目录 第一章 Fourier变换 一内容要点 例题分析… ……………10 三习题全解 习题一解答 习题二解答 习题三解答…… 习题四解答………………………… 习题五解答 456 第二章 Laplace变换…… ………85 内容要点 …85 例题分析 …………92 三习题全解 l07 习题一解答 习题二解答…… 习题三解答…… …133 习题四解答…………… 习题五解答 专,F, 附录Ⅰ Fourier变换简表 附录【 aplace变换简表………… 201
第一章 Fourier变换 内容要点 本章从讨论周期函数的 Fourier级数的展开式出发,进而讨论 非周期函数的 Fourier积分公式及其收敛定理,并在此基础上引出 Fourier变换的定义、性质、-些计算公式及某些应用 本章的重点是求函数的ouer变换及 Fourier变换的某些应 用.函数的 Fourier变换也是本章的一个难点,要解决好这个难点, 必须掌握好 Fourier变换的基本性质及一些常用函数(如单位脉冲 函数,单位阶跃函数,正、余弦函数等)的 Fourier变换及其逆变换 的求法从而才能较好地运用 fourier变换进行频谱分析,解某些 微分、积分方程和偏微分方程的定解问题 1. Fourier积分 (1) Fourier级数的展开式 TT 设f1(:)以T为周期且在-,上满足 Dirichlet条件 即在[-22]上满足:连续或只有限个第一类问断点2 有有限个极值点)则(t)在[~TT1可以展成 Fourier级 2·2 数.在fr(t)的连续点处,有 fr(t)=a ( a. cos nwl+ b sin nat)(三角形式)
2 第一章 Fourier变换 (复数形式或称复指数形式) 其中 T cm=至 fr(t)e"dt(n=0,±1,… +jb, (n=1,2,…).在f(t)的间 断点t处,上面的展开式左边fr(t)应以fr(t+)+fr(t 0)]代替 (2) Fourier积分定理 对于(-∞,+∞)上的任何一个非周期函数f(t)都可以看成 是由某个周期函数∫1(t)当T+∞时转化而来的.由此,从 Fr(t)的 Fourier级数的复数形式出发,能够得到一个非周期函数 f(t)的 Fourier积分公式,其条件为 若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件 1°f(t)在任一有限区间上满足 Dirichlet条件 2°f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积(即积分 lf(t)|dt收敛),则在f(t)的连续点处有如下的 Fourier积分 公式 一U 在∫(t)的间断点t处,上面展开式左端的∫()应以[f(t+0) f(r-0)代替.这个公式也称为 Fourier和分公式的复数形 式 这个定理在教材中虽然未加证明,但应当看到它是 Fourier变 换的理论基础,必须深刻理解其含义,掌握它成立的条件,以便为 学习 Fourier变换奠定理论基础
内賽要点 (3) Fourier积分公式的其他形式 1) Fourier积分公式的三角形式 利用Euer公式,由 Fourier积分公式的复数形式可推出它的 角形式: f(r)cos w(t-t)drd 2) Fourier正弦积分公式 当ft)为奇函数时,利用三角函数的和差公式,由 Fourier积 分公式的三角形式可推出其 Fourier正弦积分公式 f(t)= f(r)sin curdt sin wt dw) 3) Fourier余弦积分公式 当∫(t)为偶函数时,同理可得 f()=2J.[.f(wor手wot tda 若∫(t)仅在(0,+∞)上有定义,且满足 Fourier积分收敛定 理的条件,通过奇式(偶式)延拓,便叮得到f(t)的 Fourier正弦 (余弦)积分展开式 2. Fourier变换 (1) Fourier变换的概念 Fourier变换对的一般形式 lf(t)]=F(w) T(t )e d f(t)=-[F(a)]= FO Fourier正弦变换对:当f(t)为奇函数时,有
