应强度大小为： 2 0 2 2 3/ 2 2( ) IR B R x = + ． 设两线圈相距为 2a，以 O 点为原点建立坐标，两线圈在 x 点产 生的场强分别为 2 0 1 2 2 3/ 2 2[ ( ) ] IR B R a x = + + ， 2 0 2 2 2 3/ 2 2[ ( ) ] IR B R a x = + − ． 方向相同，总场强为 B = B1 + B2． 一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状，两边各有一个 拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线 就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会 下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适 当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀， 而拐点处的二阶导数为零． 设 k = μ0IR2 /2，则 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 1 1 { } [ ( ) ] [ ( ) ] B k R a x R a x = + + + + − B 对 x 求一阶导数得 2 2 5/ 2 d 3 { d [ ( ) ] B a x k x R a x + = − + + ， 2 2 5/ 2 } [ ( ) ] a x R a x − − + − 求二阶导数得 2 2 2 2 2 2 7/ 2 d 4( ) 3 { d [ ( ) ] B R a x k x R a x − + = − + + 2 2 2 2 7/ 2 4( ) } [ ( ) ] R a x R a x − − + + − ， 在 x = 0 处 d 2B/dx 2 = 0，得 R 2 = 4a 2，所以 2a = R． x = 0 处的场强为 x O2 C I O x R B O1 C 2a I R 图14.7 B
6840l b=k. [R2+(R/2)2 √5R5√5R 方法二:用二项式展开.将B1展开得 B=2(R2+a 2(R2+a2) ax+x2 (R2+ k Ho/R- 2ax+x B1=k(1 同理可得 B2=k( 1-2ax+x2 R2+ 当x很小时,二项式展开公式为 (1+x)=1+nx+ n(n-1) 将B1和B2按二项式展开,保留二次项,总场强为 B=B+B1=+÷3.32ax+x21-3.-52ax+x2 2R2+a21.222R2+ 2R2+ 1.22 2k[1+ 24(R2+a2)2 R2-4a2 2(R2+a2)2 IR 8√5n1 B=2k 可知:O点附近为均强磁场 14.5将半径为R的无限长导体圆柱面,沿轴向割去一宽为hh<R) 的无限长缝后,沿轴向均匀地通有电流,面密度为i,求轴线上的磁感应 强度B=? 解答]方法一:补缺法.导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成, 如果补上长缝,由于对称的缘故,电流在轴线上产生的磁感应强度为零.割 去长缝,等效于同时加上两个大小相等,方向相反的电流,其中,与i相 同的电流补上了长缝,与i相反的电流大小为I=ih 在轴线上产生的磁感应强度为 图14.5
4 2 2 3/ 2 2 [ ( / 2) ] B k R R = + 0 3 16 8 5 5 5 5 I k R R = = ． 方法二：用二项式展开．将 B1 展开得 2 0 1 2 2 2 3/ 2 2[ 2 ] IR B R a ax x = + + + 2 0 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2( ) [1 (2 ) /( )] IR R a ax x R a = + + + + ． 设 2 0 2 2 3/ 2 2( ) IR k R a = + ，则 2 3/ 2 1 2 2 2 (1 ) ax x B k R a + − = + + ． 同理可得 2 3/ 2 2 2 2 2 (1 ) ax x B k R a − + − = + + ． 当 x 很小时，二项式展开公式为 2 ( 1) (1 ) 1 ... 1 2 n n n x nx x − + = + + + ． 将 B1 和 B2 按二项式展开，保留二次项，总场强为 2 1 2 2 2 3 2 [1 2 ax x B B B k R a − + = + = + + + 2 2 2 2 1 3 5 2( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − + + + 2 2 2 3 2 [1 2 ax x k R a − − + + + + + 2 2 2 2 1 3 5 2 ( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − − + + + 2 2 2 3 2 [1 2 x k R a − = + + + 2 2 2 2 2 3 5 4 ...] 2 4 ( ) a x R a − − + + 2 2 2 2 2 2 3 4 2 [1 ...] 2 ( ) R a k x R a − − = + + + 令 R 2 - 4a 2 = 0，即 a = R/2，得 2 0 0 2 2 3/ 2 8 5 2 ( ) 25 IR I B k R a R = = = + ， 可知：O 点附近为均强磁场． 14．5 将半径为 R 的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为 h(h<<R) 的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为 i，求轴线上的磁感应 强度 B = ？ [解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成， 如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割 去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与 i 相 同的电流补上了长缝，与 i 相反的电流大小为 I = ih． 在轴线上产生的磁感应强度为 O' O R i h 图 14.5
