第十章气体分子运动论 由于气体密度为p=M,所以方程可变为 p=-R7 P352 10.1已知温度为27℃的气体作用于器气体的摩尔质量为 壁上的压强为105Pa,求此气体内单位体积 =pRTp=0.0283(kg) 里的分子数 这种气体是氮气N2 解答]根据气体压强公式 p=nkT, 10.4当温度为0℃时,求 其中k=1.38×10-2于-K1称为玻尔兹曼常数 (1)N2分子的平均平动动能和平均转 当T=300K时,气体单位体积内的分动动能 子数为 (2)7gN2气体的内能 n=p/kT=2415×102(m3) [解答](1)N2分子有t=3个平动自由 度,其平均平动动能为 10.2一个温度为17℃、容积 112×103m3的真空系统已抽到其真空度为 v=-kT=565×1021(J) 1.33×10-3Pa.为了提高其真空度,将它放在将N2分子当作刚体,它就还有r=2个转动 300℃的烘箱内烘烤,使吸附于器壁的气体自由度,其平均转动动能为 分子也释放出来.烘烤后容器内压强为 i=k7=37×102( 1.33Pa,问器壁原来吸附了多少个分子 解答]烘烤前容器内单位体积内的分子 (2)N2分子的摩尔质量为=0.028kg, 质量M=0.007kg的N2分子的摩尔数为 m=p/kT1=3.32×10(m3), =M/=0.25 烘烤后容器内单位体积内的分子为 分子总数为 n=P2/kT2=1.68×102(m3) N=noNas 器壁原来吸附的分子数为 其中MA=602×1023为阿佛伽德罗常数 N=(m-m)=1.88×1018 而气体普适常量 R=kNA=8.31(J-K-mol-) 0.3已知275K和1.00×10Pa条件下 N2分子的自由度为i=1+r=5, 气体的密度p=1.24×103gcm3,求 气体的内能为 (1)气体的方均根速率Vv2; E=MT==NA7=÷n2RT (2)气体的摩尔质量μ,并指出是什么 =1417×103(J) 气体 解答](1)气体的密度为 0.5一个能量为1.6×10-丁的宇宙射线 p=1.24×102(kgm3), 粒子射入氖管中,氖管中含有氖气0.01mol, 根据气体压强和能量的公式p=1p2,得如射线粒子能量全部转变成氖气的内能,氖 气温度升高多少? 气体的方均根速度为 解答]氖气是堕性气体,分子式是N =、④3p/=4187ms 只能平动动能,自由度为 (2)根据理想气体状态方程 当射线粒子能量全部转变成氖气的内 RT, 能时,由公式E=n0RT可得气体升高的
1 第十章 气体分子运动论 P352 10．1 已知温度为 27℃的气体作用于器 壁上的压强为 105Pa，求此气体内单位体积 里的分子数． [解答]根据气体压强公式 p = nkT， 其中 k = 1.38×10-23J·K-1 称为玻尔兹曼常数． 当 T = 300K 时，气体单位体积内的分 子数为 n = p/kT = 2.415×1025(m-3 )． 10 ． 2 一个温度为 17℃ 、容积 11.2×10-3m3 的真空系统已抽到其真空度为 1.33×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在 300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体 分子也释放出来．烘烤后容器内压强为 1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？ [解答]烘烤前容器内单位体积内的分子 为 n1 = p1/kT1 = 3.32×1017(m-3 )， 烘烤后容器内单位体积内的分子为 n2 = p2/kT2 = 1.68×1020(m-3 )． 器壁原来吸附的分子数为 N = (n2 – n1)V = 1.88×1018． 10．3 已知 275K 和 1.00×103Pa 条件下 气体的密度 ρ = 1.24×10-5g·cm-3，求： （1）气体的方均根速率 2 v ； （2）气体的摩尔质量 μ，并指出是什么 气体． [解答]（1）气体的密度为 ρ = 1.24×10-2 (kg·m-3 )， 根据气体压强和能量的公式 1 2 3 p v = ，得 气体的方均根速度为 2 v p = 3 / = 491.87(m·s-1 )． （2）根据理想气体状态方程 M pV RT = ， 由于气体密度为 ρ = M/V，所以方程可变为 p RT = ， 气体的摩尔质量为 μ = ρRT/p = 0.0283(kg)． 这种气体是氮气 N2． 10．4 当温度为 0℃时，求： （1）N2 分子的平均平动动能和平均转 动动能； （2）7gN2 气体的内能．、 [解答]（1）N2 分子有 t = 3 个平动自由 度，其平均平动动能为 2 t t w kT = = 5.65×10-21(J)． 将 N2 分子当作刚体，它就还有 r = 2 个转动 自由度，其平均转动动能为 2 r r w kT = = 3.77×10-21 (J)． （2）N2 分子的摩尔质量为 μ = 0.028kg， 质量 M = 0.007kg 的 N2 分子的摩尔数为 n0 = M/μ = 0.25， 分子总数为 N = n0NA， 其中 NA = 6.02×1023 为阿佛伽德罗常数， 而气体普适常量 R = kNA = 8.31(J·K-1·mol-1 )． N2 分子的自由度为 i = t + r = 5， 气体的内能为 0 0 2 2 2 A i i i E NkT n N kT n RT = = = = 1.417×103 (J)． 10．5 一个能量为 1.6×10-7 J 的宇宙射线 粒子射入氖管中，氖管中含有氖气 0.01mol， 如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖 气温度升高多少？ [解答]氖气是堕性气体，分子式是 Ne， 只能平动动能，自由度为 i = t = 3． 当射线粒子能量全部转变成氖气的内 能时，由公式 0 2 i E n RT = 可得气体升高的
