常微分方程期末考试试卷 (适用于02411、02412班) 学院 班级 学号 姓名 成绩 .填空题(30分) 1.d=P(x)y+g(x)称为一阶线性方程,它有积分因子eP(h,其通 d x 解为 2.函数∫(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果 3.若q(x)为毕卡逼近序列{(x)的极限,则有(x)-g(x)≤ 4.方程=x2+y2定义在矩形域R:-2≤x≤2,-2≤y≤2上,则经过点 dx (0,0)的解的存在区间是 5.函数组e',e-,e2的伏朗斯基行列式为 6.若x(1)(=1,2n)为齐线性方程的一个基本解组,x(1)为非齐线性方 程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 7.若Φ(ω)是x=A()x的基解矩阵,则向量函数o(t)= 是 x=A(1)x+f(t)的满足初始条件o()=0的解;向量函数()= 是x=A()x+f()的满足初始条件(0)=n的解。 8.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v,V2…,vn,它们对应的特征 值分别为λ1,λ2,…λn,那么矩阵Φ() 是常系数线性方程组 x=Ax的一个基解矩阵。 9.满足 的点(x,y),称为驻定方程组。 二.计算题(60分) 10.求方程4x2y2x+2(x3y-1)d=0的通解
常微分方程期末考试试卷 （适用于 02411、02412 班） 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30 分） 1． P(x) y Q(x) dx dy = + 称为一阶线性方程，它有积分因子 − P x dx e ( ) ，其通 解为 _________ 。 2．函数 f (x, y) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若 (x) 为毕卡逼近序列 n (x) 的极限，则有 (x) (x) − n ______ 。 4．方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形域 R : −2 x 2,−2 y 2 上，则经过点 （0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组 t t t e e e 2 , , − 的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若 x (t)(i 1,2, ,n) i = 为齐线性方程的一个基本解组， x(t) − 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7 ． 若 (t) 是 x A(t)x ' = 的基解矩阵，则向量函数 (t) = _______ 是 ( ) ( ) ' x = A t x + f t 的满足初始条件 ( ) 0 t 0 = 的解；向量函数 (t) = _____ 是 ( ) ( ) ' x = A t x + f t 的满足初始条件 (t 0 ) = 的解。 8．若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量 n v ,v , ,v 1 2 ，它们对应的特征 值分别为 n , , 1 2 ，那么矩阵 (t) = ______ 是常系数线性方程组 x = Ax ' 的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点 ( , ) * * x y ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60 分） 10．求方程 4 2( 1) 0 2 2 3 x y dx + x y − dy = 的通解
dy 11.求方程+e-x=0的通解 12.求初值问题{a=x-yR+1L51的解的存在区间,并求 y(-1) 第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计。 13.求方程x+9x=Isin3t的通解。 14.试求方程组x=Ax+f(1)的解o(t) q(0 43 1.试求线性方程组4=2x-7y+192=x-2y+5的奇点,并判断奇点 的类型及稳定性。 证明题(10分) 16.如果φ(1)是x=Ar满足初始条件o(t0)=η的解,那么 P(0)=exp A(t-to)hn
11．求方程 + e − x = 0 dx dy dx dy 的通解。 12．求初值问题 − = = − ( 1) 0 2 2 y x y dx dy R : x +1 1, y 1 的解的存在区间，并求 第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 13．求方程 x 9x tsin 3t '' + = 的通解。 14．试求方程组 ( ) ' x = Ax + f t 的解 (t). = = − = 1 , ( ) 4 3 1 2 , 1 1 (0) t e A f t 15．试求线性方程组 = 2 − 7 +19, = x − 2y + 5 dt dy x y dt dx 的奇点，并判断奇点 的类型及稳定性。 三．证明题 （10 分） 16 ． 如 果 (t) 是 x = Ax ' 满 足 初 始 条 件 (t 0 ) = 的 解 ， 那 么 (t) = exp A(t − t 0 )
常微分方程期终考试试卷答案 填空题(30分) 1.y=e go(r)e ar+c) 2.f(x,y)在R上连续,存在L>0,使f(x,y1)-f(x,y2)≤L1-y2|,对于 任意(x,y1),(x,y2)∈R 3.A h (n+1) ≤x≤ 6.x(1)=∑cx()+x() 7..Φ()D(s)f(s)d ap(p"(o)n+ap(ol "(s)f(s)ds 9.X(x,y)=0,(x,y)=0 二.计算题(60分) 10.解: M 6 OM aN 积分因子(y)=e y 两边同乘以(y)后方程变为恰当方程:4x2y3ax+2y2(x3y-1)d=0 M=4x2y3两边积分得:u=x3y2+q(y)
常微分方程期终考试试卷答案 一．填空题 （30 分） 1． ( ( ) ) ( ) ( ) + = − y e Q x e dx c P x dx P x dx 2． f (x, y) 在 R 上连续，存在 L 0 ，使 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y ，对于 任意 (x, y1 ),(x, y2 ) R 3． 1 ( 1)! + + n n h n ML 4． 4 1 4 1 − x 5． t t t t t t t t t e e e e e e e e e 2 2 2 4 2 − − − − 6． ( ) ( ) ( ) 1 x t c x t x t i n i i − = = + 7． t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) 1 0 − t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − + 8． n t t t e v e v e v n , , , 1 2 1 2 9． X (x, y) = 0,Y(x, y) = 0 二．计算题 （60 分） 10．解： x y x N x y y M 2 2 8 , = 6 = M y x N y M 2 1 = − − − 积分因子 2 1 2 1 ( ) − − = y = e y dy y 两边同乘以 ( y) 后方程变为恰当方程： 4 2 ( 1) 0 2 3 1 3 2 2 + − = − x y dx y x y dy 3 2 2 M 4x y x u = = 两边积分得： ( ) 3 4 2 3 3 u = x y + y
得:0(y)=-4y2 因此方程的通解为:y2(x3y-3)=c 11.解 dy P则p+ 0 得:x=p+ 那么y=∫px=Jp+e" P =p+e 因此方程的通解为 解:M a,<1=b, h 解的存在区间为x-x=|x+l≤h= 4 4 令(x)=y=0 q(x)=0 q2(x)=0 误差估计为:/2(x)-9(x)≤ (n+1)!
