武汉大学：《实变函数》课程教学资源（讲义）第四章 积分 §4.1 积分的定义

第四章积分 在引言中我们已经提到, Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算 些几何和物理的量时它是很有用的.但它也存在一些缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力.因此需要建立新的积分的理论二十世纪初, Lebesgue建 立了一种新的积分理论.新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理 论.这就是本章将要介绍的 Lebesgue积分理论 由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论 §41积分的定义 教学目的由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件 本节要点定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负 可测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue积分是其特例 设(X,,)为一测度空间.我们通过三个步骤定义简单函数的积分 L.非负简单函数的积分 定义1设f=∑al4是一非负简单函数定义∫关于测度4的积分为 f=∑aA(A) 在不引起混消的情况下.∫,可简记为m 由定义知道这里d20.一般情况下|和d可能为+∞ 在上述定义中,∫d的值是确定的,即不依赖于∫的表达式的选取.事实上,设 f=∑b1是f的另一表达式注意到X=U4=UB,并且当当4AB,≠D时必 有a1=b,我们有

90 第四章 积 分 在引言中我们已经提到, Riemann 积分在处理连续函数或者逐段连续函数时, 在计算一 些几何和物理的量时它是很有用的. 但它也存在一些缺陷, 使得Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力. 因此需要建立新的积分的理论. 二十世纪初, Lebesgue 建 立了一种新的积分理论. 新的积分理论消除了上述缺陷, 并且包含了原有的Riemann积分理 论. 这就是本章将要介绍的 Lebesgue 积分理论. 由于现代数学的许多分支如概率论, 泛函分析, 群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论, 因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论. §4.1 积分的定义 教学目的 由于理论和应用的需要, 需要建立新的积分理论.本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分, 并简单讨论可积条件. 本节要点 定义积分的过程分三个步骤, 逐步定义非负简单函数, 非负 可测函数和一般可测函数的积分. 其中第一, 二个步骤要验证定义的合理性. 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue 积分是其特例. 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 我们通过三个步骤定义简单函数的积分. I. 非负简单函数的积分 定义 1 设 1 i n i A i f a I = =∑ 是一非负简单函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 X fdµ ∫ = 1 ( ). n i i i a A µ = ∑ 在不引起混淆的情况下, X fdµ ∫ 可简记为 ∫ fdµ . 由定义知道这里 ≥ 0. ∫ fdµ 一般情况下 ∫ fdµ 可能为 + ∞. 在上述定义中, ∫ fdµ 的值是确定的, 即不依赖于 f 的表达式的选取. 事实上, 设 ∑= = m j j Bj f b I 1 是 f 的另一表达式. 注意到 , 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 并且当当 Ai ∩ Bj ≠ ∅ 时必 有 , ai = bj 我们有

∑a,(4)=∑∑a川(A1∩B)=∑∑b(4∩B)=∑b,(B) 这表明的∫值不依赖于的表达式的选取 上面定义的非负简单函数的积分,在 Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义.例 如若∫=∑a,L为b上的非负阶梯函数,其中J…,为[ab]上的互不相交的子 区间,则 =∑am()=∑a 恰好是函数∫的下方图形{(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积(见图4_1)若 ∫=∑a是[ab]上一般的非负简单函数,其中J…J是[a小]上互不相交的L可测 集,则|fdm也可以想象为某个平面图形的面积借助于非负简单函数的几何意义,读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释 f(x O J.J. J.J. b 图41 当然在一般测度空间的情形,积分d无几何意义可言.但仍可以看成是一种加权 和,而 4()J则可以看成是∫在x上的一种平均值 例1设A是一可测集,则A的特征函数是非负简单函数.因此