h 方法二:积分法.在导体的截面上建立坐标,x坐标轴平分角a,a=hR 电流垂直纸面向外,在圆弧上取一线元 ds= rde 无限长直线电流为 d/= ids= iRda, 在轴线产生的磁感应强度大小为 2R2 两个分量分别为 dB =-dB 0=- o cos 0de 积分得 2r sin ed0=-2r Case/Rx-al2 o cos(2T-a12)-cos(a/2)]=0 cos 0d6 2x sinolzx-al2 ol [sin(2T-a/2)-sin(a/2) 2 C u,ih C 22: B的方向沿着y方向.B3的大小和方向正是无限长直线电流伽产生的磁感应强度 14.6在半径为R=10cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流l=50A,如图所示,求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B 解答]取导体面的横截面,电流方向垂直纸面向外 半圆的周长为 面电流线密度为 i=I/C=ITR 在半圆上取一线元d=Rd代表无限长直导线的截面,电流元为图146 d/= id=Ido/t 在轴线上产生的磁感应强度为 foldo 2πR2x2R 方向与径向垂直.dB的两个分量为 积分得 B sin 0
5 0 0 2π 2π I ih B R R = = ． 方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x 坐标轴平分角 α，α = h/R． 电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元 ds = Rdθ， 无限长直线电流为 dI = ids = iRdθ， 在轴线产生的磁感应强度大小为 0 0 d d d 2π 2π I i B R = = ， 两个分量分别为 0 d d sin sin d 2π x i B B = = ， 0 d d cos cos d 2π y i B B = − = − ． 积分得 2π / 2 2π / 2 0 0 / 2 / 2 sin d cos 2π 2π x i i B − − = = − 0 [cos(2π / 2) cos( / 2)] 0 2π i = − − − = ； 2π / 2 2π / 2 0 0 / 2 / 2 cos d sin 2π 2π y i i B − − = − = − 0 [sin(2π / 2) sin( / 2)] 2π i = − − − 0 0 0 2sin 2π 2 2π 2π i i ih R = = ． By的方向沿着 y 方向．By的大小和方向正是无限长直线电流 ih 产生的磁感应强度． 14．6 在半径为 R = 1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流 I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度 B = ？ [解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 面电流线密度为 i = I/C = IπR． 在半圆上取一线元 dl = Rdφ 代表无限长直导线的截面，电流元为 dI = idl = Idφ/π， 在轴线上产生的磁感应强度为 0 0 2 d d d 2π 2π I I B R R = = ， 方向与径向垂直．dB 的两个分量为 dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ． 积分得 π π 0 0 2 2 0 0 cos d sin 0 2π 2π x I I B R R = = = ， x dBy dBx dB y R O 1 φ x y O R θ ds α dB dBy dBx I R 图 14.6
B,J2T sin odo =2TR 丌R 由对称性也可知Bx=0,所以磁感应强度 B=By=64×10(T 方向沿着y正向. 14.7如图所示,宽度为a的薄长金属板中通有电流I,电流 沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x的 P点处的磁感应强度 [解答]电流分布在薄板的表面上,单位长度上电流密度,即面 电流的线密度为 图147 以板的下边缘为原点,在薄板上取一宽度为dl的通电导线,电流强度为 在P点产生磁感应强度为 dB=u,d 1=Ad, 2x(x+a-1) 磁场方向垂直纸面向外.由于每根电流产生的磁场方向相同,总磁 场为 B In(x+a 2r(x+a-1) [讨论]当a趋于零时,薄板就变成直线,因此 B o/ In(1+a/x) 2Ix a/x 2 这就是直线电流产生的磁感应强度的公式 14.8在半径为R的木球上紧密地绕有细导线,相邻线圈可视为相互 平行,盖住半个球面,如图所示,设导线中电流为L,总匝数为N,求球心 O处的磁感应强度B=? 「解答]四分之一圆的弧长为 单位弧长上线圈匝数为 图148 =N/C=2N/R 在四分之一圆上取一弧元 d/= Rde, 线圈匝数为 dw nd/= nRd, 环电流大小为 d/= ldN= nIRde 环电流的半径为 离O点的距离为