第一章 Fourier变换 + FL(c]-F(a) f(t )sin wr d f(t)=5,[F()]= F(wsin wldw: Fourier余弦变换对:当f(t)为偶函数时,有 9.[f(t)]=F(a)=/(()cos cot dt 2 f(t)=。[F,(a)2 F(a)eo wt dw, 它们可分别简记为f(t)台F(),f(t)F(o)枚f(t)F() 显然,当f(t)为奇函数时,F(如)=-2jF,(a),当f(t)为偶函数 时,F()=2F,(a) (2)单位脉冲函数及其 Fourier变换 δ-函数的重要性质一筛选性质:若f(t)为无穷次可微的函 数,则有 8(t)f(t)dt=f(0) 一般地,有 a(t-to)/(t)dt=f(tu). 由这一性质,可得红8(t)]-1,气1]=6(t),表明8(t)和1构 成一个 Fourier变换对,记为a(t)1.同理,有8(t-t0)el 需要指出的是8(t)是一个广义函数,它的 Fourier变换是 种广义 Fourier变换.在物理学和工程技术中有许多重要函数(如 常数,符号函数,单位阶跃函数及止、余弦函数等)不满足 Fourier 积分定理中的绝对可积条件(即不满足1f()|d<∞),然而 其广义 Fourier变换是存在的利用单位脉冲函数及其 Fourier变换 就可以求出它们的 Fourier变换.例如 外11=2x8(a),e"’]=2x8(a-o0)
内容要点 PLu(t)]=:-+ro(w),sgnl= sinωn,t.=jπ[8(ω+∞)-8(a-t)], =x[8(ω+cn)( 3, Fourier变换的物理意义一频谱 (1)非正弦的周期函数fr(t)的频谱 在∫r(t)的 Fourier级数展升式屮,称 a, cos o, t b, sin a, t A, sin (co, t 为第n次谐波,其中a,m=x.A,=,A,=ya2+b 称为频率为ωn的第n次谐波的振幅,在f2(t)的 Fourier级数的复 数形式中第n次诸波为cnc"+c-ne)",并且|cn|=1c.= 2√a+b,从而f(t)的第n次谐波的振幅为 A=2 (a=0、1,2,… 它描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.所谓频谱图,通 常是指频率mn与振幅An的关系图A也称为fr(t)的振幅频谱 (简称为频谱)由于n=0,1,2,…所以频谱A,的图形是不连续 的称之为离散频谱,其频谱图清楚地表明了一个非正弦的周期函 数fr(t)包含了哪些频率分量及各分量所占的比重(如振幅的大 小) (2)非周期函数f(t)的频谱 非周期函数f(t)的 Fourier变换F(a)=f(t)],在频谱分 析中又称为f(t)的频谱函数,它的模!F(ω)称为f(4)的振幅频 谱(简称频谱).由于ω是连续变化的,这种频谱称为连续频谱,频 谱图为连续曲线振幅频谱F(w)是频率c的偶函数;相角频谱 f(t)sin ot dt arctan- 是频率a的奇函数对一个时间 f(t)cos at dt
第一章 Fourier变换 函数作 Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱函数 频谱图能清楚地表明时函数的各频谱分量的相对大小,因 此,频谱图在工程技术中有着广泛的应用、作出一个非周期函数 ∫(t)的频谱图,其步骤如下 1)先求出非周期函数f(t)的 Fourier变换F(w); 2)选定频率ω的一些值,算出相应的振幅频谱|F(c)的值; 3)将上述各组数据所对应的点填人直角坐标系中,用连续曲 线连接这些离散的点,就得到该函数f(t)的频谱图 4. Fourier变换的基本性质 为叙述方便,在下述性质屮,凡是需要求 Fourier变换的函数, 假定都满足 Fourier积分定理中的条件 (1)线性性质设[f1(t)]=F1(u),[f2(t)]=F2(a) ,为常数,则 Tafi(t)+Bf2(t)=aF(a)+PF2(o); aF1(a)+F2(a)]=a/1(t)+B/2(t (2)位移性质设f(t)]=F(u),则 洲f(t±t0)]=eoF(u); [F(aa0)]=f(1)e,(象函数的位移性质) (3)微分性质设f(t)]=F(a),如果*(t)在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点,且limf“(t)=0,k= 0,1,2,…,n-1,则有 红f”(t)]=(ja)"F(a) F")(a)=(-j)t"f(r)],(象函数的微分性质) 待别,当n=1有 红f"(t)]=jaF(a) F(a)=-i ltf(r)] (4)积分性质设[f(t)]=F(),如果当t→+∞时