温度为 所以 1.28×10°(K) n、R 同理可得 10.6某些恒星的温度达到105K的数 量级,此时原子已不存在,只有质子存在, 2KT. 求 (1)质子的平均动能是多少? 将M1和M2的公式代入上面公式可得 (2)质子的方均根速率多大? 解答](1)质子的平动自由度为t=3 4Pb+2P2=(4P+2Pb 2K 2KT 平均平动动能为 ,=kT=2.07×1015(J) 约去公因子,可得混合气体的温度为 (2)质子的质量为 =+2)2 72+7=2844(k) mp=1.67261×1027(kg), 由于而=kT=my2,所以质子的方均 混合气体的压强为 根速率为 P=nkT(N,+N2) 1.573×10°(ms) 2k712k72 (1+L2)(71+72) 10.7一容器被中间隔板分成体积相等 2(472+1x)P0=10275m. 的两半,一半装有氦气,温度为250K;另 半装有氧气,温度为310K.两种气体的 0.8将(10.19)式表示成以理想气体 压强均为p.求抽去隔板后的混合气体温度最可几速率v为单位表示的形式,即令x= 和压强为多少? 解答设氦气和氧气分子各有M和Mw,若已知ed=07468,试计算: 个,氦气是单原子分子,自由度为i1=3; (1)分子速率小于最可几速率的分子 氧气是双原子分子,自由度为i=5 占分子总数的百分比为多少? 隔板抽去前,氦气和氧气分子的总能量 (2)分子速率大于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为多少 EL=NKT, E,=2N2, (3)参照表11.1,写出同一温度下氢 气分子对应同一分子数百分比的速率区间 隔板抽去后,氦气和氧气分子的总能量为 [解答]理想气体分子数占分子总数的 E=1NkT+2.kT 比率为 这个过程能量守恒,即,E=E1+E2,所以其中fv)是麦克斯韦速率分布函数 iI N1TI+ i2N272=(N1+iN2)T. f(v)=4m( 由于压强 设x=w,其中vp= 则 2
2 温度为 0 2E T in R = = 1.28×10-6 (K)． 10．6 某些恒星的温度达到 108K 的数 量级，此时原子已不存在，只有质子存在， 求： （1）质子的平均动能是多少？ （2）质子的方均根速率多大？ [解答]（1）质子的平动自由度为 t = 3， 平均平动动能为 2 t t w kT = = 2.07×10-15(J)． （2）质子的质量为 mp = 1.67261×1027(kg)， 由于 2 p 1 2 2 t t w kT m v = = ，所以质子的方均 根速率为 2 p tkT v m = = 1.573×106 (m·s-1 )． 10．7 一容器被中间隔板分成体积相等 的两半，一半装有氦气，温度为 250K；另 一半装有氧气，温度为 310K．两种气体的 压强均为 p0．求抽去隔板后的混合气体温度 和压强为多少？ [解答]设氦气和氧气分子各有 N1 和 N2 个，氦气是单原子分子，自由度为 i1 = 3； 氧气是双原子分子，自由度为 i2 = 5． 隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量 为 1 1 1 1 2 i E N kT = ， 2 2 2 2 2 i E N kT = ． 隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为 1 2 1 2 2 2 i i E N kT N kT = + ． 这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以 有 i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T． 由于压强 1 0 1 1 1 2N p n kT kT V = = ， 所以 0 1 1 2 p V N kT = ； 同理可得 0 2 2 2 p V N kT = ． 将 N1 和 N2 的公式代入上面公式可得 1 0 2 0 1 0 2 0 1 2 ( ) 2 2 2 2 i p V i p V i p V i p V T k k kT kT + = + ， 约去公因子，可得混合气体的温度为 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) i i TT T i T i T + = + = 284.4(K)． 混合气体的压强为 1 2 ( ) N N p nkT kT V + = = 0 0 1 2 1 ( ) 2 2 p V p V kT V kT kT = + 1 2 1 2 0 1 2 2 1 ( )( ) 2( ) i i T T p i T i T + + = + = 1.0275 p0． 10．8 将（10.19）式表示成以理想气体 最可几速率 vp 为单位表示的形式，即令 x = v/vp，若已知 1 2 0 e d 0.7468 x x − = ，试计算： （1）分子速率小于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为多少？ （2）分子速率大于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为多少？ （3）参照表 11.1，写出同一温度下氢 气分子对应同一分子数百分比的速率区间． [解答] 理想气体分子数占分子总数的 比率为 dN/N = f(v)dv， 其中 f(v)是麦克斯韦速率分布函数： 2 3/ 2 2 ( ) 4 ( ) exp( ) 2 2 m mv f v v k T kT = − ． 设 x = v/vp，其中 p 2kT v m = ，则
因此速率分为 △N=「(47 16m 16my T( )exp( 2 kiT dn/n=g(x)dx 取=4v,可得 其中g(x)=7x2ex 丌 △N 4r("exp( vd N ktT 2kT (1)分子速率小于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为 可见:氧气分子速率从v到γ之间的分子 数的比率与氢气分子速率从4n到42之间 「g(x)dx 的分子数的比率相同 从这个思路可以证明:当一种气体的分 子的质量是另一种气体的质量的a2倍时, 设Ⅰ=x2erdx,则 这种气体分子速率从v到之间的分子数 的比率与另一种气体分子速率从an到av 之间的分子数的比率相同 I==lxe dx xae 10.9.由10.8题结果,求速率在0.99p 到1.0lvp之间的分子数占分子总数的百分 (re e dx) 比 [解答]分子数比率为 即1=(07648-e-), g(x)dx 所以 N=1=08xe) 其中g(x)=7x2e 0.4276=42.76% 利用中值定理得 (2)分子速率大于最可几速率的分子 △N 占分子总数的百分比为 =g(1)(1.01-009)=e×0.02 N N 0.5724=57.24% 0.0166=1.66% (3)对于氧气分子,速率在~n2之间 10.10暂略 的分子数占分子总数的比率为 AN 10.11已知fv)是麦克斯韦分子速率分 w-J/(u)dv 布函数,说明以下各式物理意义 (1)fv)dv (2)n()dv,n为分子数密度 4丌( kiT (3) wf(v)dv 其中m表示氧分子的质量.用m`表示氢分 子的质量,则m=16m,对于氢分子的同一 (4)|。f(v)dv,p为最可几速率 比率则有 (5)[v2f(v)d [解答](1)由公式dMN=fv)dv可知:
