序言 原来准备写一部《高等数学引论》,共六、七卷.其中第一卷第一、二分册已于1963年 问世.但由于十年浩劫,其它手稿大部分遭到一“抄”,二“盜”,三“失散”的命运,现在检 查劫余,已所剩无几了,于1981年出版了第二卷第一分册.本拟鼓其余勇完成原来计划, 但实事求是地估计之后,看来所散失的手稿归来无望,重新补写完成全书,诚恐是时不我 待,力不从心的愿望了.无已,作两步打算,先把1962年在中国科技大学讲授过的铅印 而未逸散的部分出版,以后,再就力所能及进行写作陆续出版(在同一或不同书名下) 好在这一部分是有它的独立性的,讲授时的客观情况是:既要照顾到初学同学的水 平,又要使前者不越级,后者不觉得是简单重复,总的原则是重用矩阵,实现“1,2,3;7 c”讲授法的第二步,即,准备前几卷是讲一二、三个变数 三维空间而这一卷是 讲a个变数或n維空间.本卷原稿缺第十、十一、十二,三章,据回忆这三章是讲n维空间 微分几何学的原稿虽失,但读者不妨以第一卷空间曲线的微分几何为模型,运用正交群 下斜对称方阵的分类而获得n维空间曲线的微分性质.这是一个好习题,如果能做得出 则可把正交群改为其它群,而研究其微分不变性质 岁月无多,不得不计日图效,错谬之处请读者指正 华罗庚 1981年10月11日 又序 我非常感谢科学出版社能够出版这残余的手稿.这是对科学工作的珍视,但编辑就 为此增加了不少麻烦花费了不少精力,我在此致谢 当年在科技大学编写此书时,龚昇同志给我许多帮助,在寻找遗失稿件时,他还多方 尽力 对龚昇同志和负责校对的裴定一同志我在此敬致谢忱 华罗庚 1983年9月9月
目 录 序言又序 第一章线性方程组与行列式(复习提纲)… §1.线性方程组… §2,消去法……… §3.消去法的几何解释 54.消去法的力学解释………… 55.经济平衡 图图果 §6.线性迴归分析 111345579 §7.行列式 58. Vandermonde行列式… 59.对称函数……… 510.对称函数的基本定理 511.两个代数方程有无公根 §12.代数曲线的交点 513.行列式的幂级数 §14. Wron:ki行列式的幂级数展开……………… 第二章矩阵的相抵性……………………… §1.符号 §2,秩 §3.初等运算…… §.相抵……… §5.m维矢量空间 56.矢量空间的变换 §7.长度、角度与面积等 §8.函数行列式( jacobian)…………… §9.隐函数定理… B甲中中击,市 §10.复变函数的 Jacobian………………… 21.函数相关…… 512,代数处理……… 第三章方阵的函数、贯及级数……… §1.方阵的相似性 §2.方阵的幂……… §3·方阵乘幂的极限 5.幂级数…… §5.幂级数举例 ……51 56.迭代法 57、关于指數函数………………………………………………………………5
§8.单变数方阵的微分运算 第三章的补充 §I. Jordan标准型的幂级数…… §2.数的方阵幂 53.特殊X的 §4.∝与X的对应关系…… 第四章常系数差分方程与常微分方裎…… §2.常系数线性差分方程一母函数法 53.第二法一降阶法 §4.第三法 变换法 §5·第四法—矩阵法 56.常系数线性微分方程…… 7.有重量质点绕地球运动……… §8.振动 59.矩阵的绝对值………… 510.线性微分方程的唯一存在性问题 73 §11.第积积分… §12.解的满秩性……… 甲香 §13.非齐次方程…… s14.微扰理论……… 81 数方程 516.解微分方程dX/dt=AX+XB… 第五章解的渐近性质… §1.常系数差分方程 §2.广相似性… 53.常数系数线性常微分方程组… §4.yHoB法介绍… §5.稳定性…… 6,yHoB变换 57.周期性系数的微分方程组 , §8.丌 AnyHOW等价 §9.通近于常系数的差分方程与微分方程 第六章二次型 §1.凑方 §2.大块凑方法……… §3.仿射几何二次曲面的仿射分类 §4.射影几何 §5.二次曲面的射影分类…… §6.定正型 §7,用凑方法求最小值 110 §8. Hessian