内容要点 f(t)dt→0,则 f(t)dt F(w 当limg(t)≠0时,有 f(t)dt=F()+πF(0)(a). (S)乘积定理设f(t)]=F;(a),f2(t)]=F2(),则 f1(t)/2(t)d F1(ω)F2(o) /;(t)f2(t)d F,(w)F,(o)dw 其中f(),f2(t),F(ω)及F2(a)分别为f1(t),f2(t), F1(a)及F2(ω)的共轭函数特别,当∫1(t),f2(t)为实函数时, 有f(1)/)t=1「F(m)F2(o)dn F1(a)F2(a) (6)能量积分设f(t)]=F(w),则 1/(:)] dt I F(o)d 这一等式又称为 Parseval等式函数S(a)=|F(a)|2称为能量密 度函数(或称能量谱密度)它可以决定函数∫(t)的能量分布规 律将它对所有频率积分就得到f(t)的总能量,因此, Parseval等 式又称为能量积分.它表明非周期函数f(t)在时间域内的能量与 在频率域内的能量不因f(t)取 Fourier变换后而改变.由于能量 密度函数S(a)是a的偶函数,则能量积分可进一步写为 5.卷积与相关函数 (1)卷积的概念
8 第一章 Fourier变换 f1(t)*f2(t) ∫()f2(tτ)dr,且其运算满足 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(文换律); f;(t)*[f2(t)*f(t)]=f;(t)*f2(t)*f3(t)(结合律}; ∫1(t)*[f2(t)+∫3(t)]-∫(t)*f2(t)+1(t)*/3(t)(分配律); l1(t)*f3(t)≤!f(t)*|/2(t)(卷积不等式 (2)卷积定理设f(t)(k=1,2,…n)满足 Fourier积分定 理屮的条件,且f(t)]=F()(k=1,2,…,n),则 f:(t)“f2(t)*…*f(t)j=F1(o)·F2()…F,(a) 5f1(4)·f2(t)…fn(t)] F1()*F:( Fn(ω)(象函数卷积定理) 特别, f1(t)*f2(t)]=F1(u)F2(a) f;(t),/2(t)=F1(o)*F2( (3)相关函数的概念 相关函数的概念和卷积的概念一样,也是频谱分析中的一个 重要概念,记函数f1(t)和/2(t)的相关函数为 12!r 1(t)/2(t+r)dt 记函数f(t)的自相关函数(简称为相关函数)为 R(T) f(r)f(t+ r)d 显然,R(r)=R(-r):R2(x)=R12(-r) (4)相关函数和能量谱密度的关系 )自相关函数和能量谱密度构成一个 Fourier变换对:R(r) S(c),卧
内容要点 2 S() R(re d 利用R(x)和S(a)的偶函数性质,可进灬步写为 R(z)= S(e)cos orda S(a)= R(rcos ordr R(r)在τ=0时,可得 Parseval等式,即 R(0) S(a)do [f(t)]2 2)互相关函数和互能量谱密度构成一个 Fourier变换对,由 乘积定理(当∫1(t)和/2(t)为实函效时)知 RI(t /(t)2(t F r)dt F(o)F(a)e d 记能量谱密度为S2(ω)=F(ω)F2(a)(而S2(o)= F1(a)F2(o)),则 R12(z) d R( r)e o dt 显然,互能量谱密度有S2(a)=s2(a) 6. Fourier变换的应用 Fourier变换是分析非周期函数频谱的理论基础.它在频谱分 析中有着重要的应用,前商已列出其内容要点.这里的应用主要是 用来求解某些微分、积分方程和偏微分方程(其末知函数为二元函 数的情形)的定解问崽