3 dv = vpdx， 因此速率分为 dN/N = g(x)dx， 其中 2 4 2 ( ) e x g x x − = ． （1）分子速率小于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为 2 1 1 1 2 0 0 4 ( )d e d N x g x x x x N − = = ， 设 2 1 2 0 e d x I x x − = ，则 2 2 1 1 2 0 0 1 1 e d d e 2 2 x x I x x x − − = = − 2 2 1 1 0 0 1 ( e e d ) 2 x x x x − − = − − 即 1 1 (0.7648 e ) 2 I − = − ， 所以 1 4 2 1 (0.3648 e ) N I N − = = − = 0.4276 = 42.76%． （2）分子速率大于最可几速率的分子 占分子总数的百分比为 2 1 1 N N N N = − = 0.5724 = 57.24%． （3）对于氧气分子，速率在 v1~v2 之间 的分子数占分子总数的比率为 2 1 ( )d v v N f v v N = 2 1 2 3/ 2 2 4 ( ) exp( ) d 2 2 v v m mv v v k T kT = − ， 其中 m 表示氧分子的质量．用 m`表示氢分 子的质量，则 m = 16m`，对于氢分子的同一 比率则有 2 1 2 16 ` 16 ` 3/ 2 2 4 ( ) exp( ) d 2 2 v v N m m v v v N k T kT = − ， 取 v` = 4v，可得 2 1 4 2 3/ 2 2 4 ` ` ` 4 ( ) exp( ) ` d ` 2 2 v v N m m v v v N k T kT = − ， 可见：氧气分子速率从 v1 到 v2 之间的分子 数的比率与氢气分子速率从 4v1 到 4v2 之间 的分子数的比率相同． 从这个思路可以证明：当一种气体的分 子的质量是另一种气体的质量的 α 2 倍时， 这种气体分子速率从 v1 到 v2 之间的分子数 的比率与另一种气体分子速率从 αv1 到 αv2 之间的分子数的比率相同． 10．9． 由 10．8 题结果，求速率在 0.99vp 到 1.01vp 之间的分子数占分子总数的百分 比． [解答] 分子数比率为 1.01 0.09 ( )d N g x x N = ， 其中 2 4 2 ( ) e x g x x − = ． 利用中值定理得 4 1 (1)(1.01 0.09) e 0.02 N g N − = − = = 0.0166 = 1.66%． 10.10 暂略 10．11 已知 f(v)是麦克斯韦分子速率分 布函数，说明以下各式物理意义． （1）f(v)dv； （2）nf(v)dv，n 为分子数密度； （3） 2 1 ( )d v v vf v v ； （4） p 0 ( )d v f v v ，vp 为最可几速率； （5） p 2 ( )d v v f v v ． [解答]（1）由公式 dN/N = f(v)dv 可知：
fv)dv表示分子数在速率区间py+dv之中分 子数的比率dMN RT Po 304(m) (2)由于n=M,可得ndMN=dM/V, ug p 因此n(v)dv表示分子数在速率区间py+dv 10.15,10.16暂略 之中分子数密度 0.17在标准状态下CO2气体分子的 (3)「y()d表示分子在速率区间平均自由程万=629×10Ⅷm,求两次碰撞之 Ⅵ到P之间的平均速率 间的平均时间和CO2气体分子的有效直径 (4)「”f()表示分子速率小于最 [解答]C的原子量是12,O的原子量是 16,CO2的分子量是44,摩尔质量为= 可几速率的分子占分子总数的比率 0.04 lkg.mol-,其平均速率为 (5)Jv)d表示分子速率大于 kT RT =3623(ms1) 最可几速率的速率平方的平均值 丌n 两次碰撞之间的平均时间为 10.12质量为62×101g的微粒悬浮于 27℃的液体中,观察到它的方均根速率为 1.736×10-1(s). 14cms.由这些结果计算阿佛加德罗常数 「解答]当粒子平动时,其平均平动动能 根据公式花=一AT 万2a2b,可得CO2气 体分子的有效直径为 2 kT 由此得阿氏常数为 d 3648×10(m) R 3RT k =6.1545×102(mol+) 10.18,10.19暂略 10.20容器贮有O2气,其压强为 10.13暂略 1.013×105Pa,温度为27℃,有效直径为d 0.14求上升到什么高度时大气压强29×1010m,求: 减到地面大气压强的75%.设空气温度为 (1)单位体积中的分子数n; 0℃,空气的平均摩尔质量为0.028 (2)氧分子质量m 9kg. mol (3)气体密度p; 解答]根据玻尔兹曼分布可得压强随 (4)分子间平均距离l 高度变化关系 (5)最可几速率v p=Po exp(=) (6)平均速率 其中m是一个分子的质量 (7)方均根速率y12 用M4表示阿氏常数,则气体的摩尔质 (8)分子的平均总动能E; 量为μ=Nm,气体的普适常数为R= (9)分子平均碰撞频率彐 kN.压强公式可表示为 (10)分子平均自由程A p=Po exp(=) [解答](1)由p=nT得单位体积中的 高度为 分子数为 n=p/T=245×1025(m3)
4 f(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分 子数的比率 dN/N． （2）由于 n = N/V，可得 ndN/N = dN/V， 因此 nf(v)dv 表示分子数在速率区间 v~v+dv 之中分子数密度． （3） 2 1 ( )d v v vf v v 表示分子在速率区间 v1 到 v2 之间的平均速率． （4） p 0 ( )d v f v v 表示分子速率小于最 可几速率的分子占分子总数的比率． （5） p 2 ( )d v v f v v 表示分子速率大于 最可几速率的速率平方的平均值． 10．12 质量为 6.2×10-14g 的微粒悬浮于 27℃的液体中，观察到它的方均根速率为 1.4cm·s-1．由这些结果计算阿佛加德罗常数 NA． [解答]当粒子平动时，其平均平动动能 为 3 1 2 2 2 w kT mv = = ， 由此得阿氏常数为 2 3 A R RT N k mv = = = 6.1545×1023(mol-1 )． 10.13 暂略 10．14 求上升到什么高度时大气压强 减到地面大气压强的 75%．设空气温度为 0℃ ，空气的平均摩尔质量为 0.028 9kg·mol-1． [解答] 根据玻尔兹曼分布可得压强随 高度变化关系 0 exp( ) mgz p p kT = − ． 其中 m 是一个分子的质量． 用 NA 表示阿氏常数，则气体的摩尔质 量为 μ = NAm，气体的普适常数为 R = k.NA．压强公式可表示为 0 exp( ) gz p p RT = − ． 高度为 0 ln RT p z g p = = 2304(m)． 10.15,10.16 暂略 10．