《常微分方程》期末测试卷（二十二）

常微分方程期末测试卷(22) 填空题(30%) 1.若y=y(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表 示为 2.方程中=x2+y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3.J(xy)连续是保证方程=f(xy)初值唯一的 条件 条积分曲线 4.线性齐次微分方程组=A(x)Y的一个基本解组的个数不能多于 个,其中x∈R,Y∈R 5.二阶线性齐次微分方程的两个解y=1(x),y=2(x)成为其基本解组的充要条件 是 方程=sinx:cosy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7.方程=x2tany的所有常数解是 8.方程 xsin ydx+ ncos xdy=0所有常数解是 9.线性齐次微分方程组的解组H(x),Y2(x),…,Yn(x)为基本解组的_ 条件 是它们的朗斯基行列式W(x)≠0 0.n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 二、计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分 y dx tan- cos y-cosxsin y=sin y 3.(2xy-cos x)dx+(x-1)dy=0 y dt 2x+ y dt dt 三、证明题(30%) 1.试证明:对任意x0及满足条件0<y<1的yo,方程

1 常微分方程期末测试卷(22) 一、填空题（30%） 1．若 y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表 示为 ． 2．方程 2 2 d d x y x y = + 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 3． f (x, y) y  连续是保证方程 ( , ) d d f x y x y = 初值唯一的 条件． 一条积分曲线. 4. 线性齐次微分方程组 A Y Y ( ) d d x x = 的一个基本解组的个数不能多于 个，其中 x  R ， n Y  R ． 5．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ) 1 y =  x , ( ) 2 y =  x 成为其基本解组的充要条件 是 ． 6．方程 x y x y sin cos d d =  满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 7．方程 x y x y tan d d 2 = 的所有常数解是 ． 8．方程 x sin ydx + y cos xdy = 0 所有常数解是 ． 9．线性齐次微分方程组的解组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y  Yn 为基本解组的 条件 是它们的朗斯基行列式 W (x)  0 ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个． 二、计算题（40%） 求下列方程的通解或通积分： 1. x y x y x y tan d d = + 2． y x y y x y cos cos sin sin d d 2 − = 3．(2 cos )d ( 1)d 0 2 xy − x x + x − y = 4．        = + = x y t y y t x 2 d d d d 5．        = − + = + x y t y x y t x 2 3 d d d d 三、证明题（30%） 1．试证明：对任意 0 x 及满足条件 0  y0  1 的 0 y ，方程 2 2 1 ( 1) d d x y y y x y + + − =

的满足条件y(x0)=y0的解y=y(x)在(-∞,+∞)上存在 2.设∫(x)在[0,+∞)上连续,且limf(x)=0,求证:方程+y=f(x)的任意解 y=y(x)均有limy(x)=0 3.设方程=x2f()中,f(y)在(-∞,+∞)上连续可微,且y(y)<0,(y≠0).求 证:该方程的任一满足初值条件y(x0)=y0的解y(x)必在区间[x,+∞)上存在 常微分方程综合练习参考答案 、填空题 1.C1Ly1(x)-y2(x)]+y1(x)2.xoy平面3.充分4.n5.线性无关 6.xoy平面7.y=kx,k=0,±1,±2 8.y=k丌,k=0,±1,±2, 或 x=+kπ,k=0,±1,±2, 9.充分必要10.n 计算题 1.解:令u=2,则y=n+x 当tanu≠0时 等号两边积分 Inin u4=lnlx+ln(C≠0 y smn一=Cx dE 2.解:令z=siny,则可=cosy 代入方程得 cosx=二 即 一一d 再令n=2-,则得 dx u=e -cos xe!dx+Cu)

2 的满足条件 0 0 y(x ) = y 的解 y = y(x) 在 (−, + ) 上存在． 2．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 3．设方程 ( ) d d 2 x f y x y = 中， f ( y) 在 (−, + ) 上连续可微，且 yf ( y)  0 ，( y  0) ．求 证：该方程的任一满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解 y(x) 必在区间 [ , ) x0 +  上存在． 常微分方程综合练习参考答案 一、填空题 1． [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x 2． xoy 平面 3．充分 4． n 5．线性无关 6． xoy 平面 7． y = k ， k = 0, 1,  2,  8． y = k , k = 0, 1,  2,  ； 或 , 0, 1, 2, 2 +  =    x = k k 9．充分必要 10．n 二、计算题 1．解：令 x y u = ，则 y  = u + xu  u x u x tan d d = 当 tan u  0 时 等号两边积分 1 d tan d C x x u u = +   ln sin u = ln x + ln C C  0 Cx x y sin = 2．解：令 z = sin y ，则 x y y x z d d cos d d = 代入方程得 z x z x z − cos = d d 2 即 z z x x z cos d d 2 − = 再令 −1 u = z ，则得 u x x u cos d d + = −  +  −  = − e ( cos e d ) 1 1d 1d u x x C x x  = − + − e ( cos e d ) C1 x x x x

