常微分方程期中测试试卷(11) 班级 姓名 学号 得分 1微分方程()n+-y2+x2=0的阶数是 2若M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(,y)的连续函数且有连续的一阶偏导数则 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只与y有关的积分因子的充要条件是 3 称为齐次方程 4如果f(x,y) 则=f(x,y)存在 dx 唯一的解y=(x),定义于区间x-x|≤h上连续且满足初始条件yo=(x),其中 h= 5对于任意的(x,y1),(x,y2)∈R(R为某一矩形区域)若存在常数N(N>0)使 ,则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件 6方程=x2+y2定义在矩形区域R:-2≤x≤2,-2≤y≤2上,则经过点(0,0)的解 dx 的存在区间是 7若x(t)(i1,2n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式则w(t)满足一 阶线性方程 8若x(t)(i=1,2)为齐次线性方程的一个基本解组x(t)为非齐次线性方程的一个特 解,则非齐次线性方程的所有解可表为 9若(x)为毕卡逼近序列{n(x)}的极限,则有(x)-n(x)≤ 10 称为黎卡提方程,若它有一个特解 y(x),则经过变换 ,可化为伯努利方程 二求下列方程的解 +y3 y dx
常微分方程期中测试试卷(11) 班级__________姓名__________学号________得分__________ 1 微分方程 ( ) 0 2 2 + − y + x = dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 M (x, y) 和 N(x, y) 在矩形区域 R 内是 (x, y) 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方 程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有只与 y 有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 f (x, y) ___________________________________________ ,则 f (x, y) dx dy = 存在 唯一的解 y = (x) ,定义于区间 x − x0 h 上,连续且满足初始条件 ( ) 0 0 y = x ,其中 h = _______________________ . 5 对于任意的 ( , )1 x y , ( , ) 2 x y R ( R 为某一矩形区域),若存在常数 N(N 0) 使 ______________________ ,则称 f (x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件. 6 方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形区域 R : − 2 x 2,−2 y 2 上 ,则经过点 (0,0) 的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 x (t)(i 1,2,.....n) i = 是齐次线性方程的 n 个解, w(t) 为其伏朗斯基行列式,则 w(t) 满足一 阶线性方程 ___________________________________ 8 若 x (t)(i 1,2,.....n) i = 为齐次线性方程的一个基本解组, x(t) 为非齐次线性方程的一个特 解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9 若 (x) 为毕卡逼近序列 n (x) 的极限，则有 (x) − n (x) __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x) ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 二 求下列方程的解 １ 3 x y y dx dy + =
2求方程=x+y2经过(00的第三次近似解 db 3讨论方程=y2,y(1)=1的解的存在区间 4求方程( 0的奇解 5(cosx +-)dx+( 6 y+y'-2ysin x=coSx-sin'x 7(2xy2-3y3)dx+(7-3xy2)d=0
２ 求方程 2 x y dx dy = + 经过 (0,0) 的第三次近似解 ３ 讨论方程 2 y dx dy = ， y(1) = 1 的解的存在区间 4 求方程 ( ) 1 0 2 2 + y − = dx dy 的奇解 5 ) 0 1 ) ( 1 (cos 2 + + − dy = y x y dx y x 6 y y y x x x ' 2 2 + − 2 sin = cos − sin 7 (2 3 ) (7 3 ) 0 2 3 2 xy − y dx + − xy dy =
三证明题 1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程=P(x)y+Qx),当 P(x),Qx)在[a,]上连续时,其解存在唯 参考答案 填空题 OMaN、-1 )()=(y) ay ax M 3形如 女=8()的方程 4在R上连续且关于y满足利普希兹条件 h= min(a 5 (x,y)-f(x,y2)sNy,-y2l ≤X≤ v+a1(t)=0
三 证明题 1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 P(x) y Q(x) dx dy = + , 当 P(x) , Q(x) 在 , 上连续时,其解存在唯一 参考答案 一 填空题 1 1 2 ) ( ) 1 ( )( y x M N y M = − − 3 形如 ( ) x y g dx dy = 的方程 4 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件 min( , ) m b h = a 5 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) N y − y 6 4 1 4 1 − x 7 1 ( ) 0 ' w + a t w =