17 在标准状态下 CO2 气体分子的 平均自由程 = 6.29×10-8m，求两次碰撞之 间的平均时间和 CO2 气体分子的有效直径． [解答] C 的原子量是 12，O 的原子量是 16，CO2 的分子量是 44，摩尔质量为 μ = 0.044kg·mol-1，其平均速率为 8 8 kT RT v m = = = 362.3(m·s-1 )． 两次碰撞之间的平均时间为 t v = = 1.736×10-10(s)． 根据公式 2 2 kT d p = ，可得 CO2 气 体分子的有效直径为 2 kT d p = = 3.648×10-10(m)． 10.18,10.19 暂略 10．20 容器贮有 O2 气，其压强为 1.013×105Pa，温度为 27℃，有效直径为 d = 2.9×10-10m，求： （1）单位体积中的分子数 n； （2）氧分子质量 m； （3）气体密度 ρ； （4）分子间平均距离 l； （5）最可几速率 vp； （6）平均速率 v ； （7）方均根速率 2 v ； （8）分子的平均总动能 ； （9）分子平均碰撞频率 z ； （10）分子平均自由程 ． [解答]（1）由 p = nkT 得单位体积中的 分子数为 n = p/kT = 2.45×10-25(m-3 )．
质量单位是u=16055×102kg,分子的质则有b=4X4d (2)氧分子的原子质量单位是32, 3(2),可解得分子直径为 量为 m=32u=531×102(kg) d=2( (3)根据理想气体状态方程 16z入)y3=2.76×10(m p=-RT,氧的摩尔质量=0.032 10.221mol气体在0℃时的体积为 0.55L,试用范德瓦耳斯方程计算它的压 kg. mol-,其密度为 强.再将它看作理想气体,压强又为多少? M Pu a= 0.364Pa m. mol-l, b =1.30kgm 4.27×105m3mol1) (4)一个分子占有体积为y=1/n,设 解答]气体体积为v=0.55×10-m3.根 想分子整齐排列,则分子间的平均距离为据范氏方程 =(1/m)13=3.445×10(m) (5)最可几速率为 (p+-2(V-b)=RT 可得压强为 2kT =3947(ms4) b≈RTa v-by 367×10°(Pa (6)平均速率为 而理想气体的压强为 RT =4454(ms2) P=-=4.12×10°(Pa) (7)方均根速率为 3kT 483.5(ms) 第11章热力学基本原理 (8)分子的自由度为i=5,平均总动 P390 能为 1.1一系统由如图所示的状态a沿 E=kT=1.035×10-20(J) abc到达c,有350J热量传入系统,而系 2 统对外做功126J (9)分子平均碰撞频率为 (1)经ad,系统对外做功42J,问系 E=√2ndn=40710(s) 统吸热多少? (2)当系统由状态c沿曲线ac回到状 (10)分子平均自由程为 态a时,外界对系统做功为84J,问系统是 吸热还是放热,在这一过程中系统与外界 1.09×107(m) 之间的传递的热量为多少? [解答](1) 当系统由状态a 10.21设氢的范德瓦耳斯常量b值为沿abc到达c时 lmol气体体积总和的4倍.将气体分子看根据热力学第 作刚球,试计算H2分子的直径.(对于H2,定律,吸收的热 b=266×105m3mol1) 量Q和对外所做 图121 解答]1mol气体有N=602×1023个分的功A的关系是 子,设分子直径为d,将分子当作刚性球体, Q=△E+A
5 （2）氧分子的原子质量单位是 32，一 质量单位是 u = 1.66055×10-27kg，分子的质 量为 m = 32u = 5.31×10-26(kg)． （ 3 ）根据理想气体状态方程 M pV RT = ，氧的摩尔质量 μ = 0.032 kg·mol-1，其密度为 M p V RT = = = 1.30(kg·m-3 )． （4）一个分子占有体积为 v = 1/ n，设 想分子整齐排列，则分子间的平均距离为 l = (1/n)1/3 = 3.445×10-9 (m)． （5）最可几速率为 p 2kT v m = = 394.7(m·s-1 )． （6）平均速率为 8kT v m = = 445.4(m·s-1 )． （7）方均根速率为 2 3kT v m = = 483.5(m·s-1 )． （8）分子的自由度为 i = 5，平均总动 能为 2 i = kT = 1.035×10-20(J)． （9）分子平均碰撞频率为 2 z d nv = 2 = 4.07×109 (s-1 )． （10）分子平均自由程为 2 2 kT d p = = 1.09×10-7 (m)． 10．21 设氢的范德瓦耳斯常量 b 值为 1mol 气体体积总和的 4 倍．将气体分子看 作刚球，试计算 H2 分子的直径．（对于 H2， b = 2.66×10-5m3·mol-1）． [解答] 1mol 气体有 NA = 6.02×1023 个分 子，设分子直径为 d，将分子当作刚性球体， 则有 4 3 4 ( ) 3 2 A d b N = ，可解得分子直径为 3 1/3 2( ) 16 A b d N = = 2.76×10-10(m)． 10．22 1mol 气体在 0℃时的体积为 0.55L，试用范德瓦耳斯方程计算它的压 强．再将它看作理想气体，压强又为多少？ （ a = 0.364Pa·m6·mol-1 ， b = 4.27×10-5m3·mol-1） [解答]气体体积为 v = 0.55×10-3m-3．根 据范氏方程 2 ( )( ) a p v b RT v + − = ， 可得压强为 2 RT a p v b v = − − = 3.67×106 (Pa)． 而理想气体的压强为 RT p v = = 4.12×106 (Pa)． 第 11 章 热力学基本原理 P390 11．1 一系统由如图所示的状态 a 沿 abc 到达 c，有 350J 热量传入系统，而系 统对外做功 126J． （1）经 adc，系统对外做功 42J，问系 统吸热多少？ （2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状 态 a 时，外界对系统做功为 84J，问系统是 吸热还是放热，在这一过程中系统与外界 之间的传递的热量为多少？ [解答]（1） 当系统由状态 a 沿 abc 到达 c 时， 根据热力学第一 定律，吸收的热 量 Q 和对外所做 的功 A 的关系是 Q = ΔE + A， O V p a b c d 图 12.1
