线性代数模拟试题 >模拟试题(一) 参考答案 模拟试题(二) 参考答案
模拟试题(—) 、是非、选择题(每小题3分,共15分): 1.设A与B均为n阶方阵则下列结论中成立 (A)de(AB)=0,则A=O,或B=O; (B)de(AB)=0,则detA=0,或detB=0; C)AB=O,则A4=0,或B=O 王(D)AB≠0则e4≠0或deg≠0 牛.设1=(102=(0.01=,.0,a4= (1,1,1,1),则它的极大无关组为 (4)a1,a2; (B)a1,a2,c3; 上页
一、是非、选择题（每小题3分，共15分）: 1． 设A与B均 为n阶方阵,则下列结论中 成 立. (A) det(AB) = 0,则A = O,或B = O; (B) det(AB) = 0,则det A = 0,或det B = 0; (C) AB = O,则A = O,或B = O; (D) AB O,则det A 0,或det B 0. (1,1,1,1), . 2 (1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,1,0), 1 2 3 4 则它的极大无关组为 ． 设 = = = = ( ) , ; ( ) , , ; A 1 2 B 1 2 3 模拟试题（一）
(C)c1,a2,a4;(D)a1a2,a3,a4; 庄3.若阶实对称矩阵满足=0则4=0( 4.若齐次线性方程组4x=0只有零解则4的列向量 组线性无关 5.若n阶实对称矩阵4=(a)正定则n>0=12 n 工工工 二、填空题(每小题3分,共12分): 1.二次型f(x1,x2,x3)=√2xx2-4x1x2+2x1x3 的秩为 2.设A为n阶方阵,且detA=2,则 上页
( ) , , ; ( ) , , , ; C 1 2 4 D 1 2 3 4 , ). ( ) 5 , 0( 1,2, . ( ) 4 0 , 3 , .( ) ( ) 2 n n A a a i Ax A n A A O A O ij ii n n = = = = = ． 若 阶实对称矩阵 正 定 则 组线性无关 ．若齐次线性方程组 只有零解 则 的列向量 ． 若 阶实对称矩阵 满 足 则 二、填空题（每小题3分，共12分）: . 1 ( , , ) 2 4 1 2 2 1 3 2 1 2 3 1 的秩为 ．二次型 f x x x = xx − x x + x x 2． 设 A 为n 阶方阵,且 det A = 2,则
det(-1A4)+A|= 3 200 100 3.已知矩阵4=2x2与B=020相似, 311 00y 则x= 5y= 4.当t取值为时,二次型f=-x2-4x2-2x2+ 2k;x2+2x1x3是负定的 c三、(10分)已知向量a=(a1,a2,…,an)和B=(4 b2,,bn求矩阵A=aB的全部特征值 上页
) . 3 1 det ( 1 = − + − A A 2 2 . 4 , 4 2 , . , 0 0 0 2 0 1 0 0 3 1 1 2 2 2 0 0 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 是负定的 ． 当 取值为 时 二次型 则 ．已知矩阵 与 相 似 tx x x x t f x x x x y y A x B + = − − − + = = − = − = 三、（10分） , , ), . ( , , , ) ( , 2 1 2 1 求矩阵 的全部特征值 已知向量 和 T n n b b A a a a b = = =
上四、(0分)求解矩阵方程 23 66 123 31 653 43 上五、(15分)取何实值时,线性方程组 d12= 工工工 λx2-x3= x3-x4= +1 X4 有唯一解,无穷多解,无解?在有无穷多解的 情况下求通解 上页
四、（10分） = 3 1 2 5 4 3 6 6 6 3 1 2 2 3 1 1 2 3 X 求解矩阵方程 五、（15分） 取何实值时，线性方程组 − + = − = − = − = x x x x x x x x 1 4 3 4 2 3 1 2 情况下求通解. 有唯一解，无穷多解，无解？在有无穷多解的
士 六、1.(5分)设4为正交矩阵且detA=-1,证明: E-A不可逆 2.(5分)设n阶可逆矩阵A中每行元素之和 为常数a,证明: (1)常数a≠0;(2)A的每行元素之和为a1 12 七、(6分)设4= 21/求n 牛八(2分)用正交变换化二次型/(x,xx c=2x2+5x2+5x+4x1x2-4x1x3-8x2x3为标准 形,并写出所用的正交变换 上页
