常微分方程期末测试卷(15) 班级: 学号: 姓名: 得分: 一、填空(每空3分) 1、 称为一阶线性方程,它有积分因 子为 其通解 2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果 3、若x1(t),x2(t)…,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条 件是 4、形如 的方程称为欧拉 方程。 5、若(t)和(t)都是x2=A(t)x的基解矩阵,则()和()具有的关 系: 6、若向量函数g(ty)在域R上 ,则方程组 g(ty)o(to,yo)=y的解φ存在且惟一。 7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部 ,零 解是稳定的,对应的奇点称为 二、求下列方程的解 1、(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0(6分) 2、ydx-xdy=(x2+y2)dx(8分) 3、y2(y-1)=(2-y)2 (8分)
常微分方程期末测试卷(15) 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、 填空（每空 3 分） 1、 称为一阶线性方程，它有积分因 子 ， 其 通 解 为 。 2、函数 f (x, y) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 。 3、若 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条 件是 。 4、形如 的方程称为欧拉 方程。 5 、 若 (t) 和 (t) 都 是 x' = A(t)x 的基解矩阵，则 (t) 和 (t) 具有的关 系： 。 6、若向量函数 g(t; y) 在域 R 上 ，则方程组 0 0 0 0 g(t; y), (t ;t , y ) y dt dy = = 的解 存在且惟一。 7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零 解是稳定的，对应的奇点称为 。 二、 求下列方程的解 1、 ( 3 ) (4 ) 0 2 y − x dx − y − x dy = （6 分） 2、 ydx xdy (x y )dx 2 2 − = + （8 分） 3、 2 2 y ( y'−1) = (2 − y') （8 分）
(8分) 5、x"+6x+5x=e (6分) 6 (8分) (8分) 三、求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性(8分) d x =2x-7y+19 dr x-2y+5 答案 填空(每空4分) dy P(x)y+o(x) 方程 y=e go(x)e P(x)dx dx +c) 2、存在常数L>0,使得V(x,y1)(x2,y2)∈R,有 If(x, y)-f(,y2)sLy-y2l 3、wx1(,x2(t)2…x,、()]≠=0 y +ax +…+an-1x+any=0 5、平()=Φ()C(C为非奇异方程) 6、连续且关于y满足利普希兹条件 7、等于零,稳定中心 二、求下列方程的解 1、(6分)解:-3x2dx+(yatx+xdy)-4yuh=0 d(
4、 xy e x y dx dy + = （8 分） 5、 t x x x e 2 ' '+6 '+5 = （6 分） 6、 t x x 3 sin 1 ' '+ = （8 分） 7、 2 ' 1 ' ' x x = （8 分） 三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分） = 2 − 7 +19, = x − 2y + 5 dt dy x y dt dx 答案 一、 填空（每空 4 分） 1、 形 如 P(x) y Q(x) dx dy = + 的 方 程 ， −P x dx e ( ) ， + = − ( ( ) ) ( ) ( ) y e Q x e dx c P x dx P x dx 2、 存在常数 L 0 ，使得 (x1 , y1 ),(x2 , y2 ) R ， 有 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 3、 wx1 (t), x2 (t),xn (t) 0 4、 n n n dx d y x 1 1 1 1 − − − + n n n dx d y a x + + −1 + a y = 0 dx dy a x n n 5、 (t) = (t)C （C 为非奇异方程） 6、 连续且关于 y 满足利普希兹条件 7、 等于零，稳定中心 二、 求下列方程的解 1、（6 分） 解： 3 ( ) 4 0 2 − x dx + ydx + xdy − ydy = ( ) (2 ) 0 3 2 d −x + dxy − d y =
故方程的通解为-x3+xy-2y2 2、(8分)解:两边除以y2 +1dx 变量分离 x 两边积分: arcing-=x+c 3、(8分)解令2-y=y,则y=2-y 于是y2(2-yt-1)=(y)2 得y 1+t 两边积分x=-+c X=-+C 于是,通解为 8分)解