§9.常系数二级偏微分方程分类 I12 §10. Hermitian型 §11. Hermitian型的实形式 第七章正交群与二次型对 I16 I,正交群 §2.定正二次型约平方根作为距离函数…… §3.空间的度量………………… 120 §5.正投影………… §6.西空间………… §7.函数内积空间引……… §8.特征很……………… 129 §9.积分方程的待征根………… …132 §10·对称方阵的正交分类 …132 s11.二次曲面的欧几里得分类 §12.方阵对 s13.斜对称方阵的正交分类… 4.辛群与辛分类 515.各式分类 516.分子振动 第八章体积………… …142 51.m维流形的体积元素………… §2. Dirichlet积分 145 §3.正态分布积分 §4.正态 Parent分布… s5.矩阵变换的行列式………… §6.西群上的积分元素 §7.(缤)…… 【54 §8.实正交方阵的体积元素… 实正交群的总体积 下甲,P 第九章非负方阵…… 159 1.非负方阵的相似性 159 §2.标准型 §3.基本定理的证明 §4.基本定理的另一形式………………… §5.标准型方阵的四则运算… s6.方阵大小… §冫·强不可拆方阵……… §9.连续随机过程… i70
第一章线性方程组与行列式(复习提纲) 5L.线性方程组 考虑齐次方程组 1. (1) 这儿a;是复数〔或实数)x1;…,xn是未知数,方程组(1)显然有一个解 这个解称为显见解 研究齐次方程组的基本问题是:除显见解外,(1)是否还有其他解?能否定出所有的 解来 非齐次方程组 的基本问题是:(3)是否有解?能否定出所有的解来 如果(3)有一个解(x1,…x,即 xi= b 命yx;-x,则y是(1)的解.所以解非齐次方程组的问题一变而为两个:首先是 是否有解,其次定出齐次方程组(1)的所有的解来 关于是否有解有次之重要结果 如果(1)有非显见解,则(3)不能对所有的b4……b都有解。 如果(1)仅有显见解则(3)对任意的b……,b都有解 §2.消去法 解线性方程组(3)的方法我们着重复习一下Gaus消去的原则,以四个未知数、四个 方程为例 a1x1十a12x2+a1x3十a1x4甲a15 an,+ a2+a2*3+ 424 t4 -425, a3 r t ax*2+ atst aMr,=a3s 十 1111612
将(1)中的第一个方程除以系数a1(它叫做“主导”元素)并令 (2) 则得一个新的方程 (3) 再由方程(3)及(1)中的后面三个方程消去x,这样便得到了一个辅助方程组,它包括具 有三个末知数的三个方程,此种消去法易于施行,只须顺次将方程(3)乘以an,11(也 就是乘以第二、第三和第四行的“主导”元素),再由(1)中的对应方程减去此式即可,消去 一个末知数以后所得的新方程组其系数用a代表 an1b1(i,j≥2 其次将新方程组中的第一式除以它的“主导”元素a,则得方程 (5) 其中 然后仿照前面的方法继续进行,我们便得到了一组具有两个未知数的两个方程,它们的系 数呈如次的形式 ain-an,byn(i,i≥3) 将这组方程的第一式除以主导元素a3,并令 4;2 b3i (j>3) 则得方程 x3 T burrs b3s, 2 最后再做一步,即可得出一个方程,它只含一个未知数而其系数为a4s将这个方程 除以a43则得 x4= b45 将具有系数b-1(G>i的一切方程合并,便得到一个三角形的方程组它与原有的方 程组等价;它的解就是原有方程组的解,我们要注意,上述方法只有当所有的“主导”元紊 都不等于零时才能使用 我们把求三角形方程组的系数的手续称为正面过程,而把求三角形方程组的解的手 续称为反面过程(参看附表) 我们还要讲一下验算的方法,用代换x一x+1,则我们得到一组以x为变数的方 程组,它的系数与原来的方程相同,而它的常数项等于原方程的系数与常数项之和,我们 可以同时计算这两个方程组,求出解彩并视其是否等于x1+1,这就是验算方法 现在简单地说明一下附表 正面过程是用如下方法来施行的,写出矩阵系数(包括常数项与核验和)将第一行除 以主导元素,并将结果写成矩阵最末一行,再求出第一个辅助系数ain(i≥2):从已知 矩阵任取一个元素,由它减去一个乘积—一就是上述元素所在的那一行的主导元素与上 述元素所在的那一列的最末元素的乘积,重复施行这种手续,当我们得出了仅含一行的矩 阵时,正面过程便完成了
附表1 a1,0010.4210.540.60.3 0421.00 32 0.44 0540.321 220.7 + 0660.44 3.22 0.54 0.66 0.3 82300.093200.16280.374001.45360 a31, t33,1 a34,,,tale, 093200.70840-0.136400.538001,20320 0.70201.29280 0.113160.197670.454101.76193 069785-0,154820.495681.03871 0221850.70301.4881 04977073804|1.23591 1.482402,48240 x3 1.039172.03916 1.25780-0.257 在反面过程中,我们利用包含1的各行而由最末一行开始,精确地说,在这些行的最 后一行里,我们从常数项的一列中得到了最后一个未知量的值,而在核验列中得到了核验 值然后可以逐次得出各个未知量的值只要由倒数第二列的元素减去对应系数b与前面 所得未知量值的乘积即可,在表格的末尾写出1字,可以帮助我们找出在所要各行中对 应于已知x的系数,例如 0.45410—0.I1316×1.03917-0.19767×1.48240=0.04348 最后,我们还要指出用这种方法解n个变数的线性方程组所需的乘法与除法的运算 次数为n(n2+3n-1) §3.