§22外测度与测度的延拓 教学目的本节讨论如何将环上的测度延拓到生成的G-代数上 去.这是定义测度常用的方法.下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue测 度 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难.应注意 讲清主要思路,定理的证明应注意交代主要思想 一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非 易事.设?是一个环,σ()是由生成的σ-代数.一般情况下,σ()要比大得多 显然,在上定义一个测度要比直接在σ()定义容易.因此,如果我们要在G()定义 个满足某些特定条件的测度,我们可以先在上定义这个测度,然后再设法延拓到 σ(R)上去.本节将证明,若μ是定义在环R上的测度,则总可以延拓到一个包含 σ()的σ-代数上去.利用测度的延拓定理,许多重要的测度可以用这种方法构造出来 本节仍设X是一固定的非空集,(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,A∈X.若{An}是C中的有限或无穷序列,使得 Ac∪A(或A∈∪A)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以写成可数并 (只要令A,=A4(n>k)则UA2=UA)因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 设H是环上的测度.对每个AX,令 4)=inf2(A):{An}是A的覆盖 若A无覆盖,则令'(A)=+∞.这样定义的4是定义在(X)上的非负值集函数.称 为由4导出的外测度 定理1设H是环上的测度.4为由4导出的外测度则'满足 (i).4'(②)=0. (i)单调性:若ACB,则*(A)≤(B)
43 §2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意 讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 一般说来, 要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非 易事. 设R 是一个环, σ (R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ (R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直接在σ (R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ (R ) 定义 一个满足某些特定条件的测度, 我们可以先在 R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到 σ (R ) 上去. 本节将证明, 若 µ 是定义在环 R 上的测度, 则 µ 总可以延拓到一个包含 σ (R ) 的σ -代数上去. 利用测度的延拓定理, 许多重要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X ) 是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 ∪ k n A An =1 ⊂ (或 ∪ ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并 (只要令 A A (n k), n = k > 则∪ ∪ ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设 µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ
(i.次可数可加性:对x中的任意一列集{An}成立 (U4)≤∑A(An) (1) 证明由于{∞}是空集的一个覆盖,故'()≤()=0.因此r()=0 设AcB,则B的每个覆盖也是A的R覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明具 有次可数可加性.设{An}是X的一列子集不妨设'(An)0.由'的定义,对每个n21,存在A的一个覆盖Cnkk,使得 ∑(Cn)≤(4)+5 由于{Cnk,n,k≥1是UA,的一个R覆盖,由(2)得到 (U4)≤∑∑(Cn)≤∑(4)+5)=∑(,)+E 由于6>0是任意的,因此得到r(U4)≤∑(A4)即具有次可数可加性■ 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但H'的定义域太 大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ一代数.将μ'限制在这个σ一代数上, '满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比的定义域R要大, 于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环R上的测度,'是由导出的外测度,又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)=(A∩E)+'(A∩E (3) (图2-1)则称E是可测集可测集的全体所成的集类记为R A∩E
44 (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ ∪ ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集 ∅ 的一个 R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具 有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个R 覆盖{ } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是∪ ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k ∪An C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ ∪An µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性.■ 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域太 大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ−代数 . 将 ∗ µ 限制在这个σ−代数 上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ−代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环 R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2—1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R A E C A∩ E A∩ E