91 ∑ ∑∑ = == = ∩ n i n i m j i i i Ai Bj a A a 1 11 µ( ) µ( ) ∑∑= = = ∩ m j n i i Ai Bj b 1 1 µ( ) ( ). 1 j m j ∑bj B = = µ 这表明的 ∫ fdµ 值不依赖于 f 的表达式的选取. 上面定义的非负简单函数的积分, 在 Lebesgue 测度空间的情形有明显的几何意义. 例 如, 若 i J n i i f ∑a I = = 1 为[a,b]上的非负阶梯函数, 其中 1, , n J J " 为[a,b]上的互不相交的子 区间, 则 [,] 1 1 ( ) n n i i ii a b i i fdm a m J a J = = ∫ = = ∑ ∑ 恰好是函数 f 的下方图形 {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} 的面积 ( 见 图 4—1). 若 i J n i i f ∑a I = = 1 是[a,b]上一般的非负简单函数, 其中 n J ,"J 1 是[a,b]上互不相交的 L 可测 集, 则 [,] a b ∫ fdm 也可以想象为某个平面图形的面积. 借助于非负简单函数的几何意义, 读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释. 图 4—1 当然在一般测度空间的情形, 积分 ∫ fdµ 无几何意义可言. 但仍可以看成是一种加权 和, 而 ∫ µ µ fd (X ) 1 则可以看成是 f 在 X 上的一种平均值. 例 1 设 A 是一可测集, 则 A 的特征函数 A I 是非负简单函数. 因此 x y O a5 1 a 2 a a3 4 a 2 J 3 J 1 J 5 J 4 J f (x) a b

1x=1(4)=(4) 这个简单事实以后会经常用到 为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质 定理2设∫,g是非负简单函数.则 ()je和d=c,(c20是实数) (i). U+g)du= sau+ gdu (i).若∫≤g (ⅳv)若g,Jn(n≥1)是非负简单函数,满足fn≤fnt(n≥1),并且 imf(x)28(x)处处成立,则imJf,d28d 证明(i)是显然的.(i).设 b 不妨设X=U4=∪B,则f,g可以写成 ∫=∑∑a14,8=∑∑b4 故不妨设∫=∑alEg=∑blE于是 (+g)du b)(E,)=∑a(E,)+∑b(E,)=+ i)不妨设f=∑a,l4,g=∑bl4由于∫≤gae,因此对任意i=1,…,n 当(A4)>0时,a1≤b,所以 ∫=2(4)=2h(4)=「 (iv)由于{/m}是单调增加的由(i)知道」fnd是单调增加的故极限 lim fnd存 在设g=∑bl4又设E是任意给定的,满足0<E<1.对每个=1…k和自然数

92 ∫ I d = 1⋅ (A) = (A). A µ µ µ 这个简单事实以后会经常用到. 为进一步定义可测函数的积分, 我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质. 定理 2 设 f , g 是非负简单函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . (iv). 若 g, f (n ≥ 1) n 是非负简单函数 , 满 足 ( 1) f n ≤ f n+1 n ≥ , 并 且 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ 处处成立, 则 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 证明 (i).是显然的. (ii).设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = m j j Bj g b I 不妨设 . 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 则 f , g 可以写成 , 1 1 ∑∑= = = ∩ n i m j i Ai Bj f a I . 1 1 ∑∑= = = ∩ m j n i j Ai Bj g b I 故不妨设 ∑= = n i i Ei f a I 1 ∑= = n i i Ei g b I 1 于是 ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ + = + = + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. 1 1 1 f g dµ a b µ E a µ E b µ E fdµ gdµ n i i i n i i i n i i i i (iii). 不妨设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = n i i Ai g b I 由于 f ≤ g a.e. , 因此对任意 i = 1,",n, 当 µ(Ai) > 0时, , ai ≤ bi 所以 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = ≤ = n i i i n i fd ai Ai b A gd (iv).由于{ }n f 是单调增加的,由 (iii) 知道 ∫ f n dµ 是单调增加的,故极限 ∫ →∞ f n dµ n lim 存 在.设 . 1 ∑= = k i i Ai g b I 又设 ε 是任意给定的, 满足 0 < ε < 1 . 对每个 i = 1,", k 和自然数

