常微分期终考试试卷(1) 班级:02412 学号:17 姓名:凌学芳 一、填空题(30%) 1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是 ( )有只含y的积分因子的充要条件是 2、 称为黎卡提方程,它有积分因子 3、 称为伯努利方程,它有积分因子 4、若X1(t),x2(t),…,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性 无关的充要条件是 5、形如 的方程称为欧拉方程。 6、若()和y(t)都是x=A(t)x的基解矩阵,则(t)和y(t)具有的关 系是 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为 时, 零解是稳定的,对应的奇点称为 二、计算题(60%) 1、ydx-(x+y3)dy=0 2、x"+x=sint-cos2t
常微分期终考试试卷(1) 班级：02412 学号：17 姓名：凌学芳 一、 填空题（30%） 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有只含 x 的积分因子的充要条件是 （ ）。有只含 y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若 1 2 ( ), ( ), , ( ) X t X t X t n 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性 无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若 ()t 和 ( )t 都是 ' x A t x = ( ) 的基解矩阵，则 ()t 和 ( )t 具有的关 系是_____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时， 零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ydx x y dy − + = ( ) 0 ２、 x x t t + = − sin cos2
2 3、若A= 试求方程组x'=Ax的解(t),9(0)=n 并求 expat 5、求方程=x+y2经过(0,0)的第三次近似解
３、若 2 1 1 4 A = − 试求方程组 x Ax = 的解 1 2 ( ), (0) t = = 并求 expAt ４、 3 2 ( ) 4 8 0 dy dy xy y dx dx − + = ５、求方程 dy 2 x y dx = + 经过（0，0）的第三次近似解
6求dx/x-y-5的奇点并判断奇点的类型及稳定性 dy 三、证明题(10%) 1、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。 试卷答案 一填空题 aM aN OM OM p(x) p(y) M P(x)y+o(x)y+R(x) y=y+2 p(x)y+o(x) u(x, v)=v-noJon-1)p(x)du dx 4、wtx1(D),x2(1),xn(D)≠0 d n-1 dy 女们+…+an-lh+any=0 y()=p()C 稳定中心
6.求 1, 5 dx dy x y x y dt dt = − − + = − − 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、 ( ) M N y x x N − = ( ) M N y x y M − = − ２、 2 ( ) ( ) ( ) dy p x y Q x y R x dx = + + y y z = + ３、 ( ) ( ) dy n p x y Q x y dx = + ( 1) ( ) ( , ) n n p x dx u x y y e − − = ４、 1 2 [ ( ), ( ), , ( )] 0 w x t x t x t n ５、 1 1 1 1 0 n n n n n n n d y d dy x a a a y dx dx dx − + + + + = − − ６、 ( ) ( ) t t C = ７、零 稳定中心
计算题 OM aN 1、解:因为oy"ax,所以此方程不是恰当方程,方程有积 分因子(y)=e 两边同乘一得 dy=0 所以解为「x+ 如y=c y2c即2x=y(y2+c)另外y=0也是解 、线性方程x"+x=0的特征方程A2+1=0故特征根=±i f(t)=sintλ=i是特征单根,原方程有特解x=t( Acost+ Bsin t) 代入原方程A=-B=02(1)=-cos2t=2i不是特征 根,原方程有特解x=Acos2+Bsin2代入原方程A=B=0 所以原方程的解为x= CI cost+c2sint- t cost+cos2t 3、解:p( P()2-2 12-4=42-6+9=0解得2=3此时 k=1n1=2 71 (4-3B)∥ 7+(-nh+n2) 7 72 72+(-h1+72) 由公式 expAt=e"∑(A-E)得 exp At=e E+r(A-3E)=e 01 1+t