6 π 0 2 0 sin d 2π y I B R = π 0 0 2 2 0 ( cos ) 2π π I I R R = − = ． 由对称性也可知 Bx = 0，所以磁感应强度 B = By = 6.4×10-5 (T)， 方向沿着 y 正向． 14．7 如图所示，宽度为 a 的薄长金属板中通有电流 I，电流 沿薄板宽度方向均匀分布．求在薄板所在平面内距板的边缘为 x 的 P 点处的磁感应强度． [解答]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面 电流的线密度为 δ = I/a， 以板的下边缘为原点，在薄板上取一宽度为 dl 的通电导线，电流强度为 dI = δdl， 在 P 点产生磁感应强度为 0 0 d d d 2π 2π( ) I l B r x a l = = + − ， 磁场方向垂直纸面向外．由于每根电流产生的磁场方向相同，总磁 场为 0 0 d 2π( ) a l B x a l = + − 0 0 ln( ) 2π a l x a l = = − + − 0 ln(1 ) 2π I a a x = + ． [讨论]当 a 趋于零时，薄板就变成直线，因此 0 0 ln(1 / ) 2π / 2π I I a x B x a x x + = → ， 这就是直线电流产生的磁感应强度的公式． 14．8 在半径为 R 的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互 平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为 I，总匝数为 N，求球心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]四分之一圆的弧长为 C = πR/2， 单位弧长上线圈匝数为 n = N/C = 2N/πR． 在四分之一圆上取一弧元 dl = Rdθ， 线圈匝数为 dN = ndl = nRdθ， 环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ． 环电流的半径为 y = Rsinθ， 离 O 点的距离为 dB y x R O 1 θ P x a I 图 14.7 P x a I O dl l dI I R O 图 14.8
在O点产生的磁感应强度为 dB=loyd Honl sin 2 ode= HoN sin ? 0de 2R3 方向沿着x的反方向,积分得O点的磁感应强度为 B=LoNI sindo=4oNI(2 R 2TRJ(1-cos 20)d0=HAI 4R 14.9两个共面的平面带电圆环,其内外半径分别为R1、R2 和R3、R4(R1<R2<R3<R4),外面圆环以每秒钟n转的转速顺时 针转动,里面圆环以每称n转逆时针转动,若两圆环电荷面密度 均为σ,求n和n的比值多大时,圆心处的磁感应强度为零. 解答]半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为 B 在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环, 其面积为 图149 ds= drdr 所带的电量为 圆环转动的周期为 形成的电流元为 d= da/i=2In ordr 薄环电流可以当作圆电流,在圆心产生的磁感应强度为 dBi=uod//2r= uonadr 圆环在圆心产生磁感应强度为 Bi=monld( R2-R1) 同理,半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为 B n2O(R4-R3) 由于两环的转动方向相反,在圆心产生的磁感应强度也相反,当它们大小相同时,圆心 处的磁感应强度为零,即: ron1O(R2-R1)=70n2o(R-R3), 解得比值为 R-R R2-R1 14.10半径为R的无限长直圆柱导体,通以电流L,电流在截面上分布不均匀,电流 密度δ=k,求:导体内磁感应强度? 解答]在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环,其面积为 电流元为 d=dS=2πk2d
7 x = Rcosθ， 在 O 点产生的磁感应强度为 2 0 0 2 3 d d sin d 2 2 y I nI B R = = 0 2 sin d π NI R = ， 方向沿着 x 的反方向，积分得 O 点的磁感应强度为 π / 2 0 2 0 sin d π NI B R = π / 2 0 0 0 (1 cos 2 )d 2π 4 NI NI R R = − = ． 14．9 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为 R1、R2 和 R3、R4(R1 < R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟 n2 转的转速顺时 针转动，里面圆环以每称 n1 转逆时针转动，若两圆环电荷面密度 均为 σ，求 n1 和 n2 的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零． [解答]半径为 r 的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为 B = μ0I/2r． 在半径为 R1 和 R2 的环上取一半径为 r、宽度为 dr 的薄环， 其面积为 dS = 2πrdr， 所带的电量为 dq = σdS = 2πσrdr， 圆环转动的周期为 T1 = 1/n1， 形成的电流元为 dI = dq/T1 = 2πn1σrdr． 薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为 dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1σdr， 圆环在圆心产生磁感应强度为 B1 = πμ0n1σ(R2-R1)． 同理，半径为 R3 和 R4 的圆环在圆心处产生的磁感应强度为 B2 = πμ0n2σ(R4-R3)． 由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心 处的磁感应强度为零，即： πμ0n1σ(R2-R1) = πμ0n2σ(R4-R3)， 解得比值为 1 4 3 2 2 1 = n R R n R R − − ． 14．10 半径为 R 的无限长直圆柱导体，通以电流 I，电流在截面上分布不均匀，电流 密度 δ = kr，求：导体内磁感应强度？ [解答]在圆柱体内取一半径为 r、宽度为 dr 的薄圆环，其面积为 dS = 2πrdr， 电流元为 dI = δdS = 2πkr 2dr， R2 R4 R1 R3 图 14.9
