常微分期末试卷(20) 填空 称为一阶线性方程,它有积分因子 其通解为 2 称为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经 过变换 ,可化为伯努利方程。 3.若q(x)为毕卡逼近序列{n(x)}的极限,则有|(x)-g(x)|s 4.若x,(n)(i=1,2;,n)是齐线形方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,则w(t满足 阶线性方程 5.若x(1)(i=1,2,“,n)是齐线形方程的一个基本解组,x(t)为非齐线形方程的一个特解, 则非齐线形方程的所有解可表为 6.如果A(t)是n×n矩阵,f(t)是n维列向量,则它们在a≤t≤b上满足 时,方程组x=At)x+f()满足初始条件x(t0)=n的解在a≤t≤b上存在唯 7.若q(t)和v(t)都是x"=A(t)x的基解矩阵,则φ(t)与v(t)具有关系: 8.若o(t是常系数线性方程组x=Ax的基解矩阵则该方程满足初始条件v(0)=7 的解v()= 9满足 的点(x”),称为方程组的奇点 10.当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部 时,零解是稳定的,对应的奇点称为 计算题(60分) 1. ydx(x+ y)dy=0 4. dy
常微分期末试卷(20) 一．填空 1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ， 其通解为 。 2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经 过变换 ，可化为伯努利方程。 3．若 （x）为毕卡逼近序列 n (x) 的极限，则有 （x）— (x) n 。 4．若 x (t) i （i=1,2,┄, n）是齐线形方程的 n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则 w(t)满足 一阶线性方程 。 5．若 x (t) i （i=1,2,┄, n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解， 则非齐线形方程的所有解可表为 。 6．如果 A(t)是 n×n 矩阵，f(t)是 n 维列向量，则它们在 a t b 上满足 时，方程组 xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件 x（t 0 ）= 的解在 a t b 上存在唯一。 7．若 （t）和 （t）都是 xˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则 （t）与 （t）具有关系： 。 8．若 （t）是常系数线性方程组 x Ax = 的 基解矩阵,则该方程满足初始条件 0 ( ) t = 的解 ( )t =_____________________ 9.满足 _________________________________________的点（ * * x y, ），称为方程组的奇点。 10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。 二．计算题（60 分） 1． 3 ydx x y dy − + = ( ) 0 2． 3 2 ( ) 4 8 0 dy dy xy y dx dx − + =
3.求方程 dy ax+y2经过(0,0)的第三次近似解 4. x"+x=sint-cos 2t 5.若A=/2 求方程组x=Ax的解q(1),(0)= 并求 expAt dx 6求 y+1, dt d=x-y-5的奇点并判断奇点的类型及稳定性 三证明题(10分) 设f(x,y)及连续试证方程dfxy)dk=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 积分因子 答案 填空
3．求方程 dy 2 x y dx = + 经过（0，0）的第三次近似解 4． x x t t + = − sin cos2 5．若 2 1 1 4 A = − 试求方程组 x Ax = 的解 1 2 ( ), (0) t = = 并求 expAt 6.求 1, 5 dx dy x y x y dt dt = − − + = − − 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三.证明题(10 分) 设 f x y ( , ) 及 f y 连续,试证方程 dy-f(x,y)dx=0 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与 x 的 积分因子. 答案 一. 填空
dy p(x)y+o(x) O(xbe-p(x)dx dx+c) MW h n+1 dr P()y+o(x)y+R() y=y+2 (n+1)! 42+a1(n=05x()=∑cx(1)+x()6.A(连续 7.0(1)=v(t)c,detc≠08。v(1)=(1)q(O dx X(x, y) dh 中X(xy)=0,Y(xy)=010.为0稳定中心 计算题 OM ON 1.解:因为Oy ,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子 1 dx x+ 1(y)=e 两边同乘一得 所以解为dx+ r+13 O dy=c x y =c即2x=y(y2+c)另外y=0也是解 y dy 2.解:方程可化为r=女丿+8y2 p3+8 =p则有x dx (*)两边对y求导:2y(p3-4y2)+p(8y2-p3)=4y2p 即(p3-4y2)(2 中 =0由2y2-p=0得p=qgy2 将y代入