图2—1 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件)由于外测度’具有次可数可加性, 因此对任意AcX成立 '(A4)='(A∩E)∪(A∩E)≤'(A∩E)+'(A∩E) 所以(3)式等价于 (A)≥4'(AnE)+'(A∩E) 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立又由于当'(A)=+∞时(4)总 是成立的,因此若对任意AcX,当(A)<+∞时(4)式成立,则E是可测的 显然,空集和全空间X是4-可测集.又由的单调性和(4)可以看出若 (E)=0,则E是-可测集 思考题证明:集E是μ可测集当且仅当对任意AcE和BcE成立 (A∪B)=4'(A)+'(B) 引理3设E1,…,En是互不相交的可测集则对任意ACX,成立 (An(E,)=∑A(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立因为E1…,En 是互不相交的.所以 A(UE)∩EA=A∩E (UE)∩E=A(UE 于是由E1的可测性和归纳法假设,我们有 A UE=F NEK+++uAnUE ER+ u' (An ER+)+F AnlUE =∑'(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立■ 定理4设是环上的测度,是由导出的外测度.是-可测集的全体所 成的集类则有 (1).是σ-代数 (i).限制在是上是一个测度
45 图 2—1 等式(3)称为 Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 所以(3)式等价于 ( ) ( ) ( ). c A ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X , (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4)总 是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X, 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集 ∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 思考题 证明:集 E 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意 A ⊂ E 和 C B ⊂ E 成立 (A B) (A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ + µ 引理 3 设 E En , , 1 " 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A∩ Ei = ∑ A ∩ E = ∗ = ∗ µ ∪ µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 " 是互不相交的. 所以 ( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪ k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1 的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 () . ( ). kk k c i ik ik ii i k k i i k i i A E A EE A EE AE A E A E µµ µ µ µ µ ++ + ∗∗ ∗ + + == = ∗ ∗ + = + ∗ = ∩ = ∩ ∩ ++ ∩ ∩ =∩+∩ = ∩ ∑ ∪∪ ∪ ∪ 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意 n 成立.■ 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所 成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度
证明(i)先证明是一个代数.由于空集必和全空间X是μ'可测集故”非空 由可测集的定义立即可以看出若E是-可测的,则E也是山-可测的,因此R”对 余运算封闭.往证”对有限并的封闭性,设E1,E2∈”.令E=E1∪E2,注意到 E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 p'(AnE)+(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+p(A∩E∩E2) F(An ED+LA((AnEONE)+A((An ES)nE2] =1(AnE1)+p'(A∩E)=(A) A∩EC=A∩E∩E2 AOe E∩E2 E2 图 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式这表明E=E1∪E2∈,因此是一个代数 为证是一个σ-代数,只需再证明咒”对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20题)设{En}∈R,并且E,∩E,=(i≠令E=UE,由于”是代数,故 UE,∈,n≥1.利用引理223,对任意ACX,我们有 (4)=|4UE|+|4(UE ≥川14UE+(AnE) ∑(A∩E,)+'(A∩E
