《常微分方程》期终试卷（二）

常微分方程期终试卷(2) 学院 班级 姓名-号---总分----- 、填空题30% 1、形如--的方程,称为变量分离方程,这里.f(x)q(y)分别为xy的连续函数。 2、形如 的方程,称为伯努利方程,这里P(x)Q(x)为x的连续函 数n≠0.1是常数。引入变量变换 可化为线性方程。 3、如果存在常数L>0,使得不等式 对于所有 (x,y1),(x,y2)∈R都成立,L称为利普希兹常数。函数∫(x,y)称为在R上关 于y满足利普希兹条件。 4、形如----的方程,称为欧拉方程,这里a1,a2,是常数。 5、设叭(1)是x'=Ax的基解矩阵,q()是x'=A()x+f(1)的某一解,则它的任 解y(1)可表为 、计算题40% 1、求方程少=62-x的通解。 2、求方程+=e的通解 dx 3、求方程x"+6x+5x=e2的隐式解。 4、求方程=x+y2通过点(00)的第三次近似解。 证明题30% 1试验证Φ(t) 是方程组x 在任何不包含原点的区间 a≤t≤b上的基解矩阵。 2设Φ()为方程x=Ax(A为nxn常数矩阵)的标准基解矩阵(即Φ(0)=,证明 Φ(t)Φ(ta)=Φ(-to)其中to为某一值

常微分方程期终试卷(2) 学院--------- 班级--------- 姓名----------学号-------------- 总分----------- 一、填空题 30% 1、 形如-----------的方程，称为变量分离方程，这里. f (x).( y) 分别为 x.y 的连续函数。 2、 形 如 ----------- 的方程，称为伯努利方程，这里 P(x).Q(x)为x 的连续函 数.n  0.1是常数。引入变量变换 − − − − − − −，可化为线性方程。 3、 如果存在常数 L  0,使得不等式 --------------------- 对于所有 （x, y1 ),(x, y2 )  R都成立，L称为利普希兹常数。 函数 f (x, y) 称为在 R 上关 于 y 满足利普希兹条件。 4、 形如------------------的方程，称为欧拉方程，这里 a1 , a2 ,是常数。 5、 设 (t)是x  = Ax的基解矩阵，(t)是 x  = A(t)x + f (t) 的某一解，则它的任一 解  (t)可表为---------------------。 二、计算题 40% 1、 求方程 6 xy 2的通解。 x y dx dy = − 2、 求方程 xy e x y dx dy + = 的通解。 3、 求方程 t x x x e 2 ' '+6 '+5 = 的隐式解。 4、 求方程 x y 2通过点（0、0）的第三次近似解。 dx dy = + 三、证明题 30% 1.试验证 (t) =       2 1 2 t t t 是方程组 x ' =         − t t 2 2 0 1 2 x,x=       2 1 x x ，在任何不包含原点的区间 a  t  b 上的基解矩阵。 2.设 (t) 为方程 x ' =Ax（A 为 n  n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即  （0）=E），证明: (t) −1  (t 0 )=  (t- t 0 )其中 t 0 为某一值

《常微分方程》期终试卷答卷 填空题(每空5分) 1=f(x)p(y) P(x)y+o(x)y 3/(x, y)-f(x, 22)slY, 4、x y d-y+…+an-dx +ay=0 5、y()=p(1)+q(1) 、计算题(每题10分) 1、这是n=2时的伯努利不等式,令z=y-,算得 d 6 代入原方程得到 +x,这是线性方程,求得它的通解为 带回原来的变量y,得到一= 或者 =c,这就是原方程的解 此外方程还有解 一xy xdy=(xe -y)dx xdy+ ydx=xe dx dxy d x dh 积分:-e=x2+c 故通解为:x2+e+c=0 解:齐线性方程x"'+6x+5x=0的特征方程为2+62+5=0 A1=-1,2=-5,故通解为x()=ce-+c2e-

