序 言 这部书的第一卷终于交印了,它既是急就章,是拖脊篇.1958年匆匆上马,现想现 写现印现讲,有时写稿不过三遍,仅仅经过起草、改、正三道手续便拿去付印有时候 校对来不及,就不校对了,因而原讲义上错误百出,疵谬迭见,所以说这是急就章.如果 能专心一志地连续地干下去,那还可能比较好些,但又经常为其它工作所打断,因而写一 段停一停,改一章放一放的情况又经常出现,所以说是沓篇紧紧松松,赶赶拖拖.因 而详略不一,前后不贯,轻重失调,呼应不周等毛病在所难免的了 情况是如此,虽然经过同志们的帮助和修改重写但还可能留下不少后遗症这样的 草率工作本来不该交印的,但不少同志热情鼓励,几经终于把它出版了,希望经过读 者的帮助,人多眼多、想法多,多提意见将来可以改写得更好些 这个课自始至终是和元同志合开的,他对原稿的形成与改写都提了不少意见,并且 有不少章节都是出诺他的手笔在共同教学中一些心得已经吸收入我们合著的“积分的 近似计算”一书中(科学出版社1961年初版),1961年龚升吴方等同志又用这讲义教了 一遍,修改了不少最后定稿又经过曾肯成许以超、史济怀邓诗涛李调生、刘碧梧等同 志的细心校阅提了不少意见。个别章节还获得了戴元本陆汝钤、韩京清、周永佩、罗祥 钰、曹传书、吴松林、江嘉禾、李培信、邵秀民、陈志华石赫、殷慰萍等同志的帮助,有关这 些我在这儿表示谢意特别应该一提的是:在最后定稿的时候获得了中山大学吴兹潜、 林伟二同志的帮助,他们一字不苟地校阅推敲,使本书避免不少错误这样的主动地来自 其他院校的帮助只能归功于集体主义的优越性 在写作的过程中参考过熊庆来的“高等算学分析(1934);苏步青的“微分几何学 (1947):赵访熊的“高等微积分”(1949);孙光远、孙叔平的“微积分学”(1952);陈建功 的“实函数论”(1958);杨宗磐的“数学分析入门”(1958);樊映川等的“高等数学讲义” (1958);陈民的“高等数学教程”(1958);关肇直的“高等数学教程(第一卷)(1959) 江泽坚的“数学分析”(1960);北京大学、复且大学南京大学及高等数学教科书编审委员 会的“高等数学教程”,我在此致谢其他作为参考的外文书籍不在此一一列举了
在写作的过程中,曾经有过一些努力,企图能更好地体现党对教学改革的方针,但是 由于自己射理论和业务水平,没有能够较好地做到,读者可能发现一些其它书上所没有的 材料,也可能发现一些稍有不同的处理方法,但毕竟是太少了.在谈到这一点的时候,感 到空虚,并且诚恐会错误百出.大家所公认的辗转传抄的已经成熟的材料,错误还有时 难免,何况第一次写下来的东西,那更使人耽心了,但是还是斗胆地放进书里去,作为引玉 之砖,作为试矢之的。特别是一些高的内容放低了,难的内容改易了,繁的内容化简了的 部分更希望大家指正,但是我个人深信,只要每本书都有些章节改进,集腋成裘,我们教 学改革会汇成巨流的,辛勤的点滴劳动,可能是大丰收的预兆 大学教书不是照本讲因此本书也准备了一些可教可不教的材料,教师们可以灵活掌 握,余下的材料可以作为学有余力的同学的课外读物。习题应当做,并且适当地要多做 些.本书没有组织好习题,希望老师们自己设法组织.习题的目的首先是熟练和巩固学 习了的东西;其二是初步启发大家会灵活运用独立思考;其三是融会贯通,出些综合性的 习题把不同部门的数学沟通起来 在教学过程中深得教学相长的益处,其中不少是由于同学所提意见的影响,我把所得 到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考.我讲书喜欢埋些伏笔,把有些重要概念、 重要方法尽可能早地在具体问题中提出,并且不止一次地提出.目的在于将来进一步学 习的时侯会较易接受高深的方法,很可能某些高深方法就是早已有之的朴素简单的方法 的抽象加工而已.(有些深化了些,有些并没有深化而仅仅是另一形式而已)我也喜欢生 书熟讲熟书生温的方法,似乎是在温熟书,但把新东西讲进去了,这是因为一般讲来,生 书比旧课,真正原则性的添加并不太多的原故.