第四章平面(R2)和空间(R3)中的向量 4.1向量的类型 4.2平面和空间中的向量运算 4.3平面和空间的向量空间 4.4欠定方程在和中的解空间 4.5平面上的线性变换 4.6应用实例 4.7习题
第四章 平面( )和空间( )中的向量 • 4.1 向量的类型 • 4.2 平面和空间中的向量运算 • 4.3 平面和空间的向量空间 • 4.4 欠定方程在 和 中的解空间 • 4.5 平面上的线性变换 • 4.6 应用实例 • 4.7 习题 2 R 3 R 2 R 3 R
4.1向量的类型 n物理向量:向量这个术语起源于物理,用以 表示既有大小又有方向的物理量,如力, 移和速度等。那些只需用一个实数来表示的 物理量,如温度、压力和质量等就称为标量。 义地说,向量要用两个或两个以上的实数 组成的数组来表示其特征,比如它的大小和 方向
4.1 向量的类型 物理向量：向量这个术语起源于物理，用以 表示既有大小又有方向的物理量，如力，位 移和速度等。那些只需用一个实数来表示的 物理量，如温度、压力和质量等就称为标量。 广义地说，向量要用两个或两个以上的实数 组成的数组来表示其特征，比如它的大小和 方向
几何向量:把平面上的物理向量的箭尾A的 坐标值取为(1,2),而把箭头所处的点B的 坐标值取为(b,b2),联接A点到B点的箭头 就称为几何向量。用下式表示: V= AB A称为向量的起点,而B称为向量的终点 这样的几何向量,要用,42,b,b四个实 数才能表示。把向量的箭尾A移到原点,这 时的向量作用线通过了原点,称为位置向 量
几何向量：把平面上的物理向量的箭尾A的 坐标值取为( , )，而把箭头所处的点B的 坐标值取为( , )，联接A点到B点的箭头 就称为几何向量。用下式表示： A称为向量的起点，而B称为向量的终点。 这样的几何向量，要用 , , , 四个实 数才能表示。把向量的箭尾A移到原点，这 时的向量作用线通过了原点，称为位置向 量。 v AB = 1 a 2 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 b b2
B(61, b2 Q(b1,a2) P(b1-a1,b2-a2) A(a1,a2) 图4.1向量和位置向量
图4.1 向量和位置向量
代数向量:把平面中的几何向量v用它在x 和y两个方向的分量和V来表示,写成 表示式: b b 这就是平面中的向量代数表示方法。粗看 起来,它与几何向量的表示法没有太大的 差别,但到了三维以上,几何向量将失去 意义,而代数向量可以无限地扩展,从而 满足工程和经济模型分析的需要。从几何 到代数,也就是从三维向高维抽象的线性 代数方法论
代数向量：把平面中的几何向量v用它在x 和y 两个方向的分量 和 来表示，写成 表示式： 这就是平面中的向量代数表示方法。粗看 起来，它与几何向量的表示法没有太大的 差别，但到了三维以上，几何向量将失去 意义，而代数向量可以无限地扩展，从而 满足工程和经济模型分析的需要。从几何 到代数，也就是从三维向高维抽象的线性 代数方法论。 1 1 2 2 x y v b a v b a − = = − v x v y v
例4.1设 2 V1 4 要求画出这两个向量的图形 解:u和v都是二维空间的列向量。可以用平 面坐标系中的两个点,或从坐标原点引向 这两点的箭头来表示。用手工画是很容易 的,也可以用 MATLAB程序来画,得到的图 形见图42
例4.1 设 要求画出这两个向量的图形。 解：u和v都是二维空间的列向量。可以用平 面坐标系中的两个点，或从坐标原点引向 这两点的箭头来表示。用手工画是很容易 的，也可以用MATLAB程序来画，得到的图 形见图4.2。 1 1 2 2 2 3 , , 4 1 u v u v = = = = − u v
例4.1的 MATLAB画图程序,可表示为程序ea401 U=2;4];V=3;-1 plot(2,3]4,-1],x); hold on%用x号画出两个点 %若装有 ATLAST中的子程序 drawvec,可画向量如下 drawvec(u), hold on %画出向量u drawvec(v,g"); hold off, grid on%画出向量v 图4.2二维空间中的向量
例4.1的MATLAB画图程序，可表示为程序ea401： u=[2;4]; v=[3;-1]; plot([2,3],[4,−1],’x’);hold on% 用x号画出两个点 % 若装有ATLAST中的子程序drawvec，可画向量如下 drawvec(u);hold on % 画出向量u drawvec(v,’g’);hold off,grid on % 画出向量v 图4.2 二维空间中的向量
4.2平面和空间(R和R)中的向量运算 4.21向量的加减 则 uty u,+v u+Y L2+v2 图4.3向量的相加和相减 u-V
4.2 平面和空间( )中的向量运算 4.2.1 向量的加减 则 图4.3 向量的相加和相减 1 1 2 2 , , u v u v = = u v 1 1 2 2 u v u v + = + u + v ， 1 1 2 2 u v u v − − = − u v 2 3 R R 和
4.22向量的数乘 用代数方法表示,设乘数λ为标量,便有若 1 na=lna, I 在亘角坐标系中,向量的几何长度表示为 经过数乘后的向量几何 长渡也达原何长度的数乘: Aay(an)2+(a2)2+(a2)2=x|al
4.2.2 向量的数乘 用代数方法表示，设乘数λ为标量，便有若 则 在直角坐标系中，向量的几何长度表示为 经过数乘后的向量几何 长度也为原几何长度的数乘： 1 2 3 , a a a = a 1 2 3 , a a a = a 222 1 2 3 a = + + aaa 222 1 2 2 a a = + + = ( ) ( ) ( ) a a a
■4.23向量与向量的数量积 两向量u和v的数量积定义为 u·V cos6=v·u 其中θ为两个向量之间的夹角,见图4.5 B lul 图45向量数量积的三角关系
4.2.3 向量与向量的数量积 两向量u和v的数量积定义为 其中θ为两个向量之间的夹角，见图4.5。 图4.5 向量数量积的三角关系 u v u v v u = = cos