46 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因此 ∗ R 对 余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 1 12 12 1 12 12 1 1 ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ (( ) ) (( ) )] ( ) ( ) () c c cc c cc c AE AE AE AE E AE E AE AE E AE E AE AE A µ µ µµ µ µµ µ µµ µ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∩+ ∩ ≤ ∩ + ∩∩ + ∩∩ = ∩+ ∩ ∩+ ∩ ∩ = ∩+ ∩ = 图 2—2 (参见图 2—2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 ∪ ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = ∪ n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ ∪ ∪ ∪ (6) A E1 E2 1 2 C CC A∩ =∩ ∩ E AE E A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩
(6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 A)≥∑(AE)+(AE)≥'(A∩E)+'(A∩E) 上式表明E满足卡氏条件4试因此E=UEn∈R,这就证明了是a代数 (i)为证4是上的测度,只需证明在R”上是可数可加的设{En}cR”,并 且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E)另 方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E1)=(UE)≤(U∪E) 上式中令n→∞,得到 (E)≤(UE) 因此 (UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论()和(i)并不依赖于环上的测度p 只用到了定理1中'所满足的性质.因此,我们可以定义任何满足定理1中的(1),(i)和 (i)的集函数A为外测度,然后和定义2一样定义’可测集则定理4的结论对这样定义 的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个σ代数,限制在求上是一个测度.一个自 然的问题是,在上是否等于4?”有多大?下面的定理回答了这两个问题 定理5设是环上的测度,是由导出的外测度.R”是-可测集的全体 所成的集类.则 (i).p在上的限制等于4,即当A∈只时'(A)=p(A (i).a()∈ 证明(1)设A∈,由于{4是A的一个覆盖,故'(A)≤山(A).另一方面,对 A的任意一个覆盖{An},由于A=U(A∩A),我们有
47 (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令 n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = ∪ n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并 且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ ∪Ei µ E 另一 方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 ∪ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ ∪Ei µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度.■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的(i),(ii) 和 (iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结论对这样定义 的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个自 然的问题是, 在R 上 ∗ µ 是否等于 µ ? ∗ R 有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理 5 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 µ∗ −可测集 的全体 所成的集类. 则 (i). ∗ µ 在R 上的限制等于 µ , 即当 A∈ R 时 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). σ (R ) ⊂ ∗ R . 证明 (i) 设 A∈ R, 由于{A}是 A 的一个R 覆盖, 故 µ (A) ≤ µ(A). ∗ 另一方面, 对 A 的任意一个R 覆盖{ }, An 由于 ∪ ∞ = = ∩ 1 ( ), n A A An 我们有
(A) A∩An)≤∑山A∩A2)≤ u(A,) 对A的所有覆盖取下确界即得(A)≤'(A).因此(A)=(A (i)先证明RcR.设E∈R.又设AcX,并且山'(A)0 存在A的一个覆盖{An},使得 (An)0的任意性得到 (A∩E)+(A∩E)≤'(A) 即E满足卡氏条件(4),故E是'可测集.这表明c”由定理4,是一个a-代数 因此a(R)∈R”■ 设和咒是两个环并且c咒,和2分别是和上的测度.如果对任意 A∈,成立H1(A4)=2(A),则称2是在上的延拓 设是环R上的测度,是由导出的外测度由定理4,限制在宋”上是一个 测度.又由定理5,()c”并且在上'=.因此上的测度是4的延拓 延拓后的测度仍记为.这表明定义在上的测度总可以延拓为一个包含()的σ-代 数上去.一般情况下,延拓测度可能不是唯一的.但我们有如下结果 定理6(延拓测度的唯一性)设是一个环,并且全空间X可表为中一列互不相交 的集的并,1和2是()上的两个测度并且在上是σ有限的.若在上1={2 则在G()上41=H2 证明由于全空间X可表为中一列互不相交的集的并,并且在上是有限的