从0到r积分得薄环包围的电流强度为 r=2xk3/3 从0到R积分得全部电流强度 =2kR/3 因此M=r/R 根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度 B=Ho. 2TTr 2TR 14.11有一电介质圆盘,其表面均匀带有电量Q,半径为a,可绕盘心且与盘面垂直 的轴转动,设角速度为m.求圆盘中心O的磁感应强度B=? 「解答]圆盘面积为 面电荷密度为 在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环,其面积为 图1411 ds=2rdr 所带的电量为 dq=ads=2tordr 薄圆环转动的周期为 T=2, 形成的电流元为 dl= dg/T=@ordr 薄环电流可以当作圆电流,在圆心产生的磁感应强度为 dB=uod//2r=Hooodr/2, 从0到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为 B=0002=0oQ2a 如果圆盘带正电,则磁场方向向上 14.12二条长直载流导线与一长方形线圈共面,如图所示.已 知a=b=c=10cm,=10m,h=h=1004,求通过线圈的磁通量. fh1 dx It 「解答]电流h和上在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里 的,在坐标系中的x点,它们共同产生的磁感应强度大小为 B=+-A 2π(a+b/2+x)2π(c+b/2-x) 在矩形中取一面积元 图1412 通过面积元的磁通量为 dop=Bds= Bldx, 通过线圈的磁通量为 b/2
8 从 0 到 r 积分得薄环包围的电流强度为 Ir = 2πkr3 /3； 从 0 到 R 积分得全部电流强度 I = 2πkR3 /3， 因此 Ir/I = r 3 /R 3． 根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度 0 0 2 3 2π 2π r I I B r r R = = ． 14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量 Q，半径为 a，可绕盘心且与盘面垂直 的轴转动，设角速度为 ω．求圆盘中心 O 的磁感应强度 B = ？ [解答]圆盘面积为 S = πa 2， 面电荷密度为 σ = Q/S = Q/πa 2． 在圆盘上取一半径为 r、宽度为 dr 的薄环，其面积为 dS = 2πrdr， 所带的电量为 dq = σdS = 2πσrdr． 薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω， 形成的电流元为 dI = dq/T = ωσrdr． 薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为 dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2， 从 0 到 a 积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为 B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa． 如果圆盘带正电，则磁场方向向上． 14．12 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已 知 a = b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量． [解答]电流 I1和 I2 在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里 的，在坐标系中的 x 点，它们共同产生的磁感应强度大小为 0 1 0 2 2π( / 2 ) 2π( / 2 ) I I B a b x c b x = + + + + − ． 在矩形中取一面积元 dS = ldx， 通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS = Bldx， 通过线圈的磁通量为 / 2 0 1 2 / 2 ( )d 2π / 2 / 2 b b l I I x a b x c b x − = + + + + − R I 图14.10 a ω O 图 14.11 b dx c x a I1 O 1 I2 l 图 14.12 ω O r a
Rol(,In a+b L In =2×107×10×100×2n2=277×104(Wb) C+b 14.13一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R=12cm的圆周运动,电子速度v= 0msl.求圆轨道内所包围的磁通量是多少? [解答]电子所带的电量为e=1.6×109库仑,质量为m=9.1×1031千克 电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力,即 f=evB=m/R 所以 B=mmv/er 电子轨道所包围的面积为 S=πR2, 磁通量为 图 14.13 =BS= mvR/e=2.4×10°(Wb) 14.14同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成,电流Ⅰ从一导体流入,从另 导体流出,且导体上电流均匀分布在其横截面积上,设圆柱半径为R1,圆筒半径为R2,如 图所示.求 (1)磁感应强度B的分布 (2)在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少 解答](1)导体圆柱的面积为 S=πR12, 面电流密度为 在圆柱以半径r作一圆形环路,其面积为 图14.14 包围的电流是 I ,=SS,=Ir/R,2 根据安培环路定理 NBd=A∑1=11, 由于B与环路方向相同,积分得 2πrB=0lr, 所以磁感应强度为 B=10lm12兀R12,(0R2) (2)在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l=1、宽为dr的矩形,其面积为 方向与磁力线的方向一致,通过矩形的磁通量为 dop= Bds= Bdr