2 1 2 1 2 ' 3 1 3 2 ( ) 2 2 − = + = = − x y y N x y y y u 得： 2 1 ( y) = −4y 因此方程的通解为： y (x y − 3) = c 2 3 1 11．解：令 y p dx dy = = ' 则 p + e − x = 0 p 得： p x = p + e 那么 y = pdx = p + e dp p (1 ) pe e c p p p = + − + 2 2 因此方程的通解为： = + − + = + p e c p y x p e p p ( 1) 2 2 12．解： max ( , ) 4 ( , ) = = M f x y x y R x − x0 1 = a, y − y0 1 = b， 4 1 = min( , ) = M b h a 解的存在区间为 4 1 x − x0 = x +1 h = 即 4 3 4 5 − x − 令 0 (x) = y0 = 0 3 1 3 ( ) 0 3 1 2 1 = + = + − x x x dx x 42 11 3 63 18 9 ) 3 1 3 ( ) 0 ( 3 7 4 1 2 3 2 2 = − − − + = + − + − x x x x dx x x x x 又 y L y f = − = 2 2 误差估计为： 24 1 ( 1)! ( ) ( ) 1 2 = + − n+ n h n ML x x
解:x2+9 λ=3是方程的特征值,设x(1)=l(At+B)e 得:x=(2A-9B+12At+6Bi-942)e 则2A+12Ai+6Bi=t 得:A B 36 因此方程的通解为:x()=c1cos3+c2sin3t-,t2cos3+tsin3 14.解:de(AE-A)= =(+1)(-5)=0 4- A1=-1,2=5 (A1E-A)1=0得v1 取 (A2E-A)2=0得v2 B 取ν 2B 则基解矩阵Φ(r) (Op"(O)n do-()/(k=23045 因此方程的通解为:()=()-(0)+o)[-(s)/(sd 2x-7y+19=0 15.解 x-21
13．解： 9 0 3i, 3i 1 2 2 + = = = − = 3i 是方程的特征值， 设 it x t t At B e 3 ( ) = ( + ) − 得： it x A Bt Ait Bi At e " 2 3 = (2 − 9 +12 + 6 − 9 ) 则 2A +12Ait + 6Bi = t 得： 36 1 , 12 1 A = − i B = 因此方程的通解为： x t c t c t t t tsin 3t 36 1 cos3 12 1 ( ) cos3 sin 3 2 = 1 + 2 − + 14．解： ( 1)( 5) 0 4 3 1 2 det( ) = + − = − − − − − = E A 1 = −1,2 = 5 (1E − A)v1 = 0 得 − = 1 v 取 − = 1 1 1 v (2E − A)v2 = 0 得 = 2 2 v 取 = 2 1 2 v 则基解矩阵 − = − t t t t e e e e t 5 5 2 ( ) − = − − = − − − − − t t t t t t e e e e e e t 1 1 2 1 2 1 1 0 2 ( ) (0) 5 5 1 − + + − = − 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 ( ) ( ) ( ) 5 5 1 0 t t t t t t e e e e t s f s ds 因此方程的通解为： − − = + t t t t t s f s ds 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 1 1 − + + + − − = − − 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 t t t t t t e e e e e e 15．解： = = − + = − + = 3 1 2 5 0 2 7 19 0 y x x y x y
(1,3)是奇点 令X dy 2X-7y 2Y 0-3≠0,那么由12-271_12=27 3+22|=0 1元+20 可得:4=√31,2=-√3 因此(1,3)是稳定中心 三.证明题(10分) 16.证明:由定理8可知o()=cN-(+()∫c-(s)f(s)d 又因为Φ(1)=expA,-(0)=(expA0)=exp(-A0) f(s)=0 所以q(t)= exp At·exp(-At0) 又因为矩阵(4n)(-At0)=(-At0)(A) 所以p( A(I-I 02412-11 章小燕
（1，3）是奇点 令 2 5 , 2 19 X = x + Y = y − x Y dt dY X y dt dX = 2 − 7 , = − 2 0 2 3 0 2 7 1 2 2 7 − − = − − ，那么由 0 2 3 0 2 7 1 2 2 7 2 = − + − = − + − 可得： 3i, 3i 1 = 2 = − 因此（1，3）是稳定中心 三．证明题 （10 分） 16．证明：由定理 8 可知 t t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − = + 又因为 ( ) exp , ( ) (exp ) exp( ) 0 1 0 0 1 t = At t = At = −At − − f (s) = 0 所以 (t) = exp At exp(−At 0 ) 又因为矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) At −At 0 = −At 0 At 所以 (t) = exp A(t − t 0 ) 02412--11 章小燕
