9.31复系数多项式的根的绝对值的上界 命题设∫(x)=ax"+a1x"+…+an∈C[x],其中a0≠0而n≥1。令 A=max{a1lla2l…an} 则对f(x)的任一复根α,有αk1+A/lao 证明如果A=0,则α=0,命题成立。下面设A>0 如果|a上1+A/|ao|,那么,因为f(α)=0,故有 a∝"Haα"+…+ana1αr+…+|an ≤A(a+…+1)=A(ar--1)/(a|-1) 现在|a">1,故从上式立刻得到 laoa"kAlal/al-1) 两边消去|a",得ak<1+A∥/|a|,矛盾 由该命题,我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为: (1-A/aoL, 1+A/ao D 9.3.2斯图姆定理 名词给定实数序列 将其中等于零的项划掉,对剩下的序列从左至右依次观察,如果相邻两数异号,则成为一个 变号;变号的总数称为该序列的变号数。 又给定实系数多项式的序列 f(x),f2(x)…,fn(x) (1) 对a∈R,实系数序列f(a),f(a),…,fn(a)的变号数称为多项式序列(1)在x=a处的变 号数,记作W(a)。相应地,我们把W(x)称为多项式序列(1)的变号数函数 定义914(斯图姆序列)现设f(x)是一个次数n≥1的无重根的实系数多项式。实 系数多项式序列 f6(x)=f(x),f(x),(x),…,f(x)(2) 如果满足下列条件 (i)相邻两个多项式∫(x),f1(x)(i=0,1,2,…,S-1)没有公共根 (i)最后一个多项式∫(x)没有实根; (ⅲ)如果某个相邻中间多项式∫(x)(l≤i<s)有一个实根α,则 f1(α)f1(a)<0 (iv)如果∝是f(x)的实根,则∫(x)f(x)在x=的一个充分小的邻域内为递增9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界 命题 设 1 0 1 ( ) [ ] C n n n f x a x a x a x − = + + +  ，其中 0 a  0 而 n 1 。令 A a a a = max{| |,| |, ,| |} 1 2 n 则对 f x( ) 的任一复根  ，有 0 | | 1 / | |   + A a 。 证明 如果 A= 0 ，则 = 0 ，命题成立。下面设 A 0 。 如果 0 | | 1 / | |   + A a ，那么，因为 f ( ) 0  = ，故有 1 1 0 1 1 1 1 | | | | | || | | | (| | 1) (| | 1) /(| | 1) n n n n n n n a a a a a A A − − − −  =  + +   + +   + + =  −  − 现在 | | 1 n   ，故从上式立刻得到 0 | | | | /(| | 1) n n a A     − 两边消去 | |n  ，得 0 | | 1 / | |   + A a ，矛盾。 由 该 命 题 ， 我 们 可 以 估 计 一 个 是 系 数 多 项 式 的 实 根 的 分 布 范 围 为 ： 0 0 ( 1 / | |,1 / | |) − − + A a A a 。 9.3.2 斯图姆定理 名词 给定实数序列 1 2 , , , n a a a 将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个 变号；变号的总数称为该序列的变号数。 又给定实系数多项式的序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x （1） 对 aR ，实系数序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f a f a f a 的变号数称为多项式序列（1）在 x a = 处的变 号数，记作 W a( ) 。相应地，我们把 W x( ) 称为多项式序列（1）的变号数函数。 定义 9.14 （斯图姆序列） 现设 f x( ) 是一个次数 n 1 的无重根的实系数多项式。 实 系数多项式序列 0 1 2 ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) s f x f x f x f x f x = （2） 如果满足下列条件： （i）相邻两个多项式 1 ( ), ( )( 0,1,2, , 1) i i f x f x i s + = − 没有公共根； （ii） 最后一个多项式 ( ) s f x 没有实根； （iii） 如 果 某 个 相 邻 中 间 多 项 式 ( )(1 ) i f x i s   有一个实根  ， 则 1 1 ( ) ( ) 0 i i f f − +    ； （iv） 如果  是 f x( ) 的实根，则 1 f x f x ( ) ( ) 在 x = 的一个充分小的邻域内为递增