故方程的通解为 − x + xy − y = c 3 2 2 2、（8 分）解：两边除以 2 y ： dx y x y ydx xdy + = − 1 2 2 = y x d dx y x + 1 2 变量分离： dx y x y x d = + 1 2 两边积分： x c y x arctg = + 即： tg(x c) y x = + 3、（8 分）解：令 2 − y' = yt, 则 y' = 2 − yt 于是 2 2 y (2 − yt −1) = ( yt) 得 t t y 2 1− = 2 2 y' = 2 − yt = 2 − (1− t ) =1+ t 即 2 1 t dx dy = + dt t dt t t t t t t d t dy dx 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = − + − − = + − = + = 两边积分 c t x = + 1 于是，通解为 − = = + t t y c t x 2 1 1 4、（8 分）解： x xe y e xy dx dy xy xy − = − =
小+yahx dx 积分 故通解为:-x2+e 5、(6分)解:齐线性方程x“+6x+5x=0的特征方程为2+61+5=0 A1=-1,n2=-5,故通解为x()=c1e+c2e- =2不是特征根,所以方程有形如x(t)=Ae2 把x()代回原方程4Ae2+12Ae2+5Ae2=e2 于是原方程通解为x(1)=ce-+c2e-+,e2 6、(8分)解:齐线性方程的特征方程为x2+1=0,解得=± 于是齐线性方程通解为x()=c1cost+c2sint 令x(t)=c1(t)cost+c2()sint为原方程的解,则 CI(Cost +C2(Osint=0 CI(Osint +c2(t)cost= 得c'() 2() 积分得;c1()=cgt+r1c2()= cOS- I 故通解为x(t) t r cost +r sin t 2 sin t
xdy xe y dx xy = ( − ) xdy ydx xe dx xy + = dxy xe dx xy = xdx e dxy xy = 积分： e x c xy − = + − 2 2 1 故通解为： 0 2 1 2 + + = − x e c xy 5、（6 分）解：齐线性方程 x' '+6x'+5x = 0 的特征方程为 6 5 0 2 + + = ， 1 = −1,2 = −5 ，故通解为 t t x t c e c e 5 1 2 ( ) − − = + = 2 不是特征根，所以方程有形如 t x t Ae 2 ( ) = 把 x(t) 代回原方程 t t t t Ae Ae Ae e 2 2 2 2 4 + 12 + 5 = 21 1 A = 于是原方程通解为 t t t x t c e c e e 5 2 1 2 21 1 ( ) = + + − − 6、（8 分）解：齐线性方程的特征方程为 1 0 2 + = ，解得 = i 于是齐线性方程通解为 x(t) c cost c sin t = 1 + 2 令 x(t) c (t) cost c (t)sin t = 1 + 2 为原方程的解，则 − + = + = t c t t c t t c t t c t t 1 2 3 1 2 sin 1 '( )sin '( ) cos '( ) cos '( )sin 0 得 t c t 1 2 sin 1 '( ) = − ， t t c t 2 3 sin cos '( ) = 积分得； 1 1 c (t) = ctgt + r 2 2 2 sin 1 2 1 ( ) r t c t = − + 故通解为 r t t t x t cos sin cos ( ) 1 2 = + r t t sin sin 1 2 1 − + 2
7、(8分)解:x=y则x=y 从而方程可化为y ,y=÷x+c 积分得y=x 三、求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性(8分) 解:解方程组 y+19=0 解得 x-2y+5=0 所以(1,3)为奇点 令X=x-1,Y=y-3 dX 则一=2X-7Y X-2Y 而A A-27 令P(4)=|E-4 =2+3=0,得=±3i 12+2 λ1,A2为虚根,且α=0,故奇点为稳定中心,零解是稳定的
7、（8 分）解： x' = y 则 dx dy x' ' = y 从而方程可化为 dx y dy y 2 1 = ， 3 1 2 3 y = x + c ， 3 1 2 3 ' x = x + c 积分得 3 1 2 3 y = x + c 三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分） 解：解方程组 − + = − + = 2 5 0 2 7 19 0 x y x y ，解得 = = 3 1 y x 所以（1，3）为奇点。 令 X = x −1,Y = y − 3 则 X Y dt dX = 2 − 7 X Y dt dY = − 2 而 0 1 2 2 7 − − A = ， 令 3 0 1 2 2 7 ( ) 2 = + = − + − = − = p E A ，得 = 3i 1 2 , 为虚根，且 = 0 ，故奇点为稳定中心，零解是稳定的