常微分方程期终试卷(3) 解下列方程(10%*8=80%) 2xylnydx+(x2+y2)1+y2)dy=0 2.=62xy2 2(-y 5. tgydx-ctydy 6. y-x(x2+y2) dx-xdy=0 7.一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起, 有一个和时间成正比(比例系数为k)的力作用在它 上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成 正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的 关系
常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%) 1. 2xylnydx+{ 2 x + 2 y 2 1+ y }dy=0 2. dx dy =6 x y -x 2 y 3. ' y =2 2 ) 1 2 ( + − + x y y 4. x ' y = 2 2 x + y +y 5. tgydx-ctydy=0 6. {y-x( 2 x + 2 y )}dx-xdy=0 7．一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起， 有一个和时间成正比（比例系数为 1 k ）的力作用在它 上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成 正比（比例系数为 2 k ）。试求此质点的速度与时间的 关系
8.已知fx)=1,x≠0.试求函数fx)的一般表达式。 .证明题(10%*2=20% 9.试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试 同齐次函数,且xMyN≠0,则 是该方程的 (xM+yN) 个积分因子 10.证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用 初等方法求得它的通解 试题答案: 02412-28
8. 已知 f(x) x f t dt 0 ( ) =1,x 0,试求函数 f(x)的一般表达式。 二． 证明题(10%*2=20%) 9. 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M、N 试 同齐次函数，且 xM+yN 0,则 ( ) 1 xM + yN 是该方程的 一个积分因子。 10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用 初等方法求得它的通解。 试题答案： 02412-28
OM aN 1.解:=2xny+2x,=2x,则 2xIn y 故方 2xy In y 程有积分因子(y)=e 原方程两边同乘以上得 2 xiN ydx+x+y+ydy=0是恰当方程d(xm)y+yd=0两 边积分得方程的解为xny+(1+y2)=C 解:1)y=0是方程的特解。2)当y≠0时,令zy得 d 6 这是线性方程,解得它的通解为 d x 代回原来的变量y得方程解为1=+x:y=0 3.解:令x=u+3,y=-2,可将原方程变为 u+y 再令z=,得到z+a 即 d lI 1+z 1+z 分离变量并两端积分得』1+2-=-c+nC ap In=|+2arctgz=-In(u/+InC, nzl=-2 dartez+nC代回原变量得v=Ce 所以,原方程的解为y+2=Ce
1. 解： M y =2xlny+2x , N y =2x,则 M N y x M − − = 2 ln 2 ln x y − xy y =− 1 y ,故方 程有积分因子 ( y) = 1 dy y e − = 1 y ，原方程两边同乘以 1 y 得 2 ln xy y y dx+ 2 2 2 1 y y x + + y dy=0 是恰当方程. d( 2 x lny)+y 2 1+ y dy=0,两 边积分得方程的解为 2 x lny+ ( ) 3 1 2 2 3 1+ y =C。 2. 解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y 0 时，令 z= 1 y − 得 dz dx = 6 x − z+x. 这是线性方程，解得它的通解为 z= 2 6 8 c x x + 代回原来的变量 y 得方程解为 1 y = 2 6 8 c x x + ；y=0. 3. 解：令 x=u+3, y=v − 2, 可将原方程变为 dv du = 2 2 v u v + ， 再令 z= v u ，得到 z+ dz u u = 2 2 1 z z + ，即 dz u u = ( ) ( ) 2 2 1 1 z z z + − + ， 分离变量并两端积分得 2 1 2 1 dz z z + + = du u − +lnC 即 ln z +2arctgz=−ln u +lnC， ln zu = − 2arctgz+lnC 代回原变量得 v=C 2 v arctg u e − 所以，原方程的解为 y+2=C 2 2 3 y arctg x e + − −
