常微分方程期终试卷(21) 班级: 学号: 姓名: 一、填空题(30分) 1、方程M(x,y)dx+n(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是 oM oN (yax=n(x)),有只含y的积分因子的充要条件是 aN ( =-M(y)) By ax 2、求(xy)满(x)=y的解等价于求积分方程(y=yo+∫f(x,y)dx) 3、方程=x2+y2定义在矩形域R:-2≤x≤2,-2≤y≤2上,则经过点(0,0)的 dx 1 即位存在区间是(-≤x≤) 4、若X(t)(=1,2n)是齐线性方程的n个解,w(t)为伏朗斯基行列式,则W(t)满 一阶线性方程(w(t)+a1(t)W(t)=0) 5、若1(t),2()xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件 是(Wx(t),x2()xn(t)]≠0) 6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X=(t)x+f(x)x(tn的近似解时,则 7、当方程的特征根为两个共扼虚根时,则当其实部(为零)时,零解是稳定的,对应 的奇点称为(稳定中心)。 8、满足(X(x,y)=0,Y(x,y)=0)的点(x2,y),称为方程组的奇点。 9、若(t)和y(t)都是X=A(t)X的基解矩阵,则(t)和y()具有关系: (y(t)=()C(C为非奇异矩阵)) -"y 10、形如(x+a1xdx1++any=0)的方程称为欧拉方程
常微分方程期终试卷(21) 班级： 学号： 姓名： 一、填空题（30 分） 1、 方 程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有只含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 （ N (x) x N y M = − ）， 有 只 含 y 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 （ M ( y) x N y M = − − ）。 2、 求 dx dy =f(x,y)满足 0 0 (x ) = y 的解等价于求积分方程（y=y 0 + x x f x y dx 0 ( , ) ）。 3、 方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形域 R:-2 x 2,−2 y 2 上，则经过点（0，0）的 即位存在区间是（ 4 1 4 1 − x ）。 4、 若 X i (t)(I=1,2, ,n)是齐线性方程的 n 个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则 W(t)满足 一阶线性方程（ W (t)+a 1 (t)W(t)=0）。 5、 若 X 1 (t), X 2 (t) , X n (t)为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件 是（W[X 1 (t), X 2 (t) , X n (t)] 0）。 6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组 X ' =A（t）X+f(x),X(t 0 )= 的近似解时，则 t A s s f s ds t t k k ( ) ( [ ( ) ( ) ( )] 0 = + 1 + − ）。 7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应 的奇点称为（稳定中心）。 8、 满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x * * , y ）, 称为方程组的奇点。 9、 若 (t)和 (t) 都 是 X ' =A(t)X 的 基 解 矩 阵 ， 则 (t)和 (t) 具有关系： （ (t) = (t)C(C为非奇异矩阵） ）。 10、 形如（x n n n dx d y +a 1 x 1 1 1 − − − n n n dx d y + + a y = 0) n 的方程称为欧拉方程
二、计算题 求下列方程的通解(1-2) 1、(2x+x2y+)dx+(x2+y2)d=0 M 解:因为 2x+ =2x OM aN 又因为 二 所以方程有积分因子:u(x)=e2 方程两边同乘以e得 +2dx+e(x+y dy=0 [e(2xy +x2ydxtex2dy]+[ery-dx+e'ry2dyl=0 也即方程的解为ex-y+e 2、x 3xy3=0(y 解:令 y=p=D,则 d x x3+t3x3-3tx2=0即 3t 1+t 从而D=s3 1+t 又y= 1+t31+t 31+4t 2 故原方程的通解为
二、计算题 求下列方程的通解（１－２） １、（２xy+ 3 2 2 2 ) ( ) 0 3 y x y dx x y dy + + + = 解：因为 2 2 2 , 2 M N x x y x y x = + + = 又因为 M N N y x − = 所以方程有积分因子：u(x)= x e 方程两边同乘以 x e 得： x e 2 (2xy x y + + 3 2 2 ) ( ) 0 3 y x dx e x y dy + + = ［ 3 2 2 2 (2 ) ] [ ] 0 3 x x x x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy + + + + = 也即方程的解为 3 2 3 x x y e x y e c + = ． ２、 3 3 3 0( ) dy x y xy y dx + − = = 解：令， dy y p tx dx = = = ，则 3 3 3 2 x t x tx + − = 3 0 即 3 3 1 t x t = + 从而 2 3 3 1 t p tx t = = + 又 2 3 3 3 3 ( ) ( ) 1 1 t t y dt c t t = + + + ＝ 3 3 2 3 1 4 2 (1 ) t c t + + + 故原方程的通解为