其中△E是内能的增量.Q和A是过程量 Q=△E+A=1.55×10°(J 也就是与系统经历的过程有关,而△E是状 系统状态直接从1→2的变化时所做的 态量,与系统经历的过程无关 功就是直线下的面积 当系统沿adc路径变化时,可得 Q1=△E+At 4=2(p2+PW2-1)=60×10 这两个过程的内能的变化是相同的,即 吸收的热量为 △E1=△E Q=△E+A=1.35×10(J) 将两个热量公式相减可得系统吸收的热量 为 11.3lmol范氏气体,通过准静态等温 Q1=Q+A1-A=266(J) 过程,体积由V膨胀至V2,求气体在此过 (2)当系统由状态c沿曲线ac回到状程中所做的功? 态a时,可得 [解答]1mol范氏气体的方程为 Q=△E2+A2 其中,△E2=-△E,A2=-84(J),可得 (P+-2)(V-b)=RT Q2=(Q-A)+A2=-308(J), 通过准静态等温过程,体积由V膨胀至V2 可见:系统放射热量,传递热量的大小为时气体所做的功为 308J Rt a A=. pd 11.21mol氧气由状态1变化到状态2, 所经历的过程如图,一次沿1→m→2路径, RTIn(v-b)+ 另一次沿 =RT In +a(x- 路径.试分 V-bV j 别求出这1×10-+ 两个过程 11.41mol氢在压强为1013×105Pa, 中系统吸 5×10-2 温度为20℃时的体积为V,今使其经以下 收热量Q、 图122 两种过程达同一状态: 对外界所做的功A以及内能的变化E2 (1)先保持体积不变,加热使其温度 解答]根据理想气体状态方程pV=RT,升高到80℃,然后令其作等温膨胀,体积 可得气体在状态1和2的温度分别为 变为原体积的2倍 T=p1i/R和72=p2V. 2)先使其作等温膨胀至原体积的2 氧气是双原子气体,自由度i=5,由于内能倍,然后保持体积不变,升温至80℃ 是状态量,所以其状态从1到2不论从经过 试分别计算以上两过程中吸收的热量 什么路径,内能的变化都是 气体所做的功和内能增量.将上述两过程 △E=R(72-7)=(PF2-pF) 画在同一p-V图上并说明所得结果 [解答]氢气是双原子气体,自由度i=5, 7.5×103 由于内能是状态量, 系统状态从1→m的变化是等压变化,所以不论从经过什么 对外所做的功为 路径从初态到终态 A=pdV=p(2-V1)=8.0×10() 内能的增量都是 系统状态从m→2的变化是等容变化,对外 △E=÷R(2-71) 不做功.因此系统状态沿1→m→2路径变化 =12465×10(J 时,对外做功为80×103;吸收的热量为 (1)气体先做等容变化时,对外不做
6 其中 ΔE 是内能的增量．Q 和 A 是过程量， 也就是与系统经历的过程有关，而 ΔE 是状 态量，与系统经历的过程无关． 当系统沿 adc 路径变化时，可得 Q1 = ΔE1 + A1， 这两个过程的内能的变化是相同的，即 ΔE1 = ΔE， 将两个热量公式相减可得系统吸收的热量 为 Q1 = Q + A1 - A = 266(J)． （2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状 态 a 时，可得 Q2 = ΔE2 + A2， 其中，ΔE2 = -ΔE，A2 = -84(J)，可得 Q2 = -(Q – A) + A2 = -308(J)， 可见：系统放射热量，传递热量的大小为 308J． 11．2 1mol 氧气由状态 1 变化到状态 2， 所经历的过程如图，一次沿 1→m→2 路径， 另一次沿 1→2 直线 路径．试分 别求出这 两个过程 中系统吸 收热量 Q、 对外界所做的功A 以及内能的变化E2 - E1． [解答]根据理想气体状态方程pV = RT， 可得气体在状态 1 和 2 的温度分别为 T1 = p1V1/R 和 T2 = p2V2． 氧气是双原子气体，自由度 i = 5，由于内能 是状态量，所以其状态从 1 到 2 不论从经过 什么路径，内能的变化都是 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 i i = − = − E R T T p V p V = 7.5×103 (J)． 系统状态从 1→m 的变化是等压变化， 对外所做的功为 2 1 2 1 d ( ) V V A p V p V V = = − = 8.0×103 (J)． 系统状态从 m→2 的变化是等容变化，对外 不做功．因此系统状态沿 1→m→2 路径变化 时，对外做功为 8.0×103 J；吸收的热量为 Q = ΔE + A = 1.55×104 (J)． 系统状态直接从 1→2 的变化时所做的 功就是直线下的面积，即 2 1 2 1 1 ( )( ) 2 A p p V V = + − = 6.0×103 (J)． 吸收的热量为 Q = ΔE + A = 1.35×104 (J)． 11．3 1mol 范氏气体，通过准静态等温 过程，体积由 V1 膨胀至 V2，求气体在此过 程中所做的功？ [解答] 1mol 范氏气体的方程为 2 ( )( ) a p v b RT v + − = ， 通过准静态等温过程，体积由 V1 膨胀至 V2 时气体所做的功为 2 2 1 1 2 d ( )d V V V V RT a A p v v v b v = = − − 2 1 ln( ) V V a RT v b v = − + 2 1 2 1 1 1 ln ( ) V b RT a V b V V − = + − − ． 11．4 1mol 氢在压强为 1.013×105Pa， 温度为 20℃时的体积为 V0，今使其经以下 两种过程达同一状态： （1）先保持体积不变，加热使其温度 升高到 80℃，然后令其作等温膨胀，体积 变为原体积的 2 倍； （2）先使其作等温膨胀至原体积的 2 倍，然后保持体积不变，升温至 80℃． 试分别计算以上两过程中吸收的热量， 气体所做的功和内能增量．将上述两过程 画在同一 p-V 图上并说明所得结果． [解答]氢气是双原子气体，自由度 i = 5， 由于内能是状态量， 所以不论从经过什么 路径从初态到终态， 内能的增量都是 2 1 ( ) 2 i = − E R T T = 1.2465×103 (J)． （1）气体先做等容变化时，对外不做 V/m3 O p/Pa 2 2×105 1 m 1×105 1×10-2 5×10-2 图 12.2 O V p T2 T1 V0 2V0