二计算题 １、解：因为 1, 1 M N y x = = − ，所以此方程不是恰当方程，方程有积 分因子 2 2 ln 2 1 ( ) dy y y y e e y − − = = = ，两边同乘 2 1 y 得 3 2 0 dx x y dy y y + − = 所以解为 3 2 1 x x y y dx dy c y y y − + + − = 2 2 x y c y + = 即 2 2 ( ) x y y c = + 另外 y=0 也是解 ２、线性方程 x x + = 0 的特征方程 2 + =1 0 故特征根 = i 1 f t t ( ) sin = = i 是特征单根，原方程有特解 x t A t B t = + ( cos sin ) 代入原方程 A=- 1 2 B=0 2 f t t ( ) cos2 = − = 2i 不是特征 根，原方程有特解 x A t B t = + cos2 sin 2 代入原方程 1 3 A = B=0 所以原方程的解为 1 2 1 1 cos sin cos cos2 2 3 x c t c t t t t = + − + ３、解： 2 2 1 ( ) 6 9 0 1 4 p − − = = − + = − 解 得 1,2 = 3 此 时 k=1 1 n = 2 1 2 v = = 1 3 3 1 1 1 2 0 2 2 1 2 ( ) ( ) ( 3 ) ! ( ) i t i t i t t t e A E e i t = + − + = − = + − + 由公式 expAt= 1 0 ( ) ! n i t i i t e A E i − = − 得 3 3 3 1 0 1 1 1 exp ( 3 ) 0 1 1 1 1 t t t t t At e E t A E e t e t t − − = + − = + = − − +
dy +8 4、解:方程可化为x=-4,@一令=p则有x=p2+82(*) dx (*)两边对y求导:2y(p3-4y2)+p(8y2-p3)=4y2p 入(*)x=+2即方程的含参数形式的通解为:2 即(p3-4y2)2y2-p)=0由 p=0得p=cy2即y=(2)将 y 为参数 又由p3-4y2=0得p=(4y2)代入(*)得:y=4x也是方程的解 y=0 P1= yo 5、解: 2=yo+(x+)a 220 03=y+0(x++ +dx 440020 2204400160 6、解:由{x-y+1=0解得奇点(3,2)令xx3Y=y+2则 因为 =1+1≠0故有唯一零解(0,0)
４、解：方程可化为 3 2 8 4 dy y dx x dy y dx + = 令 dy p dx = 则有 3 2 8 4 p y x yp + = （*） （*）两边对 y 求导： 3 2 2 3 2 2 ( 4 ) (8 ) 4 dp y p y p y p y p dy − + − = 即 3 2 ( 4 )(2 ) 0 dp p y y p dy − − = 由 2 0 dp y p dy − = 得 1 2 p cy = 即 2 ( ) p y c = 将 y 代入（*） 2 2 2 4 c p x c = + 即方程的 含参数形式的通解为： 2 2 2 2 4 ( ) c p x c p y c = + = p 为参数 又由 3 2 p y − = 4 0 得 1 2 3 p y = (4 ) 代入（*）得： 4 3 27 y x = 也是方程的解 ５、解： 0 0 2 1 0 0 2 2 5 2 0 0 4 10 7 2 5 11 8 3 0 0 0 2 ( ) 4 2 20 ( ) 4 400 20 2 20 4400 160 x x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx = = = + = = + + = + = + + + + = + + + ６、解：由 1 0 5 0 x y x y − − + = − − = 解得奇点（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 则 dx x y dt dy x y dt = − − = − 因为 1 1 1 1 − − − =1+1 0 故有唯一零解（0，0）
+11 由 x2+2+1+1=x2+2+2=0得=-1±i故(3,-2) 12+1 为稳定焦点 、证明题 由解的存在唯一性定理知:n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n解: x1(0)=1,x2(t0)=0,…,xn(0)=0 x1(to)=0,x2(to)=1,…,xn(0)=0 (o)=0,…,xn(0) 考虑wx(6),x2()…,x(4)/…0 10 1≠0 从而x(t)(=1,2,…m)是线性无关的
由 2 2 1 1 2 1 1 2 2 0 1 1 + = + + + = + + = − + 得 = − 1 i 故（3，-2） 为稳定焦点。 三、 证明题 由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解： 1 0 2 0 0 ' ' 1 0 2 0 0 1 1 1 1 0 2 0 0 ( ) 1, ( ) 0, , ( ) 0 ( ) 0, ( ) 1, , ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 1 n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t − − − = = = = = = = = = 考虑 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 [ ( ), ( ), , ( )] 1 0 0 0 1 w x t x t x t n = = 从而 ( )( 1,2, ) i x t i n = 是线性无关的