第九讲
第九讲
533解对初值的连续性和 可微性定理 一,解对初值的连续性 二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性
§3.3 解对初值的连续性和 可微性定理 一、解对初值的连续性 二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性
解对初值的连续性
一、解对初值的连续性
问题的提出:对于做分方程 =f(x,y),(x,y)∈G dx 我们讨论了解的存在唯一性定理及解的延拓定理,其中G为平面R2 上一个区域如果f(x,y)在G内连续且关于y满足局部 Lipschi条件, 则对任意的(xy)∈G, Cauchy问题 X y(Xo)=y 存在唯一的饱和解现在让(x,y)在G内变动则上述 Cauchy问题的解 般也要随之变动
例如:对于Cauc问题: dx 它的解为y=y
因此一般而言, Cauchy问题的解不仅与x有关,而且还与初值 (xy)有关.为了明确起见,也常把 Cauchy问题的解表示为 y=g(x,x0,y0)并且它具有下列性质 性质1:叭(;,))=y; 性质2:关于初值的对称性设微分方程中=f(xy,、xy∈G的满足初 始条件y(x)=0的解是唯一的记为y=g(x,y),则在此表达式中, (xy)与(,y0)的地位是对称的,即在解的存在范围内成立关系式: y0=卯(x0;x,y)
这里出现了一个在理论上与应用上都很重要的问题:当初值发生 变化时对应的解是如何变动的?根据所考虑的解的存在范围是否有 限分成下面两种问题 问题1:在某个有限闭区间a上有定义讨论初值(xn)的微小变化 对解的影响情况称为解对初值的连续性内容包括当初值发生小的 变化时所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上 是否也变化很小? 问题2:在某个无限闭区间如a+o)上有定义讨论初值(xy)的微小 变化是否导致解在[a,+0)有定义以及解在整个区间[a,+∞)上变化很小? 这种问题称为解的稳定性问题将在第六章中讨论
现在来讨论问题在于为此先给出两个引理 引理1( Bellman不等式):设g(x)为闭区间[ab]上的非负连续函数, xo∈[a,b],若存在≥0k20,对任意的x∈a的]使得 g(5+68l 则对任意的x∈[a,b],g(x≤&e4-l
在介绍第二个引理之前先给出下面的定义 定义1:设B,B2CR2,令 d(,B2)=if∨x1-x2)2+(y1+y2)2|(x,n)∈E1x2y2)∈B2 则称d(B1,E2)为B,E2之间的距离 引理2:设CR2是有界闭集(也称紧致集,B2cR2是闭集,且 B1∩B2=,则 d(21,22)>0
定理1解对初值的连续依赖性定理):对于定义在平面2上一个区域 G中的做分方程 =f(x,y). 设∫(x,y)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件.如果(xy0)∈G 且cauc问题 f(x,y) V(Xo)=> 的解y=g(xx0,y0)在某个闭区间a,b]上有定义,则对任意的>0,存在 8=8(ab)>0,对任意的(x∈G,只要x-x)2+(y-y)2≤6,使得 Cauc问题: a dr(x,y) y(x=y 的解y=9(x,在[a上也有定义,且对任意的x∈[ab],恒成立 (xx,y)-以(xx0,y0)<E