9 0 1 1 ( ln ln ) 2π l a b c I I a c b + = − + =2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4 (Wb)． 14．13 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为 R = 1.2cm 的圆周运动，电子速度 v = 104m·s -1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？ [解答]电子所带的电量为 e = 1.6×10-19 库仑，质量为 m = 9.1×10-31 千克． 电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即： f = evB = mv2 /R， 所以 B = mv/eR． 电子轨道所包围的面积为 S = πR 2， 磁通量为 Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9 (Wb)． 14．14 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流 I 从一导体流入，从另一 导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为 R1，圆筒半径为 R2，如 图所示．求： （1）磁感应强度 B 的分布； （2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？ [解答]（1）导体圆柱的面积为 S = πR1 2， 面电流密度为 δ = I/S = I/πR1 2． 在圆柱以半径 r 作一圆形环路，其面积为 Sr = πr 2， 包围的电流是 Ir = δSr = Ir2 /R1 2． 根据安培环路定理 0 0 d r L = = I I ÑB l ， 由于 B 与环路方向相同，积分得 2πrB = μ0Ir， 所以磁感应强度为 B = μ0Ir/2πR1 2，(0 R2)． （2）在圆柱和圆筒之间离轴线 r 处作一径向的长为 l = 1、宽为 dr 的矩形，其面积为 dS = ldr = dr， 方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为 dΦ = BdS = Bdr， B O R v 图 14.13 l R2 R1 I I dr 图 14.14
总磁通量为 2π 分仿冬 14.15如图所示,一长直载流导体,具有半径为R的圆形横 截面,在其内部有与导体相切,半径为a的圆柱形长孔,其轴与 导体轴平行,相距b=R-a,导体截有均匀分布的电流. (1)证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值; (2)若要获得与载流为l,单位长度匝数n的长螺线管内部 磁场相等的均匀磁场,a应满足什么条件? (1)[证明]导体中的电流垂直纸面向外,电流密度为 图1415 π(R2-a2) 长孔中没有电流,可以当作通有相反电流的导体,两个电流密度的大小都为δ,这样, 长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的 如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆,其面积为 包围的电流为 ∑I=S 根据安培环路定理可得方程 2Br=10>, 磁感应强度为 B.=42=4 方向与矢径r垂直 同理,密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为 B 0 方向与矢径r垂直. 两个磁感应强度之间的夹角为O,则合场强的平方为 B=B+B +2B, B, cos 8 B2=(20)(r2+r2+2 rcos e). 根据余弦定理,如图可知 b=r+r-2rr'cos 由于 0,所以 0 b 由于b和δ都是常量,可见:长孔中是均匀磁场 将δ和b代入公式得磁感应强度大小为
10 总磁通量为 2 1 0 0 2 1 1 d ln 2π 2π R R I I R r r R = = ． 14．15 如图所示，一长直载流导体，具有半径为 R 的圆形横 截面，在其内部有与导体相切，半径为 a 的圆柱形长孔，其轴与 导体轴平行，相距 b = R – a，导体截有均匀分布的电流 I． （1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度 B 的值； （2）若要获得与载流为 I，单位长度匝数 n 的长螺线管内部 磁场相等的均匀磁场，a 应满足什么条件？ （1）[证明]导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为 2 2 π( ) I R a = − ． 长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为 δ，这样， 长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的． 如果在圆形截面中过任意点 P 取一个半径为 r 的同心圆，其面积为 S = πr 2， 包围的电流为 ΣI = δS = πr 2 δ， 根据安培环路定理可得方程 2πrBr = μ0ΣI， 磁感应强度为 0 0 2π 2 r I B r r = = ， 方向与矢径 r 垂直． 同理，密度为-δ 的电流在 P 点产生的磁感应强度为 0 2 B r r = ， 方向与矢径 r'垂直． 设两个磁感应强度之间的夹角为 θ，则合场强的平方为 2 2 2 2 cos B B B B B = + + r r r r 2 2 2 2 0 ( ) ( ` 2 cos ) 2 B r r rr = + + ． 根据余弦定理，如图可知： 2 2 2 b r r rr = + − 2 cos ， 由于 φ = π - θ，所以 0 2 B b = ， 由于 b 和 δ 都是常量，可见：长孔中是均匀磁场． 将 δ 和 b 代入公式得磁感应强度大小为 b a R O 1 O' 1 图 14.15 b a R O 1 O' 1 r r' Br B Br' θ φ P