n≥1,令 An={x∈A1:f(x)≥(1-E)b} 则对每个i=1…,k,{4n}腔≥是单调增加的可测集列并且由于lmf(x)≥g(x),我们有 A=∪An对每个自然数n≥1,令 则{8n}是非负简单函数列满足gn≤fn,n≥1.由(ii)和测度的下连续性,我们得到 imJ,2mng4=lm∑(-(A,) ∑(1-(A)=(1-a) 由于E是任意的,我们得到imJf42gd4 引理3设∫是一非负可测函数{Jfn}是一非负简单函数列并且厂n个∫.则有 imJ,4=spsg∈S,并且gs∫ (其中S*表示非负简单函数的全体) 证明显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边反过来,设g是非负简 函数并且g≤由于im=f2g由定理2,必有mn∫,428d因此 imJd2p!sdg∈S:,并且gsf 所以(1)成立■ I.非负可测函数积分 定义4设∫是一非负可测函数定义∫关于测度的积分为 ∫=m∫f 其中{n}是非负简单函数列并且厂n个∫ 由31定理9上述的/是存在的又有引理3∫的值不依赖于/}的选取因此 ∫的定义是确定的而且我们也可以用()式的右边作为的定义这两种定义式等 价的

93 n ≥ 1, 令 { : ( ) (1 ) }. i,n i n i A = x ∈ A f x ≥ − ε b 则对每个i = 1,", k, , 1 { } Ai n n≥ 是单调增加的可测集列,并且由于 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ , 我们有 . 1 ∪ , ∞ = = n Ai Ai n 对每个自然数 n ≥ 1, 令 (1 ) . , 1 Ai n i k i n g ∑ b I = = − ε 则{ } gn 是非负简单函数列满足 g ≤ f ,n ≥ 1. n n .由(iii) 和测度的下连续性, 我们得到 (1 ) ( ) (1 ) .. lim lim lim (1 ) ( ) 1 , 1 ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ = − = − ≥ = − = = →∞ →∞ →∞ ε µ ε µ µ µ ε µ b A gd f d g d b A i i k i i i n k i n n n n n 由于ε 是任意的, 我们得到 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .■ 引理 3 设 f 是一非负可测函数,{ }n f 是一非负简单函数列并且 f f . n ↑ 则有 lim sup{ : , }. ∫ ∫ = ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 (1) (其中 + S 表示非负简单函数的全体). 证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设 g 是非负简单 函数并且 g ≤ f . 由于 lim f f g, n n = ≥ →∞ 由定理 2, 必有 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .因此 lim sup{ : , }. ∫ ∫ ≥ ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 所以(1)成立.■ II. 非负可测函数积分 定义 4 设 f 是一非负可测函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ →∞ fdµ = lim f dµ. n n 其中{ }n f 是非负简单函数列并且 f f . n ↑ 由§3.1定理9, 上述的{ }n f 是存在的.又有引理3,∫ fdµ 的值不依赖于{ }n f 的选取.因此 ∫ fdµ 的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为 ∫ fdµ 的定义. 这两种定义式等 价的

定理5设∫,g是非负可测函数.则 ()cf=c「,(c≥0是实数 (ii).(+g)du=l fdu+ gdu i)若∫sgae,则∫」gd 证明()和(i)是显然的.下面证明(i).设{fn}和{gn}是非负简单函数列使得 fn↑∫,8n↑g.由于∫≤gae.,我们可适当选取{fn}和{gn}使得 fn≤gn,a.e,n≥1.于是由定理2(i),我们有 ∫=lmnJ4slim」g,d-sd 故(i)成立■ I.一般可测函数的积分 定义6设∫是一可测函数,广和厂分别是∫的正部和负部若∫广d和Jd 至少有一个是有限的,则称∫的积分存在,并定义∫关于测度的积分为 ∫=∫d丁f 当∫d和d都是有限值时,称∫是可积的设EcX是一可测集厂是定义在E 上的可测函数.若fg的积分存在(或可积),则称∫在E上的积分存在(相应地,可积)并定 义∫在E上的积分为 fd du= fedu 测度空间(X,分,以)上的可积函数的全体记为L(X,,4)或者简记为L() 注注意∫的积分存在与∫可积之间的区别.当∫的积分存在的时候,其积分值可能 是有限的,也可能为土∞.只有当∫可积的时候,其积分值才是有限的另外非负可测函数 的积分总是存在的,但积分值可能为+∞.之所以允许积分值为±∞,是因为这样处理有时 会带来一些方便.例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些 当测度空间(X,,4)取为 Lebesgue测度空间(R",M(R"),m)时相应的积分称为 Lebesgue积分.∫在L可测集E上的L积分记为」Jd.设EcR是L可测集,E上的 L可积函数的全体记为L(E).又设F是一单调增加的右连续函数,pF是由F导出的