(cosx +sin x)+Ce 所以 coSx+ sinx= ce sIn x 3.解由于 Oy=2r= aN M ,所以原方程是全微分方程 取(x,y0)=(0,0),原方程的通积分为 「2x- cosx)dr-Jdy=c x y-sinx-y=C 4.解特征方程为 -21 AE 即 22-元-2=0 特征根为A1=2,12=-1 λ1=2对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出A2=-1对应的特征向量为 b 所以,原方程组的通解为 1 5.解:特征方程为x2-4+5=0 特征根为A1=2±i e(2+ b a,b满足 解得2a=(1-1)b 取b=1+i,则a=1 于是 C C2e coSt- sin t coSt+ sin t 三、证明题

3 x x x C − = − (cos + sin ) + e 2 1 1 所以 x x x C x − + cos + sin = e sin 2 3．解 由于 x N x y M   = =   2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x x y C x y − − = 0 0 (2 cos )d d 即 x y − sin x − y = C 2 4．解 特征方程为 0 2 1 1 = − − − =   A E 即 2 0 2  −  − = 特征根为 1 = 2， 1 2 = − 1 = 2 对应特征向量应满足       =            − − 0 0 2 1 2 2 1 1 1 b a 可确定出       =      2 1 1 1 b a 同样可算出 1 2 = − 对应的特征向量为       − =      1 1 2 2 b a 所以，原方程组的通解为       −  +      =      − − t t t t C C y x e e 2e e 2 2 2 1 5．解：特征方程为 4 5 0 2  −  + = 特征根为 = 2  i  1,2       =      + b a y x (2 i)t e a,b 满足 0 2 1 1 1 =            − − − − b a i i 解得 2a = (1− i)b 取 b = 1+ i ，则 a = 1． 于是       + +      − =      t t t C t t t C y x t t cos sin sin e cos sin cos e 2 2 2 1 三、证明题

证:由于f(x,y=,H(y-1) f(x,y)=2y-)+x2+y2)-yy-12y (1+x2+ 在全平面上连续,所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.又显 然y=0,y=1是方程的两个特解.现任取x0∈(-∞,+∞),y∈(0,1),记y=y(x)为过 x,yo)的解,那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展,又上不能穿越y=1,下不能 穿越y=0,因此它的存在区间必为(-∞,+∞) 2.证明设y=y(x)为方程任一解满足y(xo)=y,由常数变易法有 y(x)=yoe--*)+e-of(s)e-ids 于是 f∫(s)ed imy(x)=lim、yo+lm ,若∫f(s)ewds收敛 o =0.若厂(seds发散 3.证明由已知条件,方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件, 因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远 又由已知条件,知y=0是方程的一个解 且在上半平面(y>0),有y=x2f(y)0 现不妨取点(x0,y0)属于上半平面,并记过该点的解为y=y(x).由上面分析可知, y=y(x)一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展;另一方面又不能穿过x轴,否则与 唯一性矛盾.故解y=y(x)存在区间必为[x0,+∞)

4 1．证： 由于 2 2 1 ( 1) ( , ) x y y y f x y + + − = 2 2 2 2 2 (1 ) (2 1)(1 ) ( 1)2 ( , ) x y y x y y y y f x y y + + − + + − − =  在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显 然 y = 0, y = 1 是方程的两个特解．现任取 ( , ) x0  − +  ， (0, 1) y0  ，记 y = y(x) 为过 ( , ) 0 0 x y 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越 y = 1 ，下不能 穿越 y = 0 ，因此它的存在区间必为 (−, + ) ． 2．证明 设 y = y(x) 为方程任一解满足 0 0 y(x ) = y ，由常数变易法有  − − − − − = + x x x x x x s x y x y f s 0 0 0 ( ) e e (s)e d ( ) ( ) 0 于是 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − → − → →  = + = 0 +        =    − − − →  − 若 发散 ， 若 收敛 0 0 0 0 0 0 0, ( )e d e ( )e lim 0 ( )e d x s x x x x x x x s x f s s f s f s s 3．证明 由已知条件，方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件， 因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远． 又由已知条件，知 y = 0 是方程的一个解． 且在上半平面 ( y  0) ，有 ( ) 0 2 y  = x f y  ； 在下半平面 ( y  0) ，有 ( ) 0 2 y  = x f y  ． 现不妨取点 ( , ) 0 0 x y 属于上半平面，并记过该点的解为 y = y(x) ．由上面分析可知， y = y(x) 一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过 x 轴，否则与 唯一性矛盾．故解 y = y(x) 存在区间必为 [ , ) x0 + 