序 言 这部书的第一卷终于交印了,它既是急就章又是拖篇.1958年匆匆上马,现想现 写现印现讲,有时写稿不过三遍,仅仅经过起草修改誉正三道手续便拿去付印有时候 校对来不及,就不校对了,因而原讲义上错误百出,疵谬迭见,所以说这是急就章.如果 能专心一志地连续地于下去,那还可能比较好些,但又经常为其它工作所打断,因而写一 段停一停,改一章放一放的情况又经常出现,所以说是拖篇紧紧松松,赶赶拖拖因 而详略不一,前后不贯,轻重失调,呼应不周等毛病在所难免的了 情况是如此,虽然经过同志们的帮助和修改重写,但还可能留下不少后遗症.这样的 草率工作本来不该交印的,但不少同志热情鼓励,几经踌终于把它出版了,希望经过读 者的帮助,人多眼多、想法多,多提意见将来可以改写得更好些 这个课自始至终是和王元同志合开的,他对原稿的形成与改写都提了不少意见,并且 有不少章节都是出诸他的手笔.在共同教学中一些心得已经吸收入我们合著的“积分的 近似计算”一书中(科学出版社1961年初版)1961年龚升吴方等同志又用这讲义教了 一遍,修改了不少,最后定稿又经过曾肯成、以超、史济怀邓诗涛、李调生、刘碧梧等同 志的细心校阅,提了不少意见.个别章节还获得了戴元本陆汝铃、韩京清、周永佩、罗祥 钰、曹传书、吴松林、江嘉禾、李培信、邵秀民陈志华石赫、殷慰萍等同志的帮助,有关这 些我在这儿表示谢意.特别应该一提的是:在最后定稿的时候获得了中山大学吴兹潜、 林伟二同志的帮助,他们一字不苟地校阅推敲,使本书避免不少错误这样的主动地来自 其他院校的帮助只能归功于集体主义的优越性 在写作的过程中参考过熊庆来的“高等算学分析”(1934);苏步青的“微分几何学” (1947);赵访熊的“高等微积分”(1949);孙光远、孙叔平的“微积分学(1952);陈建功 的“实函数论”(1958);杨宗的“数学分析入门”(1958);樊映川等的“高等数学讲义” (1958);陈荩民的“高等数学教程”(1958);关直的“高等数学教程(第一卷)(1959) 江泽坚的“数学分析”(1960);北京大学、复旦大学南京大学及高等数学教科书编审委员 会的“高等数学教程”,我在此致谢其他作为参考的外文书籍不在此一一列举了
在写作的过程中,曾经有过一些努力,企图能更好地体现党对教学改革的方针,但是 由于自己的理论和业务水平,没有能够较好地做到,读者可能发现一些其它书上所没有的 材料,也可能发现一些稍有不同的处理方法,但毕竟是太少了,在谈到这一点的时侯,感 到空虚,并且诚恐会错误百出.大家所公认的、辗转传抄的已经成熟的材料,错误还有时 难免,何况第一次写下来的东西那更使人耽心了,但是还是斗胆地放进书里去,作为引玉 之砖,作为试矢之的,特别是一些高的内容放低了,难的内容改易了,繁的内容化简了的 部分更希望大家指正.但是我个人深信,只要每本书都有些章节改进,集腋成表,我们教 学改革会汇成巨流的,辛勤的点滴劳动,可能是大丰收的预兆 大学教书不是照本讲,因此本书也准备了一些可教可不教的材料教师们可以灵活掌 握,余下的材料可以作为学有余力的同学的课外读物.习题应当做,并且适当地要多做 些,本书没有组织好习题,希望老师们自已设法组织.习题的目的首先是熟练和巩固学 习了的东西;其二是初步启发大家会灵活运用,独立思考;其三是融会贯通出些综合性的 习题把不同部门的数学沟通起来 在教学过程中深得教学相长的益处,其中不少是由于同学所提意见的影响,我把所得 到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考.我讲书喜欢埋些伏笔,把有些重要概念、 重要方法尽可能早地在具体间题中提出,并且不止一次地提出.目的在于将来进一步学 习的时候会较易接受高深的方法,很可能某些高深方法就是早已有之的朴素简单的方法 的抽象加工而已.(有些深化了些,有些并没有深化而仅仅是另一形式而已)我也喜欢生 书熟讲,熟书生温的方法,似乎是在温熟书,但把新东西讲进去了,这是因为一般讲来,生 书比旧课,真正原则性的添加并不太多的原故.找另一条线索把东西重新货穿起来,这 样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透.有时分讲合温,或合讲分温 先把一个机器的零件一一搞清,再看全局,或先看全部机器的作用和目的,再分析要造成 这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明。“数”与“形”的“分”和“合”,“抽象”与“具体 的“分”与“合”都是在反复又反复的过程中不断提高的,同学也要求讲讲“人家怎样想出 来的”,因而在讲书时也曾作过尝试,主观地推测一下,这很可能并不是原来的想法,但给 出一条“这一步看下步并不难,连看几步就达到冒的”的途径,作为同学们的参考 以上一些肤浅的看法在讲课时都尝试过,但绝大部分写不下来,或者写下来就走了 样因此同是一部书,可以多祥讲,讲义作参考,结合同学的实际情况能灵活掌握才好. 拉杂地写了这些意见,与其说是对教师讲的,还不如说是对同学(或自学的入)讲的
