常微分方程期终试卷(13) 一、选择题 1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是() 个.(A) (B)n-1 ()n+1 (D)n+2 2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 ()条件 (A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充 分 3.方程=1-y2过点(,1)共有()个解 (A)一 (B)无数(C)两 (D)三 4.方程=y-x+x()奇解 (A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个 5.方程=的奇解是() (A)y=x(B)y=1(C)y=-1(D)y=0 二、计算题 1.xy=)x2+y2+y 2. tgydx-ctydy=0 3. (x+2y)dx-xdy =0 4.y= =+1 dx x 5. Ydx+(+In x)dy 0 x 三、求下列方程的通解或通积分 1.y=x(1-y2)
常微分方程期终试卷(13) 一、选择题 1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ） 个．（A） n （B） n -1 （C） n +1 （D） n +2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 （ ）条件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充 分 3. 方程 2 1 d d y x y = − 过点 , 1) 2 ( 共有（ ）个解． （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4．方程 y x x x y = − + d d （ ）奇解． （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5．方程 y x y = d d 的奇解是（ ）． （A） y = x （B） y = 1 （C） y = −1 （D） y = 0 二、计算题 1.x ' y = 2 2 x + y +y 2.tgydx-ctydy=0 3. (x + 2y)dx − xdy = 0 4. 1 d d = + x y x y 5. d ( ln )d 0 3 x + y + x y = x y 三、求下列方程的通解或通积分 1. (1 ) d d 2 x y x y y = −
dy d 3. dy 四.证明 1设y(x),y2(x)是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解,且满足y1(x)=y2(x0)=0,y(x)≠0,这里p(x)g(x)在(-,+∞) 上连续,x∈(-,+∞),试证明:存在常数C使得y2(x)=Cy(x) 2.在方程y”+p(x)y+9(x)y=0中,已知p(x),q(x)在(-,+∞)上连 续求证:该方程的任一非零解在xy平面上不能与x轴相切. 试卷答案 选择题 1.A2.B3.B4.C5.D 二、计算题
2. 2 ( ) d d x y x y x y = − 3. x y x y 2 3 e d d + = 四．证明 1.设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，且满足 ( ) 1 0 y x = ( ) 2 0 y x =0， y1 (x) 0 ，这里 p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续， ( , ) x0 − + ．试证明：存在常数 C 使得 ( ) 2 y x =C ( ) 1 y x ． 2．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x) ， q(x) 在 (−, + ) 上连 续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切． 试卷答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 二、计算题
1.解:将方程改写为y=1-2+2(*)令u=,得到 y=xn+,则(*)变为x=-m,变量分离并两边积 分得 arcsin=lnl+1lnC,故方程的解为 arcsin=lnCx 2.解:变量分离 ctgxdy= tgydx,两边积分得 ln(siny)=1 n/cos x+或 sinycosx=C(*)另外,由 tgy=0或ctgx=0得y=kr(k=0、1…),x=tx+x(t=0、 )也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当 C=0时的特殊情况,故原方程的解为 Siny coSx=C 3.方程化为 令 y=xu 9 则 =l+x 代入上式,得 l 分量变量,积分,通解为 原方程通解为 x 4.解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 C(x)x 代入原方程,确定出c(x)=lx+C
1． 解：将方程改写为 ' y = 2 1 x y − + x y （*） 令 u= x y ,得到 ' y =x ' u +u,则(*)变为 x dx du = 1− u , 变量分离并两边积 分 得 arcsinu=ln u +lnC, 故 方 程 的 解 为 arcsin x y =lnCx。 2． 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两 边 积 分 得 ln(siny)=-ln cos x +C 或 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1…) ，x=t + 2 (t=0、 1…)也是方程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。 3. 方程化为 x y x y 1 2 d d = + 令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入上式，得 u x u x = 1+ d d 分量变量，积分，通解为 u = Cx −1 原方程通解为 y = Cx − x 2 4．解 齐次方程的通解为 y = Cx 令非齐次方程的特解为 y = C(x)x 代入原方程，确定出 C(x) = ln x + C