48 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 n n n n n A A An ∑ A A ∑ A ∞ = ∞ = ∞ = ≤ ∩ ≤ µ = µ ∪ ∩ µ µ 对 A 的所有R 覆盖取下确界即得 (A) (A). ∗ µ ≤ µ 因此 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). 先证明R ⊂ ∗ R . 设 E∈R. 又设 A ⊂ X , 并且 ( ) 0 , 存在 A 的一个R 覆盖{ }, An 使得 ( ) ( ) . 1 µ 0的任意性得到 (A E) (A E ) (A). ∗ c ∗ µ ∩ + µ ∩ ≤ µ 即 E 满足卡氏条件(4), 故 E 是 ∗ µ 可测集. 这表明R ⊂ ∗ R . 由定理 4, ∗ R 是一个σ -代数. 因此σ (R ) ⊂ ∗ R .■ 设R1和R2 是两个环并且R1 ⊂ R2 , µ1和 µ 2 分别是R1和R2 上的测度. 如果对任意 A∈ R1 , 成立 ( ) ( ), µ1 A = µ 2 A 则称 µ 2 是 µ1在R2 上的延拓. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 由定理 4, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个 测度. 又由定理 5, σ (R ) ⊂ ∗ R 并且在R 上 µ = µ. ∗ 因此 ∗ R 上的测度 ∗ µ 是 µ 的延拓. 延拓后的测度仍记为 µ . 这表明定义在R 上的测度总可以延拓为一个包含σ (R ) 的σ -代 数上去. 一般情况下, 延拓测度可能不是唯一的. 但我们有如下结果. 定理 6 (延拓测度的唯一性)设R 是一个环, 并且全空间 X 可表为R 中一列互不相交 的集的并, µ1和 µ 2 是σ (R ) 上的两个测度并且在 R 上是σ 有限的. 若在 R 上 , µ1 = µ 2 则在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 证明 由于全空间 X 可表为R 中一列互不相交的集的并, 并且 µ 在R 上是σ 有限的
容易证明存在中一列互不相交的集{En},使得 X=UEn并且H(En)<+∞0,n21 (见本章习题第11题)对每个n≥1,令 n={A∈(R):H1(A∩En)=2(A∩En)} 若A∈,则A∩En∈,于是由假设条件有 H1(A∩En)=42(A∩En) 因此A∈n,这表明R∈兀容易证明是一个类.由§1.3推论12,a()cn 即对每个A∈()成立 1(A∩En)=H2(A∩En),n≥1. 对n求和,即得H1(A)=2(4).因此在a()上1=2.画 结合定理5和定理6知道,若是环R上的σ有限测度,则可以唯一地延拓成为 a(R)上的测度(事实上,可以延拓成为更大的σ-代数即R”上的测度)测度的延拓过程如 图2—3 环R上的扩大(X)上的缩小e上的缩小/(?)上的 测度H 外测度4 测度A 测度 图2-3 半环上的测度及延拓上面讨论了定义在环上的测度的延拓.但有时验证环上的一个 集函数是一个测度也并非易事.下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度 设C是一个半环,=界(C)是由C生成的环,即 ={4=∪4:其中A1…,4属于C并且互不相交,k≥1} (参见13)称A=UA为A的一个分解式又设H是C上的非负值集函数并且满足 ()=0和有限可加性.按下面的方式将延拓到上.对每个A∈,若A的一个分 解式为A=A,则令
49 容易证明存在R 中一列互不相交的集{ } En , 使得 ∪ ∞ = = n 1 X En 并且 (E ) < +∞, n ≥ 1. µ n (见本章习题第 11 题). 对每个 n ≥ 1, 令 { ( ) : ( ) ( )}. Fn = A∈σ R µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 若 A∈ R, 则 A ∩ En ∈ R, 于是由假设条件有 ( ) ( ). µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 因此 A∈ . Fn 这表明R ⊂ . Fn 容易证明Fn 是一个 λ 类. 由§1.3 推论 12, σ (R ) ⊂ . Fn 即对每个 A∈ σ (R ) 成立 ( ) ( ), 1. µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En n ≥ 对n 求和, 即得 ( ) ( ). µ1 A = µ 2 A 因此在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 ■ 结合定理 5 和定理 6 知道, 若 µ 是环R 上的σ 有限测度, 则 µ 可以唯一地延拓成为 σ (R ) 上的测度(事实上, 可以延拓成为更大的σ -代数即 ∗ R 上的测度). 测度的延拓过程如 图 2—3. 图 2—3 半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓. 但有时验证环上的一个 集函数是一个测度也并非易事. 下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度. 设C 是一个半环, R = R (C ) 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A A A A k k k i R ∪ i 其中 " 属于C 并且互不相交 (参见§1.3). 称 ∪ k i A Ai =1 = 为 A 的一个分解式. 又设 µ 是C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 按下面的方式将 µ 延拓到R 上. 对每个 A∈ R , 若 A 的一个分 解式为 ∪ k i A Ai =1 = , 则令 环 上的 R 测度 µ → 扩大 → → P (X )上的 外测度 ∗ µ 缩小 ∗ R 上的 测度 ∗ µ σ (R ) 上的 测度 ∗ µ 缩小