功,而做等温变化时,对外所做的功为 T1=ToPi po: 对于等压过程有 A pdv=RT ldI 2/T2=V0/o 所以 =RT2ln2=20333×10°(J) T2=T0V2/0. 因此 所吸收的热量为 Q2=△E+A2=32798×10(J) ToP/Po-To (2)气体先做等温变化时,对外所做 的功为 证毕 (2-vo)Po V= RT 116暂略 =RTln2=1.6877×103(J 11.7理想气体的既非等温也非绝热的 过程可表示为p=常数,这样的过程叫 所吸收的热量为 多方过程,n叫多方指数 Q1=△E+A1=2.9242×10°(J) (1)说明n=0,1,y和∞各是什么过 如图所示,气体在高温下做等温膨胀程 时,吸收的热量多些,曲线下的面积也大些 (2)证明:多方过程中理想气体对外 1l.5为了测定气体的y(y=CC) 做功:A=P-P22 可用下列方法:一定量气体,它的初始温 (3)证明:多方过程中理想气体的摩 度、体积和压强分别为T0,Vo和p.用 根通电铂丝对它加热,设两次加热电流和热容量为:C=C(1-n 时间相同,使气体吸收热量保持一样.第并就此说明(1)中各过程的值. 一次保持气体体积V不变,而温度和压强 (1)[说明]当n=0时,p为常数,因 变为T,p1;第二次保持压强po不变,而此是等压过程; 温度和体积则变为T2,V2,证明: 当n=1时,根据理想气体状态方程p RT,温度T为常数,因此是等温过程; P1-p0 (2-V0)P 当n=y时表示绝热过程 当n=∞时,则有p=常数,表示等 [证明]定容摩尔热容为 容过程 C (2)[证明]对于多方过程有 p"=p1=p2V2"=((常数), 在本题中为 理想气体对外所做的功为 C=△Q(T1-T0 定压摩尔热容为 A=pdv=C-"dv p-p dT 在本题中为 (2)[证明]对于一摩尔理想气体有 Cp=△Q/(T2-70) pV=RT, 对于等容过程有 因此气体对外所做的功可表示为 PI/Ti=po/To RT-RT A 所以
7 功，而做等温变化时，对外所做的功为 2 2 1 1 2 2 1 d d V V V V A p V RT V V = = 2 = RT ln 2 = 2.0333×103 (J)， 所吸收的热量为 Q2 = ΔE + A2 = 3.2798×103 (J)． （2）气体先做等温变化时，对外所做 的功为 2 2 1 1 1 1 1 d d V V V V A p V RT V V = = 1 = RT ln 2 = 1.6877×103 (J)， 所吸收的热量为 Q1 = ΔE + A1 = 2.9242×103 (J)． 如图所示，气体在高温下做等温膨胀 时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些． 11．5 为了测定气体的 γ（γ=Cp/CV）， 可用下列方法：一定量气体，它的初始温 度、体积和压强分别为 T0，V0和 p0．用一 根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和 时间相同，使气体吸收热量保持一样．第 一次保持气体体积 V0 不变，而温度和压强 变为 T1，p1；第二次保持压强 p0 不变，而 温度和体积则变为 T2，V2，证明： 1 0 0 2 0 0 ( ) ( ) p p V V V p − = − ． [证明]定容摩尔热容为 (d ) d V V Q C T = ， 在本题中为 CV = ΔQ/(T1 – T0)； 定压摩尔热容为 (d ) d p p Q C T = ， 在本题中为 Cp = ΔQ/(T2 – T0)． 对于等容过程有 p1/T1 = p0/T0， 所以 T1 = T0p1/p0； 对于等压过程有 V2/T2 = V0/T0， 所以 T2 = T0V2/V0． 因此 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 / / p V C T T T p p T C T T T V V T − − = = = − − 1 0 0 2 0 0 ( ) ( ) p p V V V p − = − ． 证毕． 11.6 暂略 11．7 理想气体的既非等温也非绝热的 过程可表示为 pVn = 常数，这样的过程叫 多方过程，n 叫多方指数． （1）说明 n = 0，1，γ 和∞各是什么过 程． （2）证明：多方过程中理想气体对外 做功： 1 1 2 2 1 p V p V A n − = − ． （3）证明：多方过程中理想气体的摩 尔热容量为： ( ) 1 V n C C n − = − ， 并就此说明（1）中各过程的值． （1）[说明]当 n = 0 时，p 为常数，因 此是等压过程； 当 n = 1 时，根据理想气体状态方程 pV = RT，温度 T 为常数，因此是等温过程； 当 n = γ 时表示绝热过程； 当 n =∞时，则有 p 1/nV = 常数，表示等 容过程． （2）[证明]对于多方过程有 pVn = p1V1 n = p2V2 n = C(常数)， 理想气体对外所做的功为 2 2 1 1 d d V V n V V A p V CV V − = = 1 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 1 1 C n n p V p V V V n n − − − = − = − − ．证毕． （2）[证明]对于一摩尔理想气体有 pV = RT， 因此气体对外所做的功可表示为 1 2 1 RT RT A n − = −
气体吸收的热量为 的功为AB直线下的面积,即 O=△E+A AAB=(p4+pB)(VB-H)2=200J), R(12-1)+,R(2-7) 内能的增量为 摩尔热容量为 AE R(T8-T) i+2-in DR R 2(1-n) =(P2-P4)=750J (+2)/-n 证毕 吸收的热量为 Q4B=△EAB+AAB=950 B→C是等容过程,系统对外不做功.内 11.8一气缸内贮有10mol的单原子理能的增量为 想气体,在压缩过程中,外力做功209J, 气体温度升高1℃.试计算气体内能增量和 △E=2MR(-7) 所吸收的热量,在此过程中气体的摩尔热容 是多少? 解答]单原子分子的自由度为i=3, (PcC-p2B)=-600J) 摩尔理想气体内能的增量为 吸收的热量为 △E=2R△7=12465(, Qc=△EBc+ABC=-600J) 就是放出600J的热量 l0mol气体内能的增量为12465J. C→A是等压过程,系统对外做的功为 气体对外所做的功为A=-209J,所以 Ac=p(4-Vc)=-100 气体吸收的热量为 内能的增量为 Q=△E+A=-84.35(J) 1摩尔气体所吸收的热量为热容为 CA R(T-T) 8435J,所以摩尔热容为 C=-8.435( J- mol-K) (P4H4-pcC)=-150( 11.9一定量的单原子分子理想气体,吸收的热量为 从初态A出发,沿图示直线过程变到另一状 OcA=AECA+ ACA=-250() 态B,又经过等容、等压过程回到状态A.也就是放出250J的热量 (1)A→B,B→C,C→A,各过程中 (2)对外做的总功为 系统对外所做的功A,内能的增量△E以及 A=AAB+ ABC+ AcA=100() 所吸收的热量Q 吸收的总热量为 (2)整个循 Q=OAB+ OBC+ OCA= 100() 环过程中系统对p0Pa 由此可见:当系统循环一周时,内能不 外所做的总功以 变化,从外界所吸收的热量全部转化为对外 及从外界吸收的 所做的功 总热量(各过程吸 热的代数和) 11.10lmol单原子分子的理想气体, 解答]单原子 经历如图所示的的可逆循环,连接ac两点 分子的自由度i= 图128 的曲线Ⅲ的方程为 3. 2/V02,a点 (1)在A→B的过程中,系统对外所做的温度为T0 图12.9