4.解:将方程改写为y=|1-2+2(*)令u=”,得到xy=n+ u则()变为xd ,变量分离并两边积分得 arcsinuFIn/u +lnC,故方程的解为 arcsin=nCx。 5.解:变量分离 ctgxdy= - tgydx,两边积分得ln(siny)- n/cos x+C 或 sinycosx=C(*)另外,由tgy=0或ctgx=0得y=kz(k=0、1…) x-tx+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当 2 C=0时的特殊情况,故原方程的解为 sinycosx=C。 解:ydx-xdy-x( =0,两边同除以 X ty vax-xdu xdx=0,即 d(arct)-dx2=0,故原方程的解为 x ty arct 7.解:因为F=ma=m’又F=F,-F2=k-k”, 即 du m=k-k(v0=0 即 c k-k2(v(0)=0), 解得 k2 k2
4. 解：将方程改写为 ' y = 2 1 x y − + x y （*） 令 u= x y ,得到 x ' y =x ' u + u,则(*)变为 x dx du = 1− u , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx。 5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= − ln cos x +C 或 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1…) ， x=t + 2 (t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。 6. 解：ydx-xdy-x( 2 x + 2 y )dx=0,两边同除以 2 x + 2 y 得 2 2 ydx xdy x y − + − xdx=0,即 d(arctg x y ) − 1 2 d 2 x =0,故原方程的解为 arctg x y − 1 2 2 x =C。 7． 解：因为 F=ma=m dv dt ，又 F= F1 −F2 = 1 2 k k t v − ， 即 m dv dt = 1 2 k k t v − (v(0)=0)，即 dv dt = 1 2 k k t v − (v(0)=0)， 解得 v= 1 2 2 k m k 2 t m k e + 1 2 k k (t 2 m k − )
8.解:令19=,几0Mm,两边求导得(y-)=y 即-y=y,即-与=dx,两边求积得=2x+C, 从而 故fx)= 证明:如M、N都是n次齐次函数,则因为 XM+yM,=nM,xN+yN,=nN,故有 a M a N M(XM+yX)-M(xM +N+yN) xM+ ww N(xM+yN)-N(xM +M+yN) (xM+y) M(xN +yn)-N(xM +yN) (xM +y) (xM+yN) 故命题成立。 10.解:1)先找到一个特解y=y。 2)令y=y+z,化为n-2的伯努利方程。 证明:因为y=y为方程的解, 所以=P(x)j+Q(x)y+R(x)(1) 令y=y+z,则有
8． 解：令 f(x)=y， 1 f x( ) = 0 ( ) x f t dt ，两边求导得 ( ) ' 1 y − =y， 即 1 ' y − y =y，即 3 1 dy y − =dx，两边求积得 2 1 y =2x+C， 从而 y= 1 2x C + ，故 f(x)= 1 2x C + . 9. 证明：如 M、N 都是 n 次齐次函数，则因为 x M x +y M y =nM，x Nx +y N y =nN，故有 M N y xM yN x xM yN − + + = 2 ( ) ( ) ( ) y y y xM yN M x N y xM yN M M + − + + N + 2 ( ) ( ) ( ) x x x xM yN N x M y xM yN − N N + − + + M + = 2 ( ) ( ) ( ) M x yN N x y x y x xM yN − N N + − + M + = 2 ( ) ( ) ( ) M nN N nM xM yN − − + =0. 故命题成立。 10. 解：1）先找到一个特解 y= y 。 2）令 y= y +z，化为 n=2 的伯努利方程。 证明：因为 y= y 为方程的解， 所以 dy dx =P(x) 2 y +Q(x) y +R(x) (1) 令 y= y +z，则有
d+4=P(x)(j+2)+Qx)(+z)+R(x)(2) dx dx (2)-(1)得=P(x)(2y2z+22)+Qx)z 即在=2P(x)y+Q(x)2+P(x)2 此为n=2的伯努利方程
dy dx + dz dx = P(x) 2 ( ) y z + +Q(x) ( ) y z + +R(x) (2) (2) − (1)得 dz dx = P(x) 2 (2 ) yz z + +Q(x)z 即 dz dx =[2P(x) y +Q(x)]z+P(x) 2 z 此为 n=2 的伯努利方程