六、１.（5分） . det 1, : 不可逆 设 为正交矩阵且 证 明 E A A A − − = − ２.（5分） (1) 0; (2) . , : −1 −1 a A a a n A 常 数 的每行元素之和为 为常数 证 明 设 阶可逆矩阵 中每行元素之和 七、（6分） , . 2 1 1 2 A A 设 求 n = 八、（12分） 用正交变换化二次型 ( , , ) x1 x2 x3 f , . 2 5 5 4 1 2 4 1 3 8 2 3 2 3 2 2 2 1 形 并写出所用的正交变换 = x + x + x + x x − x x − x x 为标准
九、(10分)已知四维向量空间R的两个基 (I)a1=(1,1,2,1),a2=(0,2,1,2), c3=(0,0,3,1),a4=(0,0,0,1) (I)B1=(1,-1,0,0),B2=(1,0,0,0), β3=(0,0,2,1),β4=(0,0,3,2); 生且向量在基D下的坐标为31求 (1)由基(I)到基(I)的过渡矩阵 王(向量a在基下的坐标 上页
九、（10分） : 已知四维向量空间R 4 的两个基 (0,0,2,1), (0,0,3,2); ( ) (1, 1,0,0), (1,0,0,0), (0,0,3,1), (0,0,0,1); ( ) (1,1,2,1), (0,2,1,2), 3 4 1 2 3 4 1 2 = = = − = = = = = (2) ( ) . (1) ( ) ( ) ; ( ) (0, 3, 1,1), : 向 量 在 基 下的坐标 由 基 到 基 的过渡矩阵 且向量 在 基 下的坐标为 求 − −
模拟试题(一)参考答案 一、1(B);2.(B);3.(对);4.(对);5.(对) 二、1.2;2.(1) 2;3.x=0,y=-2;4.t<√2. A=42=…=凡n-1=0,n-1=-aB7=-∑a1b i=1 工工工 四、X=0 00 上页
. 0 0 1 0 1 1 1 1 1 , . ; 3. 0, 2; 4. 2. 2 ( 1) 1 2; 2. 1 ( ); 2.( ); 3.( ); 4.( ); 5.( ). 1 1 1 = = = − = − = = − − = − − X o a b x y t B B i n i i T n n n 四、 三、 ＝ ＝ ＝ 二、． 一、． 对 对 对 １ ２ 模拟试题（一）参考答案
五、()当4≠士时,有唯一解 (2当=1时,rmnk(A|B)=4, rankA=3,无解; (3当λ=-时, rank(A|B)=rmkA=3,有无穷 多解通解为x=(1,1,0)+k(-1,1,-1,1),k任意 六、(略) 中七、A= 1(3+(-1)23”+(-1y 2、3+(-1) +3″+(-1) 工工 2/52/35-1/3 八、正交变换x2|=15435-23y2 x3 05/352/3
, (1,0,1,0) ( 1,1, 1,1) , . (3) 1 , ( ) 3, (2) 1 , ( ) 4, 3, ; (1) 1 , ; 多 解 通解为 任 意 当 时 有无穷 当 时 无 解 五 、 当 时 有唯一解 x k k rank A B rankA rank A B rankA T T = + − − = − = = = = = , 0 5 3 5 2 3 1 5 4 3 5 2 3 2 5 2 3 5 1 3 . 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 1 − − − = + − + − + − + − = + + + y y y x x x A n n n n n n n n n 八、正交变换 七 、 六、(略)
化二次型为=y+y2+0y 上九、1由基①基过渡矩阵为 2 22一 00 00 C 43 3一 3 0 12 2.a在基I下的坐标为6-6,6,6) 上页
2 ( ) (6, 6,6, 6). 0 3 1 2 1 4 3 3 2 2 0 0 1 2 0 0 1 ( ) ( ) 10 . 2 3 2 2 2 1 − − − − − − − = = + + ． 在 基 下的坐标为 九 、．由基 到 基 的过渡矩阵为 化二次型为 C f y y y