找另一条线索把旧东西重新贯穿起来这 样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透.有时分讲合温,或合讲分温, 先把一个机器的零件一一搞清,再看全局,或先看全部机器的作用和目的,再分析要造成 这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明.“数”与“形”的“分”和“合”,“抽象”与“具体 的“分”与“合”都是在反复又反复的过程中不断提高的,同学也要求讲讲“人家怎样想出 来的”,因而在讲书时也曾作过尝试,主观地推测一下,这很可能并不是原来的想法,但给 出一条“这一步看下步并不难,连看几步就达到目的”的途径,作为同学们的参考 以上一些肤浅的看法在讲课时都尝试过,但绝大部分写不下来,或者写下来就走了 样,因此,同是一部书,可以多样讲,讲义作参考,结合同学的实际情况能灵活掌握才好 拉杂地写了这些意见,与其说是对教师讲的,还不如说是对同学(或自学的人)讲的
总之,由于水平的限制,虽然黾勉从事但缺点一定不少,我诚挚地希望读者们多提意 见更希望教师们多多指教 最后,特别需罢提起的是:由于中国科学院数学研究所党组织的支持,才使我有机会 讲授基础课和编写讲义;在編写过程中,自始至终得到了中国共产党中国科学技术大学 委员会的鼓励关怀与支持,还给予了具体的帮助,这是我衷心感激的.有了觉的鼓励、关 怀与支持,使我这几年来敢于按照自己的一些肤浅的设想来进行教学的尝试使我这几年 来有勇气把第一次写下来的东西放到课堂上去教,使我这几年来能把这项工作坚持下来 至于中国科技大学教务处、数学系与数学教研室的同事们在我从事这项工作的时候, 直给我方便与帮助也在此表示感谢,对科学出版社的感谢,那就更应当在此一提了,他 们花了大量的劳动在制图、编辑加工、排版印刷、校对等方面都做了细致而深入的工作 华罗庚 962年6月1
第一覃突数与复数…………………………………………1 51.有理数 §2.无理数的存在………… 53.实数的描逃……………… 甲一 3 54.极限 6 55. bolzano- Weierstrass定理……………… 9 §6.复数的定义和矢量 12 §7.极坐标及复数乘法 14 §8. De Moivre定理… 59.复数的完备性…………………………………………………………19 §10.四元数簡介…… 补充 511.二进位計算 512.循环小数… §13.有理数接近实数 26 §14.誤差… 中。非中专 30 §15三、四次方程解法…………………… 单命34 第二章矢量代数…… §1.空間坐标系及矢量的定义 §2.矢量的加法 53.矢量的分解 54.内积(无向积,数性积)…………… 55.矢量积(外积)………………… §6.多重积…… s7.坐标的变換 §8.平面… §9.空围直钱方程…… 补充 510.球面三角的主要公式 2
511.对偶原則 §12.直角三角形与直边三角形的計算規則…… §13.力,力系,等效力… §14.卒行力的合并 515.力矩 §16.力偶…………………………………………………………………60 517.力系的标准形式…… 62 §18.平衡方程及其应用 第三章函数与图形………………… 67 §1.变量 §2.函数 §3,隐数……………………………………………………………………………68 54.囡数的图表法……………………………………… 55.几个初等函数 56.囡数的一些箇单特性 73 §7.周期图数…………… 75 58.复变数函数表示举例………………………………………………………………76 §9.迥妇直……………………… 510. lagrange插入公式… 511. Newton,Bese, Stirling插入公式……… 512.糨驗公式 §13.曲载族 第四章极限………… §1.贯的趋限情况 92 §2.貫的不趋限情况… §3.极数 §4.杂件收斂的殺数 101 55.恶冲之計算团周率的方法 104 56. Archimedes求抛物形面积法 57.旁压力的算……… 107 58.数e §9.潓續趋限……………… 110 §1U.几个重要极限 511.一些例子…………………… 113 §12.无穷大之阶 115
