第十二讲
第十二讲
第四章高阶微分方程 54.1线性微分方程的一般理论 542常系数线性微分方程的解法
第四章 高阶微分方程 §4.1 线性微分方程的一般理论 §4.2 常系数线性微分方程的解法
54.1线性微分方程的一般 理论 解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 非齐线性方程与常数变易法
§4.1 线性微分方程的一般 理论 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
解的存在唯一性定理
一、解的存在唯一性定理
定义1:称形式为 anx+…+a d t d t 的)+an(x= 的微分方程是n阶线性微分方程,其中x是未知函数,t是自变量, a(X=12…,n)及f(都是定义区间上已知的连续函数 当f(=0时,(1)变成 +a,()y+ )-+an()x=0 (2 称(2为n阶齐线性微分方程,简称为齐线性方程而称一般的方程(1) 为n阶非齐线性微分方程,简称为齐线性方程并且通常把2)叫做对 应于方程(1)的齐线性方程
定理1c解的存在唯一性定理)对于n阶线性微分方程(1),如果 a()=12…,)及f(都是区间句上的连续函数则对任意的t∈[a 及常数x鸡…,下列cauc问题4 下x +a,()n f +an(x=f( (3 x()=x,x(6)=鸡D,…,x0()= 在[a,存在唯一解
、齐线性方程的解的 结构与性质
二、齐线性方程的解的 结构与性质
对于n阶齐线性方程 d X +a +an(,+ a, x=0 (2 dt dt 定理2(加原理:如果x(1,x2(1)…,x(是方程(2)的解,则它们的线 性组合x(+c2x)+…+x()也是(2)的解,其中,c2…c是任意常数4 若令 x(t)|x(t)是(2的解 即v是(2)的所有解构成的解集合则v是一个线性空间,且是全体连续 函数空间C的一个子空间4
间题:v的维数是多少?若是有限维的它的基底是什么?
定义2:称个函数p(t,p、t)…,(在区间上是线性相关的如果 存在不全为0的个常数G,e2…使得60(+c9()+…+C294(=0对 于所有te[a恒成立.否则称,9(),…,(在区间a上是线性 无关的