函数, 则称序列(2)为f(x)的一个斯图姆序列 定理(斯图姆定理)设f(x)是一个无重根的实系数多项式,它有一个斯图姆序列(2)。 以W(x)表(2)的变号数函数。设a,b是两个实数,它们不是f(x)的根,且a<b,则f(x) 在区间(a,b)内实根的个数等于W(a)-W(b 证明将斯图姆序列(2)中各个多项式的实根通通收集在一起,并按大小依次排列如 下:a1<a2<…<ak。 因为在区间(∞,a1)、(a12a1)(i=1,2,k-1),(a2,+0)内(2)中任一多项式都无实根, 因而它们在这些区间内都不变号。于是,在这些区间内,W(x)为常数。下面我们只要证明: 1)如果a1不是f(x)的根,则在a1左右两边W(x)的函数值相等 2)如果a1是f(x)的根,则在a1左端W(x)的函数值比a1右端W(x)的函数值大 对每个a,,我们来考察斯图姆序列(2)中如下两种类型的小段 (a)a不是(2)中t个连续多项式 f1(x,f+2(x)…,J+(x)(3) 的根(t≥2),由于实系数多项式为数轴上的连续函数,按连续函数的性质知,在a1的一个 邻域(a-E,a+8)内(3)中每个多项式都不变号,从而在此小邻域内(3)的变号数函数 为常数 (b)a1是(3)中间某个多项式f(x)(0<j<s)的根,考察(3)的小段 f-1(x),J(x),f+1(x)(4) 按斯图姆序列的条件(1)和(ii),此时a不是J1(x)和fm1(x)的根,且f=1(a)fmA(a1)<0 有连续函数的性质知,在a1的一个邻域(a1-E,a+8)内恒有J(x)fm1(x)<0,于是 在此邻域内(4)的变号函数恒等于1,也是常数 现设a不是f(x)的根。这时序列(2)中任意两个相邻多项式f=(x)和/1(x)或属于 类型(3)的小段,或属于类型(4)的小段,又由斯图姆序列的条件(i)知这两类型的小 段无重迭(但左端或右端的多项式可以相同),根据上面(a)、(b)的讨论在每个小段变号 数函数在邻域(a-E,a1+8)内都是常数,(2)的变号数函数为每个小段变号数函数之和 从而在a的邻域(a1-E,a+E)内W(x)为常数,即a1左端与a1右端W(x)的函数值相等 如果a1为f(x)的根。这时序列(2)中仅有f(x),f(x)不属于上述(3)(4)类型,故 只需考察序列∫(x),f(x)的变号数在a左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件(iv), 乘积∫(x)f(x)在a1的某邻域(a1-E,a1+E)内为增函数。我们已知f(a1)f(a)=0,故在a函数， 则称序列（2）为 f x( ) 的一个斯图姆序列。 定理（斯图姆定理）设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。 以 W x( ) 表（2）的变号数函数。设 a b, 是两个实数，它们不是 f x( ) 的根，且 a b  ，则 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内实根的个数等于 W a W b ( ) ( ) − 。 证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如 下： 1 2 k a a a    。 因为在区间 1 1 ( , ),( , )( 1,2,..., 1),( , ) i i k a a a i k a − = − + + 内（2）中任一多项式都无实根， 因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内， W x( ) 为常数。下面我们只要证明： 1） 如果 i a 不是 f x( ) 的根，则在 i a 左右两边 W x( ) 的函数值相等； 2） 如果 i a 是 f x( ) 的根，则在 i a 左端 W x( ) 的函数值比 i a 右端 W x( ) 的函数值大 1。 对每个 i a ，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段： （a） i a 不是（2）中 t 个连续多项式 1 2 ( ), ( ), , ( ) j j j t f x f x f x + + + （3） 的根 ( 2) t  ，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在 i a 的一个 邻域 ( , ) i i a a −  +  内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数 为常数。 （b） i a 是（3）中间某个多项式 ( )(0 ) j f x j s   的根，考察（3）的小段 1 1 ( ), ( ), ( ) j j j f x f x f x − + （4） 按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时 i a 不是 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 的根，且 1 1 ( ) ( ) 0 j i j i f a f a − +  有连续函数的性质知，在 i a 的一个邻域 ( , ) i i a a −  +  内恒有 1 1 ( ) ( ) 0 j j f x f x − +  ，于是 在此邻域内（4）的变号函数恒等于 1，也是常数。 现设 i a 不是 f x( ) 的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 或属于 类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小 段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号 数函数在邻域 ( , ) i i a a −  +  内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和， 从而在 i a 的邻域 ( , ) i i a a −  +  内 W x( ) 为常数，即 i a 左端与 i a 右端 W x( ) 的函数值相等。 如果 i a 为 f x( ) 的根。这时序列（2）中仅有 1 f x f x ( ), ( ) 不属于上述（3）（4）类型，故 只需考察序列 1 f x f x ( ), ( ) 的变号数在 i a 左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv）， 乘积 1 f x f x ( ) ( ) 在 i a 的某邻域 ( , ) i i a a −  +  内为增函数。我们已知 1 ( ) ( ) 0 i i f a f a = ，故在 i a