94 定理 5 设 f , g 是非负可测函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii). 若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . 证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 下面证明 (iii) . 设{ }n f 和{ } gn 是非负简单函数列使得 f f , n ↑ g g. n ↑ 由 于 f ≤ g a.e. , 我们可适当选取 { }n f 和 { } gn 使 得 f ≤ g , a.e., n ≥ 1. n n 于是由定理 2 (iii), 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ = →∞ fdµ lim f dµ lim g dµ gdµ. n n n n 故(iii) 成立.■ III. 一般可测函数的积分 定义 6 设 f 是一可测函数, + f 和 − f 分别是 f 的正部和负部.若 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 至少有一个是有限的, 则称 f 的积分存在, 并定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ ∫ + − fdµ = f dµ − f dµ. 当 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 都是有限值时, 称 f 是可积的.设 E ⊂ X 是一可测集, f 是定义在 E 上的可测函数. 若 E fI 的积分存在(或可积), 则称 f 在 E 上的积分存在(相应地,可积). 并定 义 f 在 E 上的积分为 E ∫ fdµ = E fI dµ ∫ . 测度空间(X , F ,µ) 上的可积函数的全体记为 L(X , F ,µ) 或者简记为 L(µ). 注 注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值可能 是有限的, 也可能为 ± ∞. 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另外非负可测函数 的积分总是存在的, 但积分值可能为 + ∞. 之所以允许积分值为 ± ∞, 是因为这样处理有时 会带来一些方便. 例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些. 当测度空间(X , F ,µ) 取为 Lebesgue 测度空间( , ( ), m) n n R M R 时,相应的积分称为 Lebesgue 积分. f 在 L 可测集 E 上的 L 积分记为 . E f dx ∫ 设 E ⊂ n R 是 L 可测集, E 上的 L 可积函数的全体记为 L(E). 又设 F 是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F 导出的

Lebesgue-Stieltjes测度,则称测度空间(R,',)上的积分为关于F的 Lebesgue- Stieltjes积分,定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象 Lebesgue积分. 以后 Lebesgue积分简称为L积分, Lebesgue- Stieltjes积分简称为LS积分. 个自然的问题是,Rn上的 Lebesgue积分与我们熟悉的 Riemann积分有什么联系和区 别?在§44中我们将详细考察 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系这里只考虑一个简单的 例子.设D(x)是区间[O,1上的 Dirichlet函数即D(x)=lo(x),其中Q。表示[O,1中的 有理数的全体.则由例1知道 Dd loo dx=m(2o)=0 即D(x)在[0,1上是 Lebesgue可积的并且积分值为零.但我们知道D(x)在[0,1]上不是 Riemann可积的 关于积分的性质在后面几节将系统讨论下面只给出关于函数可积性的几个结果 定理7设∫,g是可测函数 ()若g可积并且∫≤gae.或者∫≥gae.,则∫的积分存在 (i)若g可积,并且团八≤gae,则∫可积 (i)若(x)<+,(≤M<+ae,则f可积、即有界测度空间上的有界可测 函数必可积 证明()设∫sgae.则广≤g'ae.由于g可积因此g'd<+∞于是由 定理5(i)得到 ∫/ds∫g'd<+a 因此∫的积分存在类似可以证明若∫≥gae,则∫的积分存在 (1)若/sgae,则∫gae并且f≤gae.由于g可积,因此∫sd和 ∫gd都是有限的由定理5()知道广如和广d都是有限值的因此∫可积 (i).若(X)<+0,则常数函数g=M可积.由(i)即知∫可积■ 0若x<1 例2设F(x)= 又设f(x)=al=+blm+clu2其中a,b,c≥0 计算LS积分 fa (0,+∞ 解注意到(0+4)=alo+bl+c(121是非负简单函数.由积分的定义得到