(A)=∑u(1) 由于对给定的A∈R,A的分解式A=U4不是唯一的因此需要证明如下的引理 引理7设是半环C上的非负值集函数并且满足()=0和有限可加性则由(8)式 定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取 证明设A∈R,A=∪A和A=UB是A的两个分解式令 E=A∩B,i=1…,k,j=1 则{E,1≤i≤k,1sj≤m是C中的一组互不相交的集.并且对每个1≤i≤k和 ≤j≤m,成 B=UE 由于p在C上是有限可加的,我们有 (4)=∑∑(E)=∑∑(E)=∑(B) i=l j=l 这表明(A)的值不依赖于A的分解式的选取■ 在§2.1中我们定义了环上的测度,同样,若4是半环C上的非负值集函数满足 ()=0和可数可加性,则我们称4是C上的测度 定理8设H是半环C上的测度.是由C生成的环.则由(8)式定义的集函数4是环 上的测度 证明由引理7,对任意A∈,山(A)的值不依赖于A的分解式的选取.因此在 上的定义是确定的.为证是环R上的测度,只需证明4在上是可数可加的.设{An} 是中的一列互不相交的集使得A=UA∈R设A和A,(m≥1)的分解式分别为 A=UE, A=UFmj, n2l 则{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}是C中的一列互不相交的集我们有
50 ( ) ( ). 1 ∑= = k i µ A µ Ai (8) 由于对给定的 A∈ R , A 的分解式 ∪ k i A Ai =1 = 不是唯一的. 因此需要证明如下的引理. 引理 7 设 µ 是半环C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 则由(8)式 定义的集函数 µ 的值不依赖于集的分解式的选取. 证明 设 A∈ R , ∪ k i A Ai =1 = 和 ∪ m j A Bj =1 = 是 A 的两个分解式. 令 E A B , i 1, , k, j 1, ,m. ij = i ∩ j = " = " 则 {E , 1 i k, 1 j m} ij ≤ ≤ ≤ ≤ 是 C 中的一组互不相交的集 . 并且对每个 1 ≤ i ≤ k 和 1 ≤ j ≤ m, 成立 ∪ m j Ai Eij 1 , = = ∪ k i Bj Eij 1 . = = 由于 µ 在C 上是有限可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = = = = = m j j m j k i ij k i m j ij k i µ Ai µ E µ E µ B 这表明 µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取.■ 在§2.1 中我们定义了环上的测度. 同样, 若 µ 是半环C 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和可数可加性, 则我们称 µ 是C 上的测度. 定理 8 设 µ 是半环C 上的测度. R 是由C 生成的环. 则由(8)式定义的集函数 µ 是环 R 上的测度. 证明 由引理 7, 对任意 A∈ R, µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取. 因此 µ 在R 上的定义是确定的. 为证 µ 是环R 上的测度, 只需证明 µ 在R 上是可数可加的. 设{ } An 是R 中的一列互不相交的集, 使得 = ∈ ∞ = ∪ n 1 A An R. 设 A 和 A (n ≥ 1) n 的分解式分别为 , 1 ∪ k i A Ei = = , 1. 1 = , ≥ = A F n n k j n ∪ n j 则{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 是C 中的一列互不相交的集. 我们有
E,=UC,1=1…k 其中{C,1≤i≤k,l≥是由{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}重新编号得到的.由于H在C上 是可数可加的,我们有 (4)=∑(E)=∑∑以(CD)=∑E从E)=∑04) 即在上是可数可加的.因此是环上的测度■ 定理8使得我们构造一个测度时更加容易.在§2.3和§46我们将看到这个定理的应用 测度的完备性下面我们考虑测度的完备性.设(X,,4)为一测度空间,EcX 若存在A∈丌,山(A)=0,使得EcA,则称E为μ-可略集.在有些问题中会涉及到关 于μ-可略集可测性的讨论.如果μ-可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便.然而对 一般的测度空间而言,μ-可略集不一定是可测集 例1设X=[0,1],分={X,}令(X)=()=0,则是a-代数上的测度 令E=[0,],则E是-可略集,但E 定义9设(x,,)为一测度空间.若每个-可略集E都是可测集(即E∈),则 称关于测度是完备的,或称测度空间(X,,4)是完备的 例如,例2中的关于y不是完备的 定理10设是环R上的测度,p是由导出的外测度,”是山-的全体所成的集 类.则关于测度是完备的 证明设E是4-可略集.则存在A∈R”,使得'(A)=0并且EA由外测度的 单调性得到μ'(E)=0.显然此时E满足卡氏条件,故E∈R”.因此”关于测度A是完 备的.■ 以下部分不作为课堂讲授内容,这里仅介绍结果,略去证明 设是环R上的测度,'是由导出的外测度,R”是可测集的全体所成的σ 代数.由定理5,是上的测度并且()∈M..一般情况下o()关于不一定 是完备的.而由定理10,”关于测度A总是完备的因此一般情况下集类”要比σ(R) 大下面的定理表明R中的集与a(R)中的集至多相差一个零测度集 定理11设H是环上的测度则对任意E∈”,存在F∈(),使得F=E并且 (F)='(E)特别地当'(E)<+∞时,'(F-E)=0 定理12设是环上a-有限的测度.则对任意E∈”,存在F∈O(),使得