8 气体吸收的热量为 Q = ΔE + A = 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 2 1 i R T T R T T n − + − − ， 摩尔热容量为 2 1 1 2 ( ) 2 1 2(1 ) Q i i in C R R T T n n + − = = + = − − − ( 2) / 1 2 1 V i i n i n R C n n + − − = = − − ．证毕． 11．8 一气缸内贮有 10mol 的单原子理 想气体，在压缩过程中，外力做功 209J，， 气体温度升高 1℃．试计算气体内能增量和 所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容 是多少？ [解答]单原子分子的自由度为 i = 3，一 摩尔理想气体内能的增量为 2 i = E R T = 12.465(J)， 10mol 气体内能的增量为 124.65J． 气体对外所做的功为 A = - 209J，所以 气体吸收的热量为 Q = ΔE + A = -84.35(J)． 1 摩尔气体所吸收的热量为热容为 -8.435J，所以摩尔热容为 C = -8.435(J·mol-1·K-1 )． 11．9 一定量的单原子分子理想气体， 从初态 A 出发，沿图示直线过程变到另一状 态 B，又经过等容、等压过程回到状态 A． （1）A→B，B→C，C→A，各过程中 系统对外所做的功 A，内能的增量 ΔE 以及 所吸收的热量 Q． （2）整个循 环过程中系统对 外所做的总功以 及从外界吸收的 总热量（各过程吸 热的代数和）． [解答]单原子 分子的自由度 i = 3． （1）在 A→B 的过程中，系统对外所做 的功为 AB 直线下的面积，即 AAB = (pA + pB)(VB – VA)/2 = 200(J)， 内能的增量为 ( ) 2 AB B A i M E R T T = − ( ) 2 B B A A i = − p V p V = 750(J)． 吸收的热量为 QAB = ΔEAB + AAB = 950(J)． B→C 是等容过程，系统对外不做功．内 能的增量为 ( ) 2 BC C B i M E R T T = − ( ) 2 C C B B i = − p V p V = -600(J)． 吸收的热量为 QBC = ΔEBC + ABC = -600(J)， 就是放出 600J 的热量． C→A 是等压过程，系统对外做的功为 ACA = pA(VA – VC) = -100(J)． 内能的增量为 ( ) 2 CA A C i M E R T T = − ( ) 2 A A C C i = − p V p V = -150(J)． 吸收的热量为 QCA = ΔECA + ACA = -250(J)， 也就是放出 250J 的热量． （2）对外做的总功为 A = AAB + ABC + ACA = 100(J)． 吸收的总热量为 Q = QAB + QBC + QCA = 100(J)． 由此可见：当系统循环一周时，内能不 变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外 所做的功． 11．10 1mol 单原子分子的理想气体， 经历如图所示的的可逆循环，连接 ac 两点 的曲线Ⅲ的方程为 p = p0V 2 /V0 2，a 点 的温度为 T0． V/10-3m3 O p/105Pa 3 2 1 1 2 B A C 图 12.8 V O p I b II a c p0 9p0 V0 III 图 12.9
(1)以T0,R表示I,Ⅱ,Ⅲ过程中 气体吸收的热量 =16.37% (2)求此循环的效率 解答]由题可知:poV=RT. (1)I是等容过程,系统不对外做功 11.111mol理想气体在400K和300K 内能的变化为 之间完成卡诺循环.在400K等温线上,初 △E=R(T2-7)=(-RG)始体积为1x10m3,最后体积为5×10m3.试 计算气体在此循环中所做的功及从高温热 2(9p1n-Rx)=12Rx 源所吸收的热量和向低温热源放出的热量 [解答]卡诺循环由气体的四个变化过 吸收的热量为 程组成,等温膨胀过程,绝热膨胀过程,等 QA=△E1=12RTo 温压缩过程,绝热压缩过程 I是等容过程,根据Ⅲ的方程,当p 气体在等温膨胀过程内能不改变,所吸 9p时,Ve=3Vo.系统对外所做的功为 收的热量全部转化为对外所做的功,即 An=Pb(c-Vb)=9po2Vo=18RTo 内能的变化为 Q =A= pdv=RIDi △En=÷R(T-Tb)=(P-Pb1b) =Rnn2=535×10°(J) 19n2V=27R7 气体在等温压缩过程内能也不改变,所放出 吸收的热量为 的热量是由外界对系统做功转化来的,即 On=△En+Am=45RT0 在过程Ⅲl中,系统对外所做的功为 A=pdv=RT2-dv pdv- Po T2In Po(3-V2) 利用两个绝热过程,可以证明 V4/V3=V2/V1, 内能的变化为 可得 R(T-T)=(R70-PV) Q2=401×103(J) 气体在整个循环过程中所做的功为 A=Q1-Q2=1.34×10°(J) (R7-9P031)=-39R7 11.12暂略 11.13一热机在1000K和300K的两 吸收的热量为 热源之间工作,如果 Qm=△Em+Am=-143R7o/3 (1)高温热源提高100K, (2)系统对外做的总功为 (2)低温热源降低100K A=Au+Au +A= 28RT0/3 从理论上说,哪一种方案提高的热效率高 系统从高温热源吸收的热量为 些?为什么? Q1=Q1+ahn=57R70 [解答](1)热机效率为 循环效率为 =1-72/T1, 提高高温热源时,效率为