8x=>c,x,+x ML h (n+1)! 10形如=p(x)y2+q(x)y+r(x)的方程 d 二求下列方程的解 1解 ,则x=e"(jyed+c)所以 +cl 另外y=0也是方程的解 2解:0(x)=0 ()+%(=x (2+ik=2x2+2x ()=Cp+(小 =-x-+—x 3解 dy d x 两边积分 所以方程的通解为yx+c 故过y(1)=1的解为y 通过点(11)的解向左可以延拓到一∞,但向右只能延拓到2, 所以解的存在区间为(-∞,2) 4解:利用P判别曲线得 消去p得y2=1即y=±1 所以方程的通解为y=sin(x+c),所以y=±1是方程的奇解
8 x c x x n i = i i + =1 9 1 ( 1)! + + n n h n ML 10 形如 ( ) ( ) ( ) 2 p x y q x y r x dx dy = + + 的方程 y = z + y 二 求下列方程的解 1 解： 2 3 y y x y x y dy dx = + + = ，则 ( ) 1 2 1 + = − x e y e dy c dy y dy y 所以 cy y x = + 2 3 另外 y = 0 也是方程的解 2 解： 0 (x) = 0 2 0 2 1 0 2 1 (x) x (x) dx x x = + = 2 5 0 2 2 1 20 1 2 1 (x) x (x) dx x x x = + = + 2 5 11 8 0 2 3 2 160 1 4400 1 20 1 2 1 (x) x (x) dx x x x x x = + = + + + 3 解： dx y dy = 2 两边积分 x c y − = + 1 所以 方程的通解为 x c y + − = 1 故 过 y(1) = 1 的解为 2 1 − − = x y 通过点 (1,1) 的解向左可以延拓到 − ，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 (−,2) 4 解: 利用 p 判别曲线得 = + − = 2 0 1 0 2 2 p p y 消去 p 得 1 2 y = 即 y = 1 所以方程的通解为 y = sin(x + c) , 所以 y = 1 是方程的奇解
aM 5解: 所以方程是恰当方程 au=cosxx y f u=sinx+-+o(y) y -x2+g(y)所以o(y)=ln 故原方程的解为sinx++lmy=c 6解:y=-y2+2 sin x+cosx-sin2x故方程为黎卡提方程它的一个特解为 y=sinx令y=z+sinx,则方程可化为,=-2,z x+c y-sin x y=sin xt x+c x+c 7解:两边同除以y2得 2xdx-3ydx+--dy-3xdy=0 dx2'-d3xy-d2=0 所以x2-3xy--=c,另外y=0也是方程的解 三证明 1证明:设黎卡提方程的一个特解为y=y 令 又 女p(x)y2+q(x)y+r(x) dE =p(x)(+y)2+9(x)(x+y)+r(x)-史 d y dz 由假女=p(x)y+9(x)y+(x)得 ar=p(x)=2+ p(x)y+q(x 此方程是一个n=2的伯努利方程可用初等积分法求解
5 解: y M = −2 − y , x N = −2 − y , y M = x N , 所以方程是恰当方程. = − = + 2 1 1 cos y x y y v y x x u 得 sin ( y) y x u = x + + ( ) 2 ' xy y y u = − + − 所以 ( y) = ln y 故原方程的解为 y c y x sin x + + ln = 6 解: y y y x x x ' 2 2 = − + 2 sin + cos − sin 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 y = sin x ,令 y = z + sin x , 则方程可化为 2 z dx dz = − , x c z + = 1 即 x c y x + − = 1 sin , 故 x c y x + = + 1 sin 7 解: 两边同除以 2 y 得 3 0 7 2 3 2 − + dy − xdy = y xdx ydx 0 7 3 2 − − = y dx d xy d 所以 c y x − xy − = 7 3 2 , 另外 y = 0 也是方程的解 三 证明题 1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y = y 令 y = z + y , dx d y dx dz dx dy = + 又 ( ) ( ) ( ) 2 p x y q x y r x dx dy = + + dx d y p x z y q x z y r x dx dz = ( )( + ) + ( )( + ) + ( ) − 2 由假设 ( ) ( ) ( ) 2 p x y q x y r x dx d y = + + 得 p x z p x y q x z dx dz ( ) 2 ( ) ( ) 2 = + + 此方程是一个 n = 2 的伯努利方程,可用初等积分法求解
2证明:令R:x∈[,B],y∈R P(x),Qx)在a,月]上连续,则 f(x,y)=P(x)y+Q(x)显然在R上连续 因为P(x)为,上的连续函数, 故|P(x)在x,月]上也连续且存在最大植,记为L P(x)≤L,x∈lx,月 n,y2∈R(x,y1)-f(x,y2)=|P(x)y1-P(x)y2=P(x)|-y2|≤Ly1-y2 因此一阶线性方程当P(x),Q(x)在[a,]上连续时,其解存在唯
2 证明: 令 R : x , , y R P(x) , Q(x) 在 , 上连续, 则 f (x, y) = P(x) y + Q(x) 显然在 R 上连续 , 因为 P(x) 为 , 上的连续函数 , 故 P(x) 在 , 上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 P(x) L , x , 1 y , y2 R 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) = P(x) y − P(x) y = P(x) 1 2 y − y 1 2 L y − y 因此 一阶线性方程当 P(x) , Q(x) 在 , 上连续时,其解存在唯一