《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名 得分评卷人一、填空题(每小题5分,本题共30分) 1.方程+ysinx=e的任一解的最大存在区间必定是 dr 2.方程y"+4y=0的基本解组是 3.向量函数组Y1(x),Y2(x),…,n(x)在区间上线性相关的 条件是在区 间I上它们的朗斯基行列式W(x)=0. 4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件 5.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间 6.向量函数组1(x),Y2(x),…,n(x)在其定义区间上线性相关的 条件是它们 的朗斯基行列式W(x)=0,x∈1. 得分评卷人二、计算题(每小题8分,本题共40分) 求下列方程的通解 7.+3y=e2x dx 8.(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0 9.e+y-x=0 10.求方程y"-5y=sin5x的通解 11.求下列方程组的通解 dx =x+y dy =4x+y dt 得分评卷人三、证明题(每小题15分,本题共30分)
《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题 5 分，本题共 30 分） 1．方程 x y x x y sin e d d + = 的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程 y + 4y = 0 的基本解组是 ． 3．向量函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 在区间 I 上线性相关的________________条件是在区 间 I 上它们的朗斯基行列式 W (x) = 0 ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5． n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们 的朗斯基行列式 W (x) = 0 ， x I ． 得分 评卷人 二、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2 3 e d d + = 8. ( )d ( )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 9． e + − = 0 y x y 10．求方程 y − 5y = sin 5x 的通解． 11．求下列方程组的通解． = + = + x y t y x y t x 4 d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题 15 分，本题共 30 分）
12.设y=1(x)和y=2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解,求证:它们的朗斯基 行列式W(x)≡C,其中C为常数 13.设(x)在区间(-∞,+∞)上连续.试证明方程 dx p(x)siny 的所有解的存在区间必为(-∞,+∞)
12．设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基 行列式 W (x) C ，其中 C 为常数． 13．设 (x) 在区间 (−, + ) 上连续．试证明方程 x y x y ( )sin d d = 的所有解的存在区间必为 (−, + ) ．
《常微分方程》期末试卷参考答案 填空题(每小题5分,本题共30分) 1.(-∞,+∞) 2. sin 2x. cos 2x 3.必要 充分 二、计算题(每小题8分,本题共40分) 7.解齐次方程的通解为 J=Ce-3r 令非齐次方程的特解为 y=C(x)e 代入原方程,确定出C(x)=e3x+C 原方程的通解为 ar,所以原方程是全微分方程 取(x,y0)=(0,0),原方程的通积分为 f(x+xy2)dx+lydy=C 即 2x2y2 C 9.解令y=1,则原方程的参数形式为 由基本关系式 dy=ydx=t(1+e )da 积分有
《常微分方程》期末试卷参考答案 一、填空题（每小题 5 分，本题共 30 分） 1．(−, + ) 2．sin 2x, cos 2x 3．必要 4．充分 5．n 6．必要 二、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 7．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 8．解 由于 x N xy y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 1 0 3 0 3 2 (x xy )dx y dy C x y + + = 即 x + x y + y = C 4 2 2 4 2 。 9．解 令 y = t ，则原方程的参数形式为 = = + y t x t t e 由基本关系式 y y x t t t d = d = (1+ e )d 积分有 y t t C t = + e ( −1) + 2 1 2
得原方程参数形式通解 x=I+e t2+e(-1) 10.解方程的特征根为A1=0,A2=5 齐次方程的通解为y=C1+C 因为a±iB=±5i不是特征根。所以, 设非齐次方程的特解为 y,(x)=Asin 5x+ Bcos 5x 代入原方程,比较系数得 25A+25B=1 25A-25B=0 确定出A= B 原方程的通解为y=C1+C2e3+(cos5x-sin5x) 11.解特征方程为 A-1E= 0 41 即32-22-3=0 特征根为x1=3,A2 1=3对应特征向量应满足 41-3|b 可确定出 b」2 同样可算出A2=-1对应的特征向量为 所以,原方程组的通解为 b2 三、证明题(每小题15分,本题共30分) 12.证明由已知条件,该方程在整个xOy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条
得原方程参数形式通解 = + − + = + y t t C x t t t e ( 1) 2 1 e 2 。 10．解 方程的特征根为 1 = 0 ， 5 2 = 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e 因为 i = 5i 不是特征根。所以， 设非齐次方程的特解为 y (x) Asin 5x Bcos5x 1 = + 代入原方程，比较系数得 − − = − + = 25 25 0 25 25 1 A B A B 确定出 50 1 A = − ， 50 1 B = 。 原方程的通解为 (cos5 sin 5 ) 50 1 e 5 1 2 y C C x x x = + + − 。 11．解 特征方程为 0 4 1 1 1 = − − − = A E 即 2 3 0 2 − − = 。 特征根为 1 = 3 ， 1 2 = − 。 1 = 3 对应特征向量应满足 = − − 0 0 4 1 3 1 3 1 1 1 b a 可确定出 = 2 1 1 1 b a 同样可算出 1 2 = − 对应的特征向量为 − = 2 1 2 2 b a 所以，原方程组的通解为 − + = − − t t t t C C y x 2e e 2e e 3 2 3 1 。 三、证明题（每小题 15 分，本题共 30 分） 12．证明 由已知条件，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条
件 显然y=±1是方程的两个常数解·任取初值(x0,y),其中 x0∈(-∞,+∞)y<1.记过该点的解为y=y(x),由上面分析可知,一方面y=y(x)可 以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过y=1,下方不能穿过y=-1,否则 与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为(-∞,+∞) 13.证明如果y=q1(x)和y=92(x)是二阶线性齐次方程 y"+p(x)y’+qg(x)y=0 的解,那么由刘维尔公式有 w(x)=w(xo)e 现在,p(x)≡0故有 w(x)=w(xo)e =w(xo)=C
件 ． 显 然 y = 1 是 方 程 的 两 个 常 数 解 ． 任 取 初 值 ( , ) 0 0 x y ，其中 ( , ) x0 − + , y0 1 ．记过该点的解为 y = y(x) ，由上面分析可知，一方面 y = y(x) 可 以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y = 1 ，下方不能穿过 y = −1 ，否则 与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为 (−, + ) ． 13．证明 如果 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，那么由刘维尔公式有 = − x 0 ( )d 0 ( ) ( )e x p t t W x W x 现在， p(x) 0 故有 W x W x W x C x t = = = − ( ) ( )e ( ) 0 0d 0 x 0