《常微分方程》期终试卷答卷 一、填空题（每空 5 分） 1 f (x) ( y) dx dy =  2、 n P x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) z= n y 1− 3 ( , ) ( , ) 1 2 f x y − f x y 1 2  L y − y 4、 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dx dy a x dx d y a x dx d y x n n n n n n n n  5、 (t) = (t) +(t) 二、计算题（每题 10 分） 1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= −1 y ,算得 dx dy y dx dz −2 = − 代入原方程得到 z x dx x dz = − + 6 ，这是线性方程，求得它的通解为 z= 8 2 6 x x c + 带回原来的变量 y，得到 y 1 = 8 2 6 x x c + 或者 c x y x − = 8 6 8 ，这就是原方程的解。 此外方程还有解 y=0. 2、 解： x xe y e xy dx dy xy xy − = − = xdy xe y dx xy = ( − ) xdy ydx xe dx xy + = dxy xe dx xy = xdx e dxy xy = 积分： e x c xy − = + − 2 2 1 故通解为： 0 2 1 2 + + = − x e c xy 3、 解：齐线性方程 x' '+6x'+5x = 0 的特征方程为 6 5 0 2  +  + = ， 1 = −1,2 = −5 ，故通解为 t t x t c e c e 5 1 2 ( ) − − = +

λ=2不是特征根,所以方程有形如x(1)=Ae2 把x(1)代回原方程4e+12Ae2+5Ae2=e2 A 于是原方程通解为x()=ce-+c2e-+;e 21 解0(x)=0 91(x)=x+g(x)x=2 2(x)=「x+12(x)ltx 0(x)=[x+92(x)x 2201604400 证明题(每题15分) 1、证明:令Φ()的第一列为q1(0,这时g( 229(q()是一 2 个解。同样如果以q2()表示①(第二列,我们有2(0 2|2(这样2 也是一个解。因此Φ()是解矩阵。又因为detp(t)=t2故Φ()是基解矩阵。 2、证明:(1)(),中(-to)是基解矩阵。 (2)由于Φ()为方程x=Ax的解矩阵,所以Φ()中(t0)也是x=Ax的解矩阵, 而当t=t0时,Φt0)Φ-(t0)=E,Φ(t-t0)=(0)=E.故由解的存在唯一性定理,得 =(t-t0)

 = 2 不是特征根，所以方程有形如 t x t Ae 2 ( ) = 把 x(t) 代回原方程 t t t t Ae Ae Ae e 2 2 2 2 4 + 12 + 5 = 21 1 A = 于是原方程通解为 t t t x t c e c e e 5 2 1 2 21 1 ( ) = + + − − 4、 解  0 (x) = 0  = + = x x x x x dx 0 2 2 1 0 2  ( ) [  ( )] 2 20 ( ) [ ( )] 5 0 2 2 2 1 x x x x x dx x = + = +    2 20 160 4400 ( ) [ ( )] 5 8 11 0 2 2 3 2 x x x x x x x dx x = + = + + +    三、证明题（每题 15 分） 1、证明：令 (t) 的第一列为  1 (t)=         t t 2 2 ,这时 '  1 (t)=         2 2t =         − t t 2 2 0 1 2  1 (t)故  1 (t)是一 个解。同样如果以  2 (t)表示 (t) 第二列，我们有  2 (t)=         0 1 =         − t t 2 2 0 1 2  2 (t)这样  2 (t) 也是一个解。因此 (t) 是解矩阵。又因为 det (t)=-t 2 故 (t) 是基解矩阵。 2、证明：（1） (t), (t- t 0 )是基解矩阵。 （2）由于 (t) 为方程 x ' =Ax 的解矩阵，所以 (t) −1  (t 0 )也是 x ' =Ax 的解矩阵， 而当 t= t 0 时，  (t 0 ) −1  (t 0 )=E,  (t- t 0 )=  （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t) −1  (t 0 )=  (t- t 0 )