513.符号~,O与Q……………… 116 §14.連犢酬数 119 §15.間断种种· 121 516.連續数的一些基本性…… 122 §17. Heine- Borel定理 124 第五章微分…… 126 §1.微商概念…………………… 126 §2.微商的几何意义………………………………… 127 §3.函数的和、差、积、商的微商… §4.初等囪数的微商… 55.复合图数的微商 56.双曲数 134 §7.微商的公式表 ………136 58.例題………… 59,微分 §10.謬差的估計 §11.高阶微商… §12. Leibnitz公式 149 §13.高阶徼分 §14.数的差分… 15乎 第六章微商的应用… §1,曲镘的上升与下降………………………… ……156 §2,极大与极小…………………………………………158 §3, Fermat定理……… 54.中值公式 55.凸性、凹性与扭轉点 169 56.漸近錢…………………………………………… 173 §7,作图要点… ………176 §8.参变表示法的曲描图………………………… 59.切耧,法,子切諓,子法寝……………………………… 183 §10.积分公式 §11.隐圆数的微分…… 512.0型的不定式……… §13.型的不定式………… ……………………193
514.其他型的不定式……………196 第七章函数的 Taylor展开式…………… 199 51.多項式的 Taylor公式………………… …199 52,函数的 Taylor展开式…… §3. Taylor极数的余項 §4.e的展开式 ……………204 55.sinx与cosx的展开式 20 56.二項式展开式… 208 57.log(1+x)的展开式…… ……………211 58, arc tg x的展开式……………………………… 59.冪极数,收斂芈径… 215 510.冪极数的四則运算… 217 511.冪极数的微分与积分 512.冪极数的唯一性定琿及反囪数……… 513. Kummer判別法, Gauss半别法………… 514.超越几何級数……………… …223 §15.用冪极教解徽分方程………………… 229 第八掌方程的近似解………………… 235 51.引 §2.图解法………………………………………235 53.迭代法 236 §4.插值法 240 §5. Newton法……………… 2 §6.联合法……………………………………………… 244 57.賈宪法 245 §8.Jo6 a4eBCKH法 补充 §9.实数根的几个定理 250 §10. Sturm定理 第九章不定积分 §1.换变教法則………………………………… §2.分部积分法……………………………… 256 53.分項积分法…………………… 259 §4.有理分式的积分…… ……261 5.M.B. Oerpor panek方法 263
§6.某些含有根式的函数的积分…25 57.永积分x,ya+bx+ 58.Abel积分 …270 59.一些不能用已知图数表达的积分…………273 510.微分方程,分离变量法… 274 511.换变数法 276 §12.积分因子法 278 §13.一阶性方程… 282 §14.二阶性方程…… 286 515.常系数後性方程 …“·288 第十章定积分 291 51.求面积……… 291 §2.定积分的概念 中非甲 293 §3.可积函数的性质 296 §4.定积分的基本性風 297 §5.中值公式及积分基本定理… …300 §6.第二屮值公式… 302 §7.例子… 303 §8.换变数公式………… §9.分部积分 310 §10.瑕积分… §11.定积分的一些应用… 315 §12.求定积分的特殊方法 316 §13.面积原理的应用 321 §14. Euler求和公式及 Euler囡数… 515.梯形法矩形法与 Sirnpson法…328 引 337 索引…