9 （1）以 T0，R 表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ过程中 气体吸收的热量． （2）求此循环的效率． [解答]由题可知：p0V0 = RT0． （1）I 是等容过程，系统不对外做功， 内能的变化为 I 0 0 ( ) ( ) 2 2 b a b i i = − = − E R T T p V RT 0 0 0 0 (9 ) 12 2 i = − = p V RT RT ． 吸收的热量为 QI = ΔEI = 12RT0． II 是等容过程，根据 III 的方程，当 pc = 9p0 时，Vc = 3V0．系统对外所做的功为 AII = pb(Vc - Vb) = 9p02V0 = 18RT0． 内能的变化为 II ( ) ( ) 2 2 c b c c b b i i = − = − E R T T p V p V 0 0 0 9 2 27 2 i = = p V RT ． 吸收的热量为 QII = ΔEII + AII = 45RT0． 在过程 III 中，系统对外所做的功为 0 2 III 2 0 d d a a c c V V V V p A p V V V V = = 0 3 3 2 0 0 26 ( ) 3 3 a c p V V RT V = − = − ． 内能的变化为 III 0 ( ) ( ) 2 2 a c c c i i = − = − E R T T RT p V 0 0 0 0 ( 9 3 ) 39 2 i = − = − RT p V RT ． 吸收的热量为 QIII = ΔEIII + AIII = -143RT0/3． （2）系统对外做的总功为 A = AI + AII + AIII = 28RT0/3， 系统从高温热源吸收的热量为 Q1 = QI + QII = 57RT0， 循环效率为 1 A Q = = 16.37%． 11．11 1mol 理想气体在 400K 和 300K 之间完成卡诺循环．在 400K 等温线上，初 始体积为1×10-3m3，最后体积为5×10-3m3．试 计算气体在此循环中所做的功及从高温热 源所吸收的热量和向低温热源放出的热量． [解答] 卡诺循环由气体的四个变化过 程组成，等温膨胀过程，绝热膨胀过程，等 温压缩过程，绝热压缩过程． 气体在等温膨胀过程内能不改变，所吸 收的热量全部转化为对外所做的功，即 2 2 1 1 1 1 1 1 d d V V V V Q A p V RT V V = = = 2 1 1 ln V RT V = = 5.35×103 (J)． 气体在等温压缩过程内能也不改变，所放出 的热量是由外界对系统做功转化来的，即 4 4 3 3 2 2 2 1 d d V V V V Q A p V RT V V = = = 4 2 3 ln V RT V = ， 利用两个绝热过程，可以证明 V4/V3 = V2/V1， 可得 Q2 = 4.01×103 (J)． 气体在整个循环过程中所做的功为 A = Q1 - Q2 = 1.34×103 (J)． 11.12 暂略 11．13 一热机在 1000K 和 300K 的两 热源之间工作，如果 （1）高温热源提高 100K， （2）低温热源降低 100K， 从理论上说，哪一种方案提高的热效率高一 些？为什么？ [解答]（1）热机效率为 η = 1 – T2/T1， 提高高温热源时，效率为
n=1-72/(71+△, Q2=Q=58.17(J) 提高的效率为 空气是低温热源,为了简化计算,取平 均温度为 Δn=1-7 T2=(72+T1)2=292(K); T,+△T 环境是高温热源,温度为 72AT3 T1=313(K) T(T1+△7 欲求制冷机提供的最小机械功,就要将制冷 (2)降低低温热源时,效率为 当作可逆卡诺机,根据卡诺循环中的公式 72=1-(72-△/T1 提高的效率为 1_ -AT An2=12-n= 可得该机向高温热源放出的热量为 717 =△T/T=10%. Q1=Q2=6235(J), 可见:降低低温热源更能提高热机效 率.对于温度之比T2/T,由于T2<T1,显因此制冷机提供的最小机械功为 然,分子减少一个量比分母增加同一量要使 W=Q1-Q2=4.18(J) 比值降得更大,因而效率提得更高 [注意]由于低温热源的温度在变化,所以 向高温热源放出的热量的微元为 11.14使用一制冷机将1mol,l05Pa 的空气从20℃等压冷却至18℃,对制冷机 = 必须提供的最小机械功是多少?设该机向 40℃的环境放热,将空气看作主要由双原 子分子组成 其中dQ2=-dO=+,Rd72,因此 [解答]空气对外所做的功为 1+2 p. dT, pIdl 积分得制冷机向高温热源放出的热量为 =p(2-1)=R(12-T1), 其中T2=291K,T1=293K.空气内能的增 7In=6235(J) 量为 △E=÷R(72-7), 与低温热源取温度的平均值的计算结果相 同(不计小数点后面2位以后的数字) 其中i表示双原子分子的自由度:i=5.空 气吸收的热量为 2003-5-17拟 i+2 O=△E+A R(72-71)=-58.17() 2003-5-29改 负号表示空气放出热量.因此,制冷机从空 气中吸收的热量为
10 η1 = 1 – T2/(T1 + ΔT)， 提高的效率为 2 2 1 1 1 1 T T T T T = − = − + 2 1 1 3 ( ) 110 T T T T T = = + = 2.73%． （2）降低低温热源时，效率为 η2 = 1 – (T2 - ΔT)/T1， 提高的效率为 2 2 2 2 1 1 T T T T T − = − = − = ΔT/T = 10%． 可见：降低低温热源更能提高热机效 率．对于温度之比 T2/T1，由于 T2 < T1，显 然，分子减少一个量比分母增加同一量要使 比值降得更大，因而效率提得更高． 11．14 使用一制冷机将 1mol，105Pa 的空气从 20℃等压冷却至 18℃，对制冷机 必须提供的最小机械功是多少？设该机向 40℃的环境放热，将空气看作主要由双原 子分子组成． [解答]空气对外所做的功为 2 2 1 1 d d V V V V A p V p V = = = p(V2 – V1) = R(T2 – T1)， 其中 T2 = 291K，T1 = 293K．空气内能的增 量为 2 1 ( ) 2 i = − E R T T ， 其中 i 表示双原子分子的自由度：i = 5．空 气吸收的热量为 Q = ΔE + A = 2 1 2 ( ) 2 i R T T + − = -58.17(J)． 负号表示空气放出热量．因此，制冷机从空 气中吸收的热量为 Q2 = -Q = 58.17(J)． 空气是低温热源，为了简化计算，取平 均温度为 T`2 = (T2 + T1)/2 = 292(K)； 环境是高温热源，温度为 T`1 = 313(K)． 欲求制冷机提供的最小机械功，就要将制冷 当作可逆卡诺机，根据卡诺循环中的公式 1 1 2 2 Q T Q T = ， 可得该机向高温热源放出的热量为 ` 1 1 2 ` 2 T Q Q T = = 62.35(J)， 因此制冷机提供的最小机械功为 W = Q1 - Q2 = 4.18(J)． [注意]由于低温热源的温度在变化，所以 向高温热源放出的热量的微元为 ` 1 1 2 ` 2 d d T Q Q T = ， 其中 ` 2 2 2 d d d 2 i Q Q R T + = − = − ，因此 ` ` 2 1 1 ` 2 2 d d 2 i T Q RT T + = − ， 积分得制冷机向高温热源放出的热量为 ` 2 1 1 1 2 ln 2 i T Q RT T + = − = 62.35(J)， 与低温热源取温度的平均值的计算结果相 同（不计小数点后面 2 位以后的数字）． 2003-5-17 拟 2003-5-29 改