95 Lebesgue-Stieltjes 测 度 . 则称测度空间 ( , , ) 1 µ F ∗ R R 上的积分为关于 F 的 Lebesgue-Stieltjes积分, 定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象Lebesgue积分. 以后 Lebesgue 积分简称为 L 积分, Lebesgue-Stieltjes 积分简称为 L-S 积分. 一个自然的问题是, n R 上的Lebesgue积分与我们熟悉的Riemann积分有什么联系和区 别? 在§4.4 中我们将详细考察 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系.这里只考虑一个简单的 例子. 设 D(x) 是区间[0, 1]上的 Dirichlet 函数. 即 ( ) ( ), 0 D x I x = Q 其中Q0 表示[0, 1]中的 有理数的全体. 则由例 1 知道 0 0 [0,1] [0,1] ( ) 0. ∫ ∫ Ddx I dx m = == Q Q 即 D(x) 在[0, 1]上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零. 但我们知道 D(x) 在[0, 1]上不是 Riemann 可积的. 关于积分的性质,在后面几节将系统讨论.下面只给出关于函数可积性的几个结果. 定理 7 设 f , g 是可测函数. (i).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e.或者 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e., 则 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, f ≤ M < +∞ a.e., 则 f 可积. 即有界测度空间上的有界可测 函数必可积. 证明 (i).设 f ≤ g a.e. 则 a.e. + + f ≤ g . 由于 g 可积, 因此 . ∫ < +∞ + g dµ 于是由 定理 5 (iii) 得到 . ∫ ∫ ≤ < +∞ + + f dµ g dµ 因此 f 的积分存在. 类似可以证明若 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii). 若 f ≤ g a.e., 则 f ≤ g a.e. + 并且 f ≤ g a.e. − 由于 g 可积, 因此 ∫ + g dµ 和 ∫ − g dµ 都是有限的.由定理 5 (iii) 知道 ∫ + f dµ 和 ∫ − f dµ 都是有限值的. 因此 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, 则常数函数 g = M 可积. 由(ii) 即知 f 可积.■ 例 2 设    ≥ < = 1. 0 1 ( ) 2 x x x F x 若 若 又设 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 其中 a,b,c ≥ 0. 计算 L-S 积分 (0, ) . F fdµ ∫ +∞ 解 注意到 (0, ) (0,1) {1} (1,2] fI = aI + bI + cI +∞ 是非负简单函数. 由积分的定义得到

02+) fp=aH2(0,1)+b({1})+(1,2] 不难算出 F(0,1)=0.4({1})=1,F(1,2])=3 所以」+ fdp=b+3 例3设∑a是一个正项级数对任意121,令f(=a,则∫是自然数集的计数测 度空间(N,P(N,A)上的非负可测函数对每个n21,令fn=∑a,l,则{n}是非负 简单函数列并且处处成立f→∫(n→∞).由积分的定义,我们有 fdk=imfd=lim∑a,以()=lm∑a=∑a 这表明正项级数可以表示成一个积分一般地,若任意项级数∑a1绝对收敛,则∑a1可 以表示成(N,P(N),p)上一个可积函数的积分.其证明留作习题 例4设∫(x)是R上的L可积函数y∈R”.则∫(x+y)是L可积的并且成立 f(x+y)ddx=.f(x)dx 证明由第三章习题第13题的结果,当∫(x)是L可测函数时,f(x+y)是L可测的 下面证明∫(x+y)是L可积的先设∫=∑a14是非负简单函数则 f(x+y)=∑al4(x+y=∑al4-,(x) 由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有 f(x+y)d=∑am(A-y)=∑am(4) Je.f(r)dr 因此当∫是非负简单函数时,结论成立.当∫是非负可测函数时,存在一列非负简单函数 k}使得↑∫.则由积分的定义和上面所证的结果我们有 ∫(x+y)d=!mJ(x+y)hk=lmJ/(x)hk=J厂/(x) 当∫是L可积函数时易知∫(x+y)是L可积的,并且