消去法的几何解释 先看两个变数的情况 l by I: ax+by=c 在平面上各表示一条直线两个直线有一交点:消去y得出仅有x的方程,这是这个交 点在x轴上的投影 也可以这样看:第一、二方程各表示一条直线l与.由方程 a
,定义出一族直线,这些直线由x+n表示,这些直线有一个重要性质,就是通过l与 的交点,不难证明:反过来,凡是通过4与l的交点的直线也在这族之中,在这族直线 中有一条平行于y轴的,这条直线便是消去y后的方程 再看三个变数的情况 ax十by+cx=d, x+by+cs-d ax+by+cz=d 这表示三个平面,平面族 a ul 代表通过1与以的交线的所有的平面。由!与 中消去x而得出的方程可以看成为:它代表通过 x交线而平行于x轴的平面,也可以看成为:这条 交线在(y,z)平面上的投影,就是y,x平面上的 条直线,再从l,ψ中消去x,又得y,z平面上 图1 的一条直线 因此,消去r,可以看作把三维空间的三个平面求交点的问题变为在y,r平面上求 两条直线的交点的问题这两条直线,正是两条空间直线(平面的交线)的投影 般讲来:一个 十…+ 可以看成为n维空间的超乎面.消去法便是把n从空间m个超平面求交点的问题化为 n-1维空间n-1个超乎面求交点的问题 §4.消去法的力学解释 在一条两端固定的弦线上取n点P1,……,Pn,在这n点各加一重物,也就是在这些点 各有一向下的力F1,……,F我们来研究这些点的垂度y,…,y, 我们假定弦线上的力适合于“线性叠加原 则 1 1°,两组力叠加,其对应的垂度也相加 2°.所有力都乘以同一实数,则所有的垂 度也乘上这一个相同的数 以表示当在P点上作用一个单位力时 点P的垂度,这样,力F1,…,F。的联合作用 后的垂度yx……y等于 图2 2 解线性方程组的问题,也就是给了垂度y,…,y,要求出力F,…,Fn的问题了 在P1点加一个反作用力R,这样单位力作用于P时,P点的垂度等于 十R
考虑把弦线固定于P的情况,也就是 R 也就是在P点加一个单位力,如果要在P加一个力使P固定,这个力是-a/4au,这 时 从(1)式消去F1得 Ca: i-ayiai/an) F,- y; -an1/4m. 这就是加支点后的平衡方程在P加了支点,在P作用一个单位力,b就是P的垂度 逐步消去,就是逐步加支点的过程 55经济平衡 假定有n种生产品P1,…,P。生产一个单位P需要a单位P,如果各产品的数量 是x1,…,x,为了生产这些产品,P类产品的总消耗是 ∑a;,1≤i≤n 能够供给市场的数量是 a计x 因此知道了市场需要b1…,b反回来考虑给各工业的生产指标x1, 也是一个 解线性方程的问题 这类方程当然可以用消去法解,但更好是用叠代法解,关于叠代法将来再谈 §6.线性迴归分析 某一变量ξ决定于n个因素 我们已经做了N次实验得出的实验数据是 我们考虑线性关系 问题是怎样的线性关系,差方和最小,也就是,如果使 求怎样的a使
最小即求 1) 的极小值 ank, b k 我们现在证明 k 的解答x〓;使(1)取最小值 我们现在来证明这一点:如果a1;……,a并不适合于(2)。例如;有一个廴使 1;一b 我们考虑 F(4……·ak-1,a+s,a+1,…,an) ∑a,mP+εn 2 a2)的+8∑( am)+28(b 4:)+e2a 8"d 凑方得 F(4,…,ak-1:+,;…,an F(a,a1,…,an)+a数(6+ 如果a≠0,则F(a1…,a)不是最小值,因为在(3)式中取E akL aRKE FCa 的数值小于F(a1,…,a)的数值了 因此:求迴归平面的问题一变而为解线性方程的问题了 致于要证明,适合于(2)的解一定使F取最小值,这一点的证明不难,如果(2)仅有 个解,当然亳无问题,因为由(3)可知不适合(2)的都不可能使F极小(读者自证 (2)一定有解,并处理(2)有不止一个解的情况) 方程组(2)当然可以用消去法来解但是这是一个有对称系数的联立方程式即 关于这样的方程组我们另有较好的计算方法 以上的证明的优点之一,也许有人会指出,它避开了微积分,直接用初等的“凑方”法 来处理了,实际上,更好的优点在于这个方法介绍了计算数学上的一个重要方法—松弛 法