总之,由于水平的限制,虽然黾勉从事,但缺点一定不少,我诚挚地希望读者们多提意 见,更希望教师们多多指教 最后特别需要提起的是:由于中国科学院数学研究所党组织的支持,才使我有机会 讲授基础课和编写讲义;在编写过程中,自始至终得到了中国共产党中国科学技术大学 委员会的鼓励、关怀与支持,还给予了具体的帮助,这是我衷心感激的.有了党的鼓励关 怀与支持使我这几年来敢于按照自己的一些肤浅的设想来进行教学的尝试使我这几年 来有勇气把第一次写下来的东西放到课堂上去教。使我这几年来能把这项工作坚持下来 至于中国科技大学教务处、数学系与数学教研室的同事们,在我从事这项工作的时候, 直给我方便与帮助,也在此表示感谢.对科学出版社的感谢,那就更应当在此一提了,他 们花了大量的劳动在制图、编辑加工、排版印刷、校对等方面都做了细致而深入的工作 华罗庚 1962年6月ll日
录 第十一积分学的应用… §1.曲籁的长度 §2.面积 §3.利用橫断谊算体积法 54.旋轉頤的側面积 §5,柱面的侧面积 12 56.求重心…… §7.轉动慣量(或玊方矩)…………… ………16 §8.流体压力…… …………………18 59.功……… …19 第十二章多个变元的函数 52.n雜筌間· §3,邻域……… §4.域………… 356 §5,极限与連犢· 56.域内的連續函数… 57,侃黴商与全微分 29 58.齐大函数… §9.切平面…… 33 §10.沿一定方向的微商 35 §11.高阶俑微商…………… 512.隐函数 §13. Taylor展开…… §14.极大与极小 42 §15.隐函数求极值法 §16.坐标变換 517.三雜空間的几个坐标系 第十三章带变数的趿数及积分 §1.一致收敫………… 55 §2.貫的微分积分…………… 53.囿收斂 54.钣数的-致妆性 §5.一致收斂的一些半别条件 66
§6.一致收斂的Abe及 Dirichlet刖法 §7.Abel定理及 Tauber定理…………… 58.求隐函数的逐漸逼近法 §9.无穿乘积 73 §10.无穿乘积的收效条件…………… 511,无穷乘积的对数 75 §12.无穿乘积的一致收斂 78 513.带参数的积分 §14.积分号下求微分……… 515.积分号下求积分… 516.上下限依于参变数的积分 §17.重貫……………… §18.二重极数 §19.极数的乘积 ,,,,,·,,,,,,,,,p4a、 101 §20,多变数的冪极数 ……103 §21.利用极数解隐囡数… 104 §22.常微分方程的解的存在性与唯一性 ……108 §23.积分方程解的存在性与唯一性……… 110 §24.微分方程租的解的存在性与唯一性………… 112 §25.压箱映象原理 §26.利用幂极数解微分方程… 115 527.微分方程粗 116 §28.偏微分方程 117 第十四章曲辍的微分性攬 121 51.矢量的微商…… ……21 52.平面上的运动… 123 §3.平面曲簌的曲率……… 124 §4.曲餞的本性方程 126 §5,曲率圓与漸屈 129 §6.一般的一阶微分方程 131 §7.包辂钱 …………………134 §8.追踪間題 136 §9.宏間曲的基本元秦… §10.原坐标表示法 141 §11.螺旋籁 143 §12.空問曲的唯一性定理………………………… 14 §13.曲率圓与曲率球 147 §14.曲面族与曲族的包铬 148 第十五章量积分 151
51.重积分的定义………………… 151 §2.可求面积的域 -154 §3.重积分換坐标………………………………………………………………156 54.重积分的基本性 55.三重积分 161 §6.矩 164 §7.曲面的面积 ……167 §8.物对一点的引力 170 补充 174 §9.求面积…………… 174 510.求容积 176 511.求表面积…… 第十六章鬏积分,面积分 19D 51.曲殺积分的定义(第一型)……… …………………190 §2.曲积分(第二型) §3.曲移积分求面积…… 54. Green公式与( cTporpaACKHI公式 198 §5. Stokes公式… 200 §6.与途径无关的曲寝积分 §7.