96 (0, ) ((0,1)) ({1}) ((1, 2]). FF F F fd a b µµ µ µ +∞ ∫ = ++ 不难算出 ((0,1)) = 0, ({1}) = 1, ((1,2]) = 3. µ F µ F µ F 所以 (0, ) 3 . F fd bc µ +∞ ∫ = + 例 3 设∑ ∞ i=1 ai 是一个正项级数. 对任意i ≥ 1, 令 ( ) . ai f i = 则 f 是自然数集的计数测 度空间(N,P (N),µ) 上的非负可测函数. 对每个 n ≥ 1, 令 . 1 ∑ { } = = n i n i i f a I 则{ }n f 是非负 简单函数列并且处处成立 f → f (n → ∞). n 由积分的定义, 我们有 1 11 lim lim ({ }) lim . n n n i ii nn n i ii f d fd a i a a µ µµ ∞ →∞ →∞ →∞ = == ∫ ∫ = = == ∑ ∑∑ 这表明正项级数可以表示成一个积分. 一般地, 若任意项级数 ∑ ∞ i=1 ai 绝对收敛, 则 ∑ ∞ i=1 ai 可 以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的积分. 其证明留作习题. 例 4 设 f (x) 是 n R 上的 L 可积函数. y ∈ n R . 则 f (x + y)是 L 可积的并且成立. ( ) () . n ∫ ∫ f x y ddx f x dx + = n R R (2) 证明 由第三章习题第 13 题的结果, 当 f (x) 是 L 可测函数时, f (x + y) 是 L 可测的. 下面证明 f (x + y) 是 L 可积的. 先设 Ai k i i f ∑a I = = 1 是非负简单函数. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 f x y a I x y a I x A y k i A i k i i i i − = = + = ∑ + = ∑ 由积分的定义和 L 测度的平移不变性(§2.3 定理 8), 我们有 1 1 ( ) ( ) ( ) () . n k k ii i i i f x y dx a m A y a m A f x dx = = ∫ ∫ + = −= = ∑ ∑ n R R 因此当 f 是非负简单函数时, 结论成立. 当 f 是非负可测函数时, 存在一列非负简单函数 { }k f 使得 f f . k ↑ 则由积分的定义和上面所证的结果 我们有 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) . n k k k k f x y dx f x y dx f x dx f x dx →∞ →∞ ∫ ∫ ∫∫ += += = n nn R R RR 当 f 是 L 可积函数时,.易知 f (x + y) 是 L 可积的, 并且

f(x+y)dx=Lf(x+y)dx-f(x+y)dx 厂r(x)hk-J(h f()a 因此对任意L可积函数f(x),(2)式成立■ 例4的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法.设我们要证明某一命题对所 有的可积函数都成立.若一开始就对一般可积函数证明比较困难时,可以先对可测集的特 征函数或者非负简单函数证明.然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明.最后再对 一般的可积函数证明命题成立 小结本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分. Lebesgue积分和 Lebesgue-Stieljes积分都是其特例. Lebesgue积分有明显的几何意义本节还简单讨论可积条 件.例3表明,在抽象测度空间上积分的框架下,可以把无穷级数与积分统一起来.例4 证明方法是证明积分性质时常用的一种方法,应引起注意. 习题习题四,第1题一第4题

97 () () () nn n f x y dx f x y dx f x y dx + − ∫∫ ∫ += +− + RR R () () () . f x dx f x dx f x dx + − = − = ∫ ∫ ∫ n n n R R R 因此对任意 L 可积函数 f (x), (2)式成立.■ 例 4 的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法. 设我们要证明某一命题对所 有的可积函数都成立. 若一开始就对一般可积函数证明比较困难时, 可以先对可测集的特 征函数或者非负简单函数证明. 然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明. 最后再对 一般的可积函数证明命题成立. 小 结 本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分 . Lebesgue 积分和 Lebesgue-Stieljes 积分都是其特例. Lebesgue 积分有明显的几何意义.本节还简单讨论可积条 件. 例 3 表明, 在抽象测度空间上积分的框架下, 可以把无穷级数与积分统一起来. 例 4 的 证明方法是证明积分性质时常用的一种方法, 应引起注意. 习 题 习题四, 第 1 题—第 4 题