51 , 1, , . 1 , E C i k l i =∪ i l = " ∞ = 其中{ , 1 , 1} Ci,l ≤ i ≤ k l ≥ 是由{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 重新编号得到的. 由于 µ 在C 上 是可数可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 , 1 1 , 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ∞ = = = = = = n n n k j n j k i l i l k i A Ei C F A n µ µ µ µ µ 即 µ 在R 上是可数可加的. 因此 µ 是环R 上的测度.■ 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在§2.3 和§4.6 我们将看到这个定理的应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性. 设 (X, F ,µ) 为一测度空间, E ⊂ X. 若存在 A∈ F , µ(A) = 0, 使得 E ⊂ A, 则称 E 为 µ -可略集. 在有些问题中会涉及到关 于 µ -可略集可测性的讨论. 如果 µ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然而对 一般的测度空间而言, µ -可略集不一定是可测集. 例 1 设 X = [0, 1], F ={X , ∅}.令 µ(X ) = µ(∅) = 0, 则 µ 是σ -代数F 上的测度. 令 E [0, ]2 1 = , 则 E 是 µ -可略集, 但 E ∉ F . 定义 9 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 若每个 µ -可略集 E 都是可测集(即 E ∈ F ), 则 称F 关于测度 µ 是完备的, 或称测度空间(X , F ,µ) 是完备的. 例如, 例 2 中的F 关于 µ 不是完备的. 定理 10 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -的全体所成的集 类. 则 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 证明 设E是 µ −可略集. 则存在 A∈ ∗ R , 使得 ( ) = 0 ∗ µ A 并且 E ⊂ A. 由外测度的 单调性得到 ( ) = 0. ∗ µ E 显然此时 E 满足卡氏条件, 故 E ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完 备的. ■ 以下部分不作为课堂讲授内容, 这里仅介绍结果, 略去证明. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所成的σ - 代数. 由定理 5, ∗ µ 是 ∗ R 上的测度并且σ (R ) ⊂ ∗ M µ . 一般情况下σ (R ) 关于 ∗ µ 不一定 是完备的. 而由定理 10, ∗ R 关于测度 ∗ µ 总是完备的. 因此一般情况下集类 ∗ R 要比σ (R ) 大. 下面的定理表明 ∗ R 中的集与σ (R ) 中的集至多相差一个零测度集. 定理 11 设 µ 是环R 上的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得 F ⊃ E 并且 (F) (E). ∗ ∗ µ = µ 特别地当 < +∞ ∗ µ (E) 时, ( − ) = 0. ∗ µ F E 定理 12 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得
F→E并且4(F-E)=0 定理13设是环R上σ-有限的测度则E∈当且仅当满足以下条件之 ()存在F∈o()和零测度集A使得F→E并且E=F-A (i).存在G∈a(R)和'零测度集A使得G∈E并且E=G∪A 定理14(X,f,p)为一测度空间.令 ={AUE:A∈,E是H-可略集} 对任意B=A∪E∈,令(B)=(A).则 (1)是σ代数并且c ()是上的测度并且在上= (i).测度空间(X,,)是完备的 定理14中的测度空间(x,,)称为是(X,,A)的完备化空间.定理14表明任何 测度空间都存在其完备化空 定理15设是环上σ-有限的测度则(X,O(R),4)的完备化空间是 特别地,如果(X,,)是一个a-有限的测度空间.则可以通过本节测度延拓的方法 得到的(X,,4)的完备化空间,这个测度空间就是(X,·,°),其中是'-可测集 的全体所成的σ-代数 小结从较简单的集类环上的测度μ出发,扩大其定义域得到外测度.再根据卡氏 条件挑出可测集,-可测集的全体成为一个a-代数,外测度限制在可测集上成为 测度.这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ-代数上这种方法构是造测度常用的 方法下一节将用这种方法构造重要的测度- -Lebesgue测度 习题习题二,第9题一第14题
52 F ⊃ E 并且 ( − ) = 0. ∗ µ F E 定理 13 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则 E ∈ ∗ R 当且仅当满足以下条件之一: (i).存在 F ∈ σ (R ) 和 ∗ µ -零测度集 A 使得 F ⊃ E 并且 E = F − A.. (ii).存在G ∈ σ (R ) 和 ∗ µ -零测度集 A 使得G ⊂ E 并且 E = G ∪ A.. 定理 14 (X , F ,µ) 为一测度空间. 令 = { ∪ : ∈ , 是µ − 可略集}. Fµ A E A F E 对任意 , B = A ∪ E ∈Fµ 令 ( ) ( ). ~ µ B = µ A 则 (i). Fµ是σ -代数并且F ⊂ Fµ . (ii). µ ~ 是Fµ上的测度并且在F 上 . ~ µ = µ (iii).测度空间 ) ~ (X , Fµ ,µ 是完备的. 定理 14 中的测度空间 ) ~ (X , Fµ ,µ 称为是(X , F ,µ) 的完备化空间. 定理 14 表明任何 测度空间都存在其完备化空间. 定 理 15 设 µ 是环 R 上 σ − 有限的测度. 则 ( , ( ), ) ∗ X σ R µ 的完备化空间是 ( , , ) ∗ ∗ X R µ . 特别地, 如果(X, F ,µ) 是一个σ -有限的测度空间. 则可以通过本节测度延拓的方法 得到的 (X, F ,µ) 的完备化空间, 这个测度空间就是 ( , , ) ∗ ∗ X F µ , 其中 ∗ F 是 ∗ µ -可测集 的全体所成的σ -代数. 小 结 从较简单的集类环上的测度 µ 出发,扩大其定义域得到外测度 ∗ µ .再根据卡氏 条件挑出 ∗ µ -可测集, ∗ µ -可测集的全体成为一个σ -代数,外测度限制在 ∗ µ -可测集上成为 测度. 这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ -代数上.这种方法构是造测度常用的 方法.下一节将用这种方法构造重要的测度—Lebesgue 测度. 习 题 习题二, 第 9 题—第 14 题
