Liapunov第二方 法
Liapunov第二方 法
、按华性近爆判海非续性袋分方禄解的稳定性的缺陷 sin y=xt In y +9=x x(x y=x-yx+y 线性化系统为: 、考虑无阻力数学摆 x sIn x
一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + + + = − + + + sin . 1, sin . sin , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 r r r x y y x y x y x y x y x x y k ( ) ( ) = − = = − + = − − + . 1, . , 2 2 3 2 2 y x y x y r r x y x x y 线性化系统为： = = − . , y x x y 二、考虑无阻力数学摆 = − = sin . , x l g y x y
ydy=- sin xdx=y+9(1-coS x)=C 2I 取函数 V(x,y) )=y2+2(1-cosx) 2 性质:1.(0,0)=0 当00 心12(-cosx)=c(0<c<1)为一族闭曲线且随 c→0t,闭曲线收缩到原点 dv(x(o),y(t) =V(x(),y()x+V、(x(t),y()j dt y(tsin x(o)+y(o sin x(=0
(1 cos ) . 2 1 sin 2 x c l g xdx y l g ydy = − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( )( sin ( )) 0. ( , ) ( , ) ( , ) = + − = + x t l g y t x t y t l g V x t y t x V x t y t y dt dV x t y t x y 取函数 性质: 2. 0 , \ {0} , ( , ) 0. 1. (0,0) 0. = x y R V x y V 当 时 0 , . (1 cos ) (0 1) , 2 1 2 闭曲线收缩到原点 为一族闭曲线 且随 → + + − = c x c c l g y (1 cos ) 2 1 ( , ) 2 x l g V x y = y + −
从t到t积分得 T(x()y()=V(x(0),y(o) →相平面上经过曲线(x,y)=(x(0)y( 上的点轨线将沿此曲线走 思考:d(x()y() <0(≥0)? Liapunovν第二方法思想:构造特殊函数,通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性 特殊函数 Liapunov函数 Liapunovν第一方法:直接把解表示成级数形式
( ( ), ( )) ( ( ), ( )). 0 0 0 V x t y t V x t y t t t = 从 到 积分得 ( ) ( ) . ( , ) ( , ) 0 0 上的点轨线将沿此曲线走 相平面上经过曲线V x y = V x t y t ( ) ( ) 0 ( 0) ? ( , ) : dt dV x t y t 思考 Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性． 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式
、 Liapunov第二方法的一般理论 d=(x) (6.34) 其中 x1 f1(x1 n x f2(x,x2,…xn 142 x f(0)=0.f(x)在某区域G:|≤A为正常数内 有连续偏导数
三、 Liapunov第二方法的一般理论 ( ) (6.34) f x dt dx = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( ) : 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n f x x x f x x x f x x x f x x x x x 其中 . (0) 0. ( ) : ( ) 有连续偏导数 f = f x 在某区域G x A A为正常数内
定义假设(x为在域叫≤F内定义的一个连续函数 V(0)=0如果在此域内恒有(x)≥0,则称函数V 为常正的如果对一切≠0,都有V(x)>0,称函数 V为定正的如果函数-V是定正(常正),则称函 数V是定负(常负的 函数(x)通过方程(634)的全导数为 d、aax i=1 ar, dt 例 V(x, y)=(x-y 常正 V(x,y)=y2+8(1-cosx).定正 V(x, y)=ax+bxy+cy a>0.,4ac-b2>0.定正 a0.定负 V(x,y)=y+g(s)ds, xg(x)>0 定正 2 0