t为参数 31+ 2(1+ 3、求方程 ax+y2经过(0,0)的第三次近似解 解:Φo Φ1=|xdx 220 Φ3=(x++ 440020 2204400160 dx 求 2--3x=2t+1的通解 解:齐线性方 dx 2-3x=0的特征方程为x2-2-3=0 故齐线性方程的一个基本解组为e3,e- 因为A=0不是特征方程的特征根 所以原方有形如x(t)=B0t+B1的特解 将x(D)=B0t+B1代入原方程,比较t的同次幂系数得: 3B+(-2B0-3B1)=2t+1 -3B0=2 故有 解之得 -2B0-3B1 B B1 所以原方程的解为 x(1)=ce+c2e-+(-=t+ 29
3 3 3 2 3 1 3 1 4 2 (1 ) t x t t y c t = + + = + + t 为参数 ３、求方程 dy 2 x y dx = + 经过（０，０）的第三次近似解 解： 0 0 = = y 0 2 1 0 2 x x = = xdx 4 2 5 2 0 ( ) 4 2 20 x x x x = + = + x dx 4 10 7 3 0 ( ) 4 400 20 x x x x = + + + x dx ＝ 2 5 11 8 2 20 4400 160 x x x x + + + ４、求 2 2 2 3 2 1 d x dx x t dt dt − − = + 的通解 解：齐线性方程 2 2 2 3 0 d x dx x dt dt − − = 的特征方程为 2 − − = 2 3 0 故齐线性方程的一个基本解组为 3t e ， t e − ， 因为 = 0 不是特征方程的特征根 所以原方有形如 xt() ＝ B t B 0 1 + 的特解 将 xt() ＝ B t B 0 1 + 代入原方程，比较 t 的同次幂系数得： 0 0 1 − + − − = + 3 ( 2 3 ) 2 1 B t B B t 故有 0 0 1 3 2 2 3 1 B B B − = − − = 解之得： 0 3 2 B = − ， 1 1 9 B = 所以原方程的解为： 3 1 2 3 1 ( ) ( ) 2 9 t t x t c e c e t − = + + − +
5、试求:12-1的基解矩阵 解:记A12-1又p(1)=deE-A)=(-1)(2-2)2-3)=0 得A1=1,A2=2,13=3均为单根 设对应的特征向量为v1,则由(E-A)1=0得 0 0取v1 同理可得2,3对应的特征向量为 0 则Φ1(D)=e1,①2(D)=e-v2,Φ3(1)=e"v3均为方程组的解 令平()=(④1(),①2(t)①3( 又(O)=dety(O)=110≠0 所以平(D)=(①1(1),①2()①3()即为所求。 dx 6、试求+3-+2x=0的奇点类型及稳定性 dx dy y y dt
５、试求： 2 1 1 1 2 1 1 1 2 − − − 的基解矩阵 解：记 A= 2 1 1 1 2 1 1 1 2 − − − ,又 p E A ( ) det( ) ( 1)( 2)( 3) 0 = − = − − − = 得 1 =1， 2 3 = = 2, 3 均为单根 设 1 对应的特征向量为 1 v ，则由 1 1 ( ) 0 E A V − = 得 1 0 v , 0 = 取 1 0 1 1 v = 同理可得 2 3 , 对应的特征向量为： 2 3 1 1 1 , 0 1 1 v v = = 则 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) , ( ) , ( ) t t t = = = t e v t e v t e v 均为方程组的解 令 1 2 3 = ( ) ( ( ), ( ), ( )) t t t t 又 0 1 1 (0) det (0) 1 1 0 0 1 1 1 w = = 所以 1 2 3 = ( ) ( ( ), ( ), ( )) t t t t 即为所求。 ６、试求 2 2 3 2 0 d x dx x dt dt + + = 的奇点类型及稳定性 解：令 dx y dt = ，则： 3 2 dy y x dt = − −
因为 ≠0,又由 0得 2λ+3 2+32+2=0解之得1=-1,2=-2为两相异实根,且均为负 故奇点为稳定结点,对应的零解是渐近稳定的 7.一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比 例系数为k)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系 数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解:由物理知识得:a=P(其中a为质点的加速度,F为质点受到的合外力 根据题意:F合=k1-k2v 故 k, t-k,v(k2>0) 即 v+-t(*) (*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有 k k2 e+c 又当=0时,≠=0,故C= k1 因此,此质点的速度与时间的关系为:p=m小!*气
因为 0 1 0 2 3 − − ，又由 1 0 2 3 − = + 得 2 + + = 3 2 0 解之得 1 2 = − = − 1, 2 为两相异实根，且均为负 故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 7. 一质量为 m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比 例系数为 k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系 数为 k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得： (其中 为质点的加速度，F合为质点受到的合外力) 合 a m F a = 根据题意： F k t k v 合 = 1 − 2 故： ( 0) = k1 t − k2 v k2 dt dv m 即： ( ) (*) 2 1 t m k v m k dt dv + − = (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 ( ) 2 2 1 t e dt c m k V e dt m k dt m k + = − ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 e c k mk t e k k e t m k t m k t m k = − + − 又当 t=0 时，V=0，故 c= 2 2 1 k mk 因此，此质点的速度与时间的关系为： ( ) 2 2 1 2 2 1 2 k m t k k e k mk V t m k = + − −