武汉大学：《实变函数》课程教学资源（讲义）第二章测度与测度的构造（2.2）外测度与测度的延拓

教学目的本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测度. 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想.

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45 图 2—1 等式(3)称为 Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 所以(3)式等价于 ( ) ( ) ( ). c A ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X , (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4)总是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X, 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集 ∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 思考题证明:集 E 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意 A ⊂ E 和 C B ⊂ E 成立 (A B) (A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ + µ 引理 3 设 E En , , 1 " 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A∩ Ei = ∑ A ∩ E = ∗ = ∗ µ ∪ µ (5) 证明用数学归纳法. 当 n = 1时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 " 是互不相交的. 所以 ( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪ k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1 的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 () . ( ). kk k c i ik ik ii i k k i i k i i A E A EE A EE AE A E A E µµ µ µ µ µ ++ + ∗∗ ∗ + + == = ∗ ∗ + = + ∗ =                    ∩ = ∩ ∩ ++ ∩ ∩                   =∩+∩              = ∩ ∑ ∪∪ ∪ ∪ 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意 n 成立.■ 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度

47 (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令 n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式因此 = ∈ ∞ = ∪ n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ ∪Ei µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 ∪ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ ∪Ei µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度.■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的(i),(ii) 和 (iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个自然的问题是, 在R 上 ∗ µ 是否等于 µ ? ∗ R 有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理 5 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 µ∗ −可测集的全体所成的集类. 则 (i). ∗ µ 在R 上的限制等于 µ , 即当 A∈ R 时 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). σ (R ) ⊂ ∗ R . 证明 (i) 设 A∈ R, 由于{A}是 A 的一个R 覆盖, 故 µ (A) ≤ µ(A). ∗ 另一方面, 对 A 的任意一个R 覆盖{ }, An 由于 ∪ ∞ = = ∩ 1 ( ), n A A An 我们有

51 , 1, , . 1 , E C i k l i =∪ i l = " ∞ = 其中{ , 1 , 1} Ci,l ≤ i ≤ k l ≥ 是由{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 重新编号得到的. 由于 µ 在C 上是可数可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 , 1 1 , 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ∞ = = = = = = n n n k j n j k i l i l k i A Ei C F A n µ µ µ µ µ 即 µ 在R 上是可数可加的. 因此 µ 是环R 上的测度.■ 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在§2.3 和§4.6 我们将看到这个定理的应用. 测度的完备性下面我们考虑测度的完备性. 设 (X, F ,µ) 为一测度空间, E ⊂ X. 若存在 A∈ F , µ(A) = 0, 使得 E ⊂ A, 则称 E 为 µ -可略集. 在有些问题中会涉及到关于 µ -可略集可测性的讨论. 如果 µ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然而对一般的测度空间而言, µ -可略集不一定是可测集. 例 1 设 X = [0, 1], F ={X , ∅}.令 µ(X ) = µ(∅) = 0, 则 µ 是σ -代数F 上的测度. 令 E [0, ]2 1 = , 则 E 是 µ -可略集, 但 E ∉ F . 定义 9 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 若每个 µ -可略集 E 都是可测集(即 E ∈ F ), 则称F 关于测度 µ 是完备的, 或称测度空间(X , F ,µ) 是完备的. 例如, 例 2 中的F 关于 µ 不是完备的. 定理 10 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -的全体所成的集类. 则 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 证明设E是 µ −可略集. 则存在 A∈ ∗ R , 使得 ( ) = 0 ∗ µ A 并且 E ⊂ A. 由外测度的单调性得到 ( ) = 0. ∗ µ E 显然此时 E 满足卡氏条件, 故 E ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. ■ 以下部分不作为课堂讲授内容, 这里仅介绍结果, 略去证明. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所成的σ - 代数. 由定理 5, ∗ µ 是 ∗ R 上的测度并且σ (R ) ⊂ ∗ M µ . 一般情况下σ (R ) 关于 ∗ µ 不一定是完备的. 而由定理 10, ∗ R 关于测度 ∗ µ 总是完备的. 因此一般情况下集类 ∗ R 要比σ (R ) 大. 下面的定理表明 ∗ R 中的集与σ (R ) 中的集至多相差一个零测度集. 定理 11 设 µ 是环R 上的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得 F ⊃ E 并且 (F) (E). ∗ ∗ µ = µ 特别地当 < +∞ ∗ µ (E) 时, ( − ) = 0. ∗ µ F E 定理 12 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得

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