( ) . . ( ), , 0, ( ) 0, (0) 0. ( ) 0, : ( ) , 数 是定负 常负 的 为定正的 如果函数 是定正 常正 则称函 为常正的 如果对一切 都有 称函数 如果在此域内恒有 则称函数 定义 假设 为在域 内定义的一个连续函数 V V V x V x V V x V V x x H − = . ( ) (6.34) 1 1 = = = = n i i i n i i i f x V dt dx x V dt dV 函数V x 通过方程 的全导数为 ( ) 定正 定负 定正 定正 例 常正 ( ) , ( ) 0. 2 1 ( , ) 0, 4 0. 0, 4 0. ( , ) (1 cos ). 2 1 ( , ) ( , ) . 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − − = + + = + − = − + V x y y g s ds x g x a ac b a ac b V x y ax bxy c y x l g V x y y V x y x y y x
一定理5如果对微分方程组(634)可以找到一个定正函数(x), 其通过(634的全导数为常负或恒等于零则方程 组634零解是稳定的 如果找到一个定正函数(x),其通过(634全导数 为定负则方程组(634的零解是渐进稳定的 如果存在一个函数V(x)和某非负常数其通过(634) 的全导数一可表为 dt 业(天)+W(x) 且当=O时,W为定正函数而当4≠0,W为常正函数 或恒等于零而在x=0的任意小邻域内都至少存在某 个x,使V(x)>0,则方程组(634零解是渐进稳定的
, ( ) 0, (6.34) . ; 0 0 , , 0, ( ) ( ) ( ) , (6.34) , (6.34) . ( ), (6.34) (6.34) . (6.34) , 5 (6.34) ( ), 个 使 则方程组 的零解是渐进稳定的 或恒等于零 而在 的任意小邻域内都至少存在某 且当 时 为定正函数 而当 为常正函数 的全导数 可表为 如果存在一个函数 和某非负常数 其通过 为定负 则方程组 的零解是渐进稳定的 如果找到一个定正函数 其通过 的全导数 组 的零解是稳定的 其通过 的全导数 为常负或恒等于零 则方程 定理 如果对微分方程组 可以找到一个定正函数 = = = + x V x x W W V x W x dt dV dt dV V x dt dV V x dt dV V x
例考虑二阶微分方程 y+oa y=x+a 取(xy)=2(x2+y2)则=a(2+y) -0 定负,(0,0)渐进稳定, 0,(0,0)稳定, d al> >0,(0,0)不稳定 例考虑二阶微分方程 x=a=xy 取(x,y)=xm+yn(m,n待定),则有 mx"m-(lax-xy2)+nym-1(2x4y) dt
( ) ( ) 0, 0, (0, 0) . 0, 0, (0, 0) , 0, , (0, 0) , , . 2 1 ( , ) . , 2 2 4 4 3 3 = = + = + = + = − + 不稳定 稳定 定负 渐进稳定 取 则 例 考虑二阶微分方程 dt dV dt dV dt dV x y dt dV V x y x y y x y x y x mx (ax x y ) ny ( x y) dt dV V x y x y m n y x y x ax x y m n m n 1 2 1 4 4 2 2 ( , ) ( , ), 2 . , − − = − + = + = = − 取 待定 则有 例 考虑二阶微分方程
anx mx"y2+2nx y" 令m=4,n=2,此时(x,y)为定正函数,且 4c a 0,一,定负,(0,0)渐进稳定, →a=0 0,(0,0)不稳定, a>0,>0,(0,0)不稳定
m m n mx mx y nx y 2 4 = − + 2 4 . 4, 2, ( , ) 4 x dt dV m n V x y ， = 令 = = 此时 为定正函数 且 = 0, 0, (0, 0) . 0, 0, (0, 0) , 0, , (0, 0) , 不稳定 不稳定 定负 渐进稳定 dt dV a dt dV a dt dV a
定理6如果存在定正函数(x),其通过(634全导 数“为常负,但使“()=0的点的集中除零解 x=0外并不包含方程组(634)的整条正半轨线,则方 程组(634舶零解是渐进稳定的
。 x ， x dt dV x dt dV V x 程组 的零解是渐进稳定的 外并不包含方程组 的整条正半轨线 则方 数 为常负 但使 的点 的集中除零解 定理 如果存在定正函数 其通过 的全导 (6.34) 0 (6.34) 0 ( ) , 6 ( ), (6.34) = =