1. ( ) ( ) dy p x y Q x dx = + p x dx ( ) e − ( ) ( ) ( ( ) ) p x dx p x dx e Q x e dx c − + 2. 2 ( ) ( ) ( ) dy p x y Q x y R x dx = + + y y z = + 3. 1 ( 1)! n n ML h n + + 4. 1 w a t w + = ( ) 0 5. 1 ( ) ( ) ( ) n i i i x t c x t x t = = + 6． A(t) f(t)连续 7． ( ) ( ) ,det 0 t t c c = 8。 0 ( ) ( ) ( ) t t t = 9． ( , ) ( , ) dx X x y dt dy Y x y dt = = 中 X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为 0 稳定中心 二．计算题 1． 解：因为 1, 1 M N y x = = − ，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子 2 2 ln 2 1 ( ) dy y y y e e y − − = = = ，两边同乘 2 1 y 得 3 2 0 dx x y dy y y + − = 所以解为 3 2 1 x x y y dx dy c y y y − + + − = 2 2 x y c y + = 即 2 2 ( ) x y y c = + 另外 y=0 也是解 2． 解：方程可化为 3 2 8 4 dy y dx x dy y dx + = 令 dy p dx = 则有 3 2 8 4 p y x yp + = （*） （*）两边对 y 求导： 3 2 2 3 2 2 ( 4 ) (8 ) 4 dp y p y p y p y p dy − + − = 即 3 2 ( 4 )(2 ) 0 dp p y y p dy − − = 由 2 0 dp y p dy − = 得 1 2 p cy = 即 2 ( ) p y c = 将 y 代入
2 (*)x 即方程的含参数形式的通解为 p为参数 又由p23-4y2=0得p=(4y2)代入(…)得:y=4x3也是方程的解 27 0 P1= yo 3.解: 02=y0+m(x+)x 220 +f(x+4 40020 2204400160 4.线性方程x"+x=0的特征方程2+1=0故特征根A=土 f()=sint=i是特征单根,原方程有特解x=( A cost+Bsin1)代入原方 B=02(1)=-c0s2t2=2不是特征根,原方程有特解 x=AcOS21+Bsin2t代入原方程1 B=0 所以原方程的解为x= Cu cost+c2sint- t cost+cos2t 5.解:P() 6+9=0解得入12=3此时k=1n1= 7h+1(-nh1+n2) 7 )=cn(4-35y i=0 72+(-71+n2) 由公式epA=e∑,(A-AE)得 exp At=e E+r(A-3E)=e 01 1+t
（*） 2 2 2 4 c p x c = + 即方程的 含参数形式的通解为： 2 2 2 2 4 ( ) c p x c p y c = + = p 为参数 又 由 3 2 p y − = 4 0 得 1 2 3 p y = (4 ) 代入（ * ） 得 ： 4 3 27 y x = 也 是 方 程 的 解 3．解： 0 0 2 1 0 0 2 2 5 2 0 0 4 10 7 2 5 11 8 3 0 0 0 2 ( ) 4 2 20 ( ) 4 400 20 2 20 4400 160 x x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx = = = + = = + + = + = + + + + = + + + 4． 线性方程 x x + = 0 的特征方程 2 + =1 0 故特征根 = i 1 f t t ( ) sin = = i 是特征单根，原方程有特解 x t A t B t = + ( cos sin ) 代入原方 程 A=- 1 2 B=0 2 f t t ( ) cos2 = − = 2i 不是特征根，原方程有特解 x A t B t = + cos2 sin 2 代入原方程 1 3 A = B=0 所以原方程的解为 1 2 1 1 cos sin cos cos2 2 3 x c t c t t t t = + − + 5． 解： 2 2 1 ( ) 6 9 0 1 4 p − − = = − + = − 解得 1,2 = 3 此时 k=1 1 n = 2 1 2 v = = 1 3 3 1 1 1 2 0 2 2 1 2 ( ) ( ) ( 3 ) ! ( ) i t i t i t t t e A E e i t = + − + = − = + − + 由公式 expAt= 1 0 ( ) ! n i t i i t e A E i − = − 得 3 3 3 1 0 1 1 1 exp ( 3 ) 0 1 1 1 1 t t t t t At e E t A E e t e t t − − = + − = + = − − +
6.解:由Jx-y+1=0 解得奇点(3,-2)令X=x-3,Y=y+2则 x-y-5=0 dt 因为 1+1≠0故有唯一零解(0,0 A+11 底,=2+2+1+1=12+2+2=0得=-1±故(3,2)为稳 证明题 证明:1若该方程为线性方程则有=p(x)y+Q(x)(*)此方程有积分因子 u(x)=e-p(r)dx (x)只与x有关 2若该方程有只与x有关的积分因子(x)则(x)-(x)f(x,y)x=0为恰当方 程 从而 dCu(x)f(x,y) du(x) dx u(X 出如+Q(x)=P(x)+(x)其中P()=(x) 于是方程化为 (x) (x) dy-(p(x)y+Q(x)dx=0即方程为一阶线性方程
6． 解：由 1 0 5 0 x y x y − − + = − − = 解得奇点（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 则 dx x y dt dy x y dt = − − = − 因为 1 1 1 1 − − − =1+1 0 故有唯一零解（0，0） 由 2 2 1 1 2 1 1 2 2 0 1 1 + = + + + = + + = − + 得 = − 1 i 故（3，-2）为稳 定焦点。 三．证明题 证明：1 若该方程为线性方程则有 ( ) ( ) dy p x y Q x dx = + （*）此方程有积分因子 ( ) ( ) p x dx x e − = ( ) x 只与 x 有关 2 若该方程有只与 x 有关的积分因子 ( ) x 则 ( ) ( ) ( , ) 0 x dy x f x y dx − = 为恰当方 程 , 从 而 ( ( ) ( , )) ( ) x f x y d x y dx − = ( ) ( ) f x y x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f dy Q x p x y Q x x = − + = + 其中 ( ) ( ) ( ) x p x x − = 于是方程化为 dy p x y Q x dx − + = ( ( ) ( )) 0 即方程为一阶线性方程.-