第一章实数与复数 §1.有理数 数起源于“数”,一个一个地数,因而出現了 2,3,4,5,· 这叫做自然数 用自然数来数物件,看来簡单,但是却包含了一些数学中經常用到的基本原,例 如,一一对应的概念,先后女序的概念等等.特别值得注意的是,这是数学中第一个用抽 象符号来处理具体事物的例子.拿任何实物做标准(如手指,算珠)都有穷尽的可能,而 自然数系却可以說明一切可以数得完的客观事物的件数 但是,如果的要創造出无个符号来表达自然数,那不仅不方便而且也不可能.这 样就产生了計数法.这方法是用有限个数字来表达一切自然数.我們熟悉的是十进位的 表达法,即逢十选一的方法.左边的一算作右边一位的十,这样我們就有可能用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 来表达一切自然数了, 人类大都是用十进位,可能是因为人有十个指头.开始計数时是以指头做标准的 实度上符号用得最少的要算二进位,只要用0与1就可以表达出一切自然数来,二进位 就是逢二进一.用二进位表示自然数,可以依次写成为 1,10,11,100,101,110,111,1000, 书写时二进位較长,例如,二进位的四位数字1000仅代表十进位的8.一般誹来一个数 字用二进位的位数是用十进位的位数的三倍以上(豹33倍) 这里我們只提一下自然数的两个基本的重要性质 1)如果有一批自然数都不大于一个給定的自然数,那末其中一定有一个最大的,术 語:在有上界的自然数集合中一定有一个最大的 个有上界的自然数集合不能和它的子集合建立起一一对应的关系”这句 术語誹得似乎有些玄虚,实质上就是n个物件不能和少于n个物件成立一一对应的关系 这样簡单的转果为什么还值得一提呢?因为这是有限集合的基本性厲,任何一个非有限 集合都有可能和它的子集合一一对应,例如,自然数的集合便可以和稿自然数的集合建 立起一一对应来: 仅有自然数,还远远不能满足我們的需要.我們有时需要分,但分不尽怎么办?因而
产生了分数2,称为有理数,就是b个人分a件东西,每个人应得的正确答案 小数只不过是有固定分母的分数的另一种表达形式,它的分母只允許是10;102 103,…等等。例如 0314 因为分母是殊的,所以我們并不能把任何分数都表为有限小数.例如, 上=0.33 就是一个无穷小数,但是我們知道,有理数的小数表达是有特殊形式的,就是所謂循环小 数。我們也知道,凡是循环小数都能表成有理数,需要注意的是循环小数 0999 实质上代表1 仅有有理数,还是不能满足我們客观上的需要.我們有时要减,但不够減怎么办?很 自然地就产生了負数 到了这样的阶段,我們巳得到了正、負有理数.这些数作为一个整体来耕已竊达到 了某种意义的完备性,这种数的全体称为有理数域,用一句行話来說,有理数域对四則运 算自封;通俗一些說,任意二有理数的和、差、积商(除数午0)仍然是有理数 一般誹有理数是指所有的正、負有理数而整数是指0,土1,土2,±3,…,正整数 就是自然数12,3, 任何两个有理数之有无个有理数存在,要脏明这点,先証明两个有理数之問一 定有一个有理数存在,若<,則显然有 钙然两个中图有一个,那末,b+b中間又至少有一个,等等,这种做法可以无限制 地溎續下去所以就誑明了以上所說的話 §2.无理数的存在 上节中我們巳經說明了在某种意义下有理数域有七的完备性,但是换一个角度来看, 便又显示出它的不完备之处,例如,最簡单的二次方程 x3=2 就沒有有理数解.从几何方面說,速极筒单的几何图形的长度都无法 用有理数表达出来.边是单位长的正方形的对角餞的长度√2就不 是有理数 图1 何以見得方程(1)沒有有理解?我們用反部法.如果有一个既豹