多連通域 §8.筌間与路径无关的殺积分…… §9,流体的稳定流动………………… 第十七章純量場与矢量塌 212 s1.定义 212 §2.三种算子的性盾 213 53.三种算子的迭用……… 214 §4.梯度的几何意义… 215 §5, OcrporpaACKHI- Gauss公式、 Stokes公式的矢量表达形式 56. Nabla算子 57.曲簌坐标及换变数 222 §8.手面場 226 补充…… §9.在流体力学上的应用 23 510.声的传播……… 511.热的传导 237 第十八章曲面的礅分性厦 240 51.代数工具 52. Gauss第一微分型 242 53. Gauss第二微分型 V12
§4.曲面上曲的曲率 §5.点的分类…………… §6,曲率縵 57. Euler公式 §8. Olinde rodrigues公式 59. Dupin定理……… ……252 §10. Gauss曲率的几何意义… 254 §11.曲率中值的儿何意义…… 512.活动标架…… 513.曲面的可展性…… §14.曲面族与偏微分方程 补充用张量分析来处理曲面論… 262 §15.第一基本型 §16.张量……… 263 §17.基本方程之一— Gauss方程……… 266 518.基本方程之一— Weingarten方程 §19, Gauss与 codazzi方程……………… 268 §20.曲率张量……………… 第十九章 Fourier殺数… ……………271 §1.三角函数的正交性 ……271 §2,几个三角殺数的和 §3. Dirichlet积分 …274 §4.方中值醍差及Bese不等式…… 55.收斂判別条件…………………… ………………277 §6.在区間(0,x)上的展开式……… 281 §7. Gibbs現象 …284 §8,均值求和 §9. 等式 §10. Fourier极数可以逐項求积分 511. Fourier系数的性盾 §12, Fourier极数的其他形式 513.实用調和分析—有限調和分析……… 514. Fourier积分…… §15. Fourier变換 §16, Poisson公式…………………… §17. Fourier变換的复数形式… §18.其他变换 第二十章常礞分方程組 §1.化任意的徽分方程粗为一阶微分方程粗 306
52.常微分方程粗 §3.質点的运动方程…………… 310 §4.人造卫垦的軌道方程… 313 §5.軌逍討論——第一、第二宇街速度 316 §6.第三宇宙速度…………………………………… 318 57.質点粗—多体問題 319 58. Lagrange性方程……… 59.篯性方程的一般解………… 326 510.一般一极偏微分方程的解法- Charpit法……… …327 511.上节方法的特例…… 329 索引 橐引二……………………………………………… 336
第十一章积分学的应用 §1.曲耧的长度 弧长的定义.假定A,B是給定的曲耧上的两点,以这两点为端点作这曲的内接 折餞,当这折的边数无限增加,而且每边的长度都趋向于0时,这折掩的周界长趋向的 极限(如果这极限存在的話)叶做这曲在A,B两点之間的弧长。 假定所希的曲餞的参变数表示是 ψ(t) 当t=a及月时所拾出的点就是星点与B点.假定a<B,当4由a变到B时,(x,y)就 沿着曲籁(C)由点A变到点B,又假定q(t)和ψ(t)都有連癥的微商,在弧上取(n+1) 个点 各对应于 f,=B 把M,的坐标記作 p(i,), 則M两与M之間的距等于 )2+(y 因此折餞的总长度等于 φ(a)-q(-)}2+[(x)一虮(t-1)
依定义,A,B围的弧长:等于 im∑√(q(4)-q(4-)+(中()-4(t-)2 由 Lagrange公式,我們有 qp(4)一g( )φ(r), ψ(x)一小(t-)=(t-t-1)(r), 这儿r,r都是(ψ-1,t)之間的值,所以 √(q(2)-q(x-)2+(4(4)-(t=) =(t--)√q(v)+ψ2(x;). √q(x;)+ψ(=√甲(r)+“(+ 則得 =int√q"(r)+ψ(∷)+m}(t-tn-) im∑√q(r)+ψ(x)(-t-)+im∑m(-b-) 前者等于 q2()+ψ2(r)dt 再証后者的极限等于0,由不等式 (这不等式的誑明是 a2+b2 2+ (b-b1)) √a2+bi 可知 ln10,可找到一个8,使当"-引<B时 的(t")-ψ(t 郎当max4-t-1<a时, 因得所証, A,B两点間的弧长可由公式 )+中2(t)d 表出来 如果t是一变点,則 s() g"2()+ψ2()
