02+) fp=aH2(0,1)+b({1})+(1,2] 不难算出 F(0,1)=0.4({1})=1,F(1,2])=3 所以」+ fdp=b+3 例3设∑a是一个正项级数对任意121,令f(=a,则∫是自然数集的计数测 度空间(N,P(N,A)上的非负可测函数对每个n21,令fn=∑a,l,则{n}是非负 简单函数列并且处处成立f→∫(n→∞).由积分的定义,我们有 fdk=imfd=lim∑a,以()=lm∑a=∑a 这表明正项级数可以表示成一个积分一般地,若任意项级数∑a1绝对收敛,则∑a1可 以表示成(N,P(N),p)上一个可积函数的积分.其证明留作习题 例4设∫(x)是R上的L可积函数y∈R”.则∫(x+y)是L可积的并且成立 f(x+y)ddx=.f(x)dx 证明由第三章习题第13题的结果,当∫(x)是L可测函数时,f(x+y)是L可测的 下面证明∫(x+y)是L可积的先设∫=∑a14是非负简单函数则 f(x+y)=∑al4(x+y=∑al4-,(x) 由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有 f(x+y)d=∑am(A-y)=∑am(4) Je.f(r)dr 因此当∫是非负简单函数时,结论成立.当∫是非负可测函数时,存在一列非负简单函数 k}使得↑∫.则由积分的定义和上面所证的结果我们有 ∫(x+y)d=!mJ(x+y)hk=lmJ/(x)hk=J厂/(x) 当∫是L可积函数时易知∫(x+y)是L可积的,并且96 (0, ) ((0,1)) ({1}) ((1, 2]). FF F F fd a b µµ µ µ +∞ ∫ = ++ 不难算出 ((0,1)) = 0, ({1}) = 1, ((1,2]) = 3. µ F µ F µ F 所以 (0, ) 3 . F fd bc µ +∞ ∫ = + 例 3 设∑ ∞ i=1 ai 是一个正项级数. 对任意i ≥ 1, 令 ( ) . ai f i = 则 f 是自然数集的计数测 度空间(N,P (N),µ) 上的非负可测函数. 对每个 n ≥ 1, 令 . 1 ∑ { } = = n i n i i f a I 则{ }n f 是非负 简单函数列并且处处成立 f → f (n → ∞). n 由积分的定义, 我们有 1 11 lim lim ({ }) lim . n n n i ii nn n i ii f d fd a i a a µ µµ ∞ →∞ →∞ →∞ = == ∫ ∫ = = == ∑ ∑∑ 这表明正项级数可以表示成一个积分. 一般地, 若任意项级数 ∑ ∞ i=1 ai 绝对收敛, 则 ∑ ∞ i=1 ai 可 以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的积分. 其证明留作习题. 例 4 设 f (x) 是 n R 上的 L 可积函数. y ∈ n R . 则 f (x + y)是 L 可积的并且成立. ( ) () . n ∫ ∫ f x y ddx f x dx + = n R R (2) 证明 由第三章习题第 13 题的结果, 当 f (x) 是 L 可测函数时, f (x + y) 是 L 可测的. 下面证明 f (x + y) 是 L 可积的. 先设 Ai k i i f ∑a I = = 1 是非负简单函数. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 f x y a I x y a I x A y k i A i k i i i i − = = + = ∑ + = ∑ 由积分的定义和 L 测度的平移不变性(§2.3 定理 8), 我们有 1 1 ( ) ( ) ( ) () . n k k ii i i i f x y dx a m A y a m A f x dx = = ∫ ∫ + = −= = ∑ ∑ n R R 因此当 f 是非负简单函数时, 结论成立. 当 f 是非负可测函数时, 存在一列非负简单函数 { }k f 使得 f f . k ↑ 则由积分的定义和上面所证的结果 我们有 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) . n k k k k f x y dx f x y dx f x dx f x dx →∞ →∞ ∫ ∫ ∫∫ += += = n nn R R RR 当 f 是 L 可积函数时,.易知 f (x + y) 是 L 可积的, 并且