原方程的通解为 5.解因为M=1=,所以原方程是全微分方程 取(x,y)=(1,0),原方程的通积分为 ∫yd=C即yhn刘 三、求下列方程的通解或通积分 1.解当y≠1时,分离变量得 等式两端积分得 dy= xdx+CI C=±e 方程的通积分为 y=l-Ce 2.解令y=x,则y=n+x,代入原方程,得 d u+x 当u≠0时,分离变量,再积分,得 =Inx+C,u= InIx+C
原方程的通解为 y = Cx + x ln x 5．解 因为 x N y x M = = 1 ，所以原方程是全微分方程 取 ( , ) (1, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y y C x x y y + = 0 3 1 d d 即 y x + y = C 4 4 1 ln 三、求下列方程的通解或通积分 1．解 当 y 1 时，分离变量得 y x x y y d d 1 2 = − 等式两端积分得 2 d d 1 1 y x x C y y = + − 1 2 2 2 1 ln1 2 1 − y = x + C 1 2 2 2 1 e , e x C y C C − − − = = 方程的通积分为 2 1 e 2 x y C − = − 2．解 令 y = xu ，则 x u y u x d d = + ，代入原方程，得 2 d d u u x u u + x = − ， 2 d d u x u x = − 当 u 0 时，分离变量，再积分，得 C x x u u − = + d d 2 x C u = ln + 1 ， x C u + = ln 1
即通积分为:y=,x lx 3.解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 y=C( 代入原方程,确定出c(x)=e+c 原方程的通解为 四.证明 1.证明设(x),y2(x)是方程的两个解,则它们在(-∞,+∞)上 有定义,其朗斯基行列式为 1(x)y2(x) 由已知条件,得 1(x)y2(x0)0 0 W(x0) y(x)y(x)y(x0)y所少0 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义,存在 不全为零的常数a,a2,使得 a1y(x)+a2y2(x)=0,x∈(-∞,+∞) 由于y(x)≠0,可知a2≠0,否则,若a2=0,则有a1y(x)=0,而 y(x)≠0,则a1=0,这与y(x),y2(x)线性相关矛盾.故 y2(x) y1(x)=Cy1(
即通积分为： x C x y + = ln 3．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 四．证明 1.证明 设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的两个解，则它们在 (−, + ) 上 有定义，其朗斯基行列式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x W x = 由已知条件，得 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = = = y x y x y x y x y x y x W x 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在 不全为零的常数 1， 2 ，使得 1 y1 (x) + 2 y2 (x) = 0 ， x (−, + ) 由于 y1 (x) 0 ，可知 2 0 ．否则，若 2 = 0 ，则有 1 y1 (x) = 0 ，而 y1 (x) 0 ，则 0 1 = ，这与 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 线性相关矛盾．故 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 y x = − y x = Cy x
2.证明由已知条件可知,该方程满足解的存在惟一及解 的延展定理条件,且任一解的存在区间都是(-∞,+∞) 显然,该方程有零解y(x)=0,假设该方程的任一非 零解y(x)在x轴上某点x处与x轴相切,即有y(x)=y(x2)=0, 那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)=0可知 y(x)=0,x∈(-∞,+∞),这是因为零解也满足初值条件 y(x0)=y(x0)=0,于是由解的惟一性,有y;(x)=y(x)=0,x∈(-∞ +∞).这与y(x)是非零解矛盾
2．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解 的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 (−, + )． 显然，该方程有零解 y(x) 0． 假设该方程的任一非 零解 ( ) 1 y x 在 x 轴上某点 0 x 处与 x 轴相切，即有 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x = 0， 那 么 由 解 的 惟 一 性 及 该 方 程 有 零 解 y(x) 0 可 知 ( ) 0, ( , ) y1 x x − + ，这是因为零解也满足初值条件 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x = 0，于是由解的惟一性，有 y1 (x) y(x) 0, x (−, + ) ．这与 ( ) 1 y x 是非零解矛盾．
