数学实验之四 数列与级数 陈发来 中国科学技术大学数学系 2021/1/21
2021/1/21 数学实验之四 数列与级数 陈发来 中国科学技术大学数学系
1、数列与级数 数列 102 9n3 级数 ∑ b.=b,+b+…+b.+… n数列与级数的关系 给定数列(1),令b=a1b=a-an1,则数列 (1)等价于级数(2)。反之,给定级数(2) 令4n=b+2+,则级数(2)等价于数列 2021/1/21
2021/1/21 1、数列与级数 数列 级数 数列与级数的关系 给定数列（1），令 ，则数列 （1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 则级数（2）等价于数列 （1）。 , , , , (1) a1 a2 an (2) bn = b1 + b2 ++ bn + b1 = a1, bn = an − an−1 , n 1 2 n a = b + b +b
给定数列(1),回答以下问题: 1、数列有什么规律与性质? 2、数列的极限是否存在有限? 3、如果数列的极限趋于无穷,那么它趋于无 穷的阶是多大? 4、如果数列的极限不存在,那它在无穷大时 的极限状态又如何? 2021/1/21
2021/1/21 给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无 穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时 的极限状态又如何？
2、 Fibonacci数列 Fibonacci数列由递推关系 Fn+2=Fn+1+Fn,n≥1,F1=1,F2=1 确定。其前十项为: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 5 2021/1/21
2021/1/21 2、Fibonacci数列 Fibonacci数列由递推关系 确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 Fn+2 = Fn+1 + Fn , n 1, F1 = 1, F2 = 1 1 2 3 4 5
为研究 Fibonacci数列的规律,我们在二维平面 上画出顺次连接点列(nF)n=12…N的折 线图。 3000 1000 2021/1/21
2021/1/21 为研究Fibonacci数列的规律，我们在二维平面 上画出顺次连接点列 的折 线图。 (n, Fn ), n = 1,2, ,N 5 10 15 20 1000 2000 3000 4000
易知 3/2Fn1<Fn+2=Fn+1+Fn<2Fn+1 故有的阶在(3/2)与2之间 为进一步研究F的特性,在平面坐标系中画连接 (nogF)n=12…,N的折线图。然后用直线去拟 2021/1/21
2021/1/21 易知 故有 的阶在 与 之间。 为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接 的折线图。然后用直线去拟 合之. 2 1 2 1 2 1 3/ Fn+ Fn+ = Fn+ + Fn Fn+ Fn n (3/ 2) n 2 Fn (n,log(Fn )), n = 1,2, ,N
400 00 100 600 800 1000 gn=-0.803901+0.481211n fn=en=0.447581×1.61803″ 2021/1/21
2021/1/21 200 400 600 800 1000 100 200 300 400 gn = −0.803901 + 0.481211n g n n n f = e = 0.447581 1.61803
猜测 F Cr n 将上式代入递推公式中得 2 1=0 由此 2=(1±√5)/2 Fn=c(1+√5)/2) 然而,上式并不满足F=F2=1 进一步猜测 F n =Cr+cr 2021/1/21
2021/1/21 猜测 将上式代入递推公式中得 由此 然而,上式并不满足 进一步猜测 n n F = cr 1 0 2 r − r − = r1,2 = (1 5)/ 2 n n F = c((1+ 5)/ 2) F1 = F2 = 1 n n n F c r c r = 1 1 + 2 2
由此得 Fn=(1+5)/2)y-(1-√5)/2)y)/5 可以验证上式是 Fibonacci数列的通项.由此, Fibonacci数列趋于无穷的阶为 Fn≈(1+√5)/2)/√5 2021/1/21
2021/1/21 由此得 可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此， Fibonacci数列趋于无穷的阶为 ((1 5)/ 2) ((1 5)/ 2) )/ 5 n n Fn = + − − ((1 5)/ 2) / 5 n Fn +
般地,给定数列的递推关系 n+k=/k2=1n+k-1+…/0 假设 a= cr 则〃满足 k=-…-/0=0 2021/1/21
2021/1/21 一般地, 给定数列的递推关系 假设 则 满足 0 0 1 − 1 − − = − − k k k r r n n a = cr an+k